2019届二轮复习满分示范课——函数与导数学案（全国通用） 4页

满分示范课——函数与导数 ‎【典例】　(2017·全国卷Ⅲ)已知函数f(x)＝ln x＋ax2＋(2a＋1)x.‎ ‎(1)讨论函数f(x)的单调性；‎ ‎(2)当a＜0时，证明：f (x)≤－－2.‎ ‎(1)解：f(x)的定义域(0，＋∞)．‎ f′(x)＝＋2ax＋2a＋1＝，‎ 若a≥0，则当x∈(0，＋∞)时，f′(x)＞0，‎ 故f(x)在(0，＋∞)上单调递增．‎ 若a＜0时，当x∈时，f′(x)＞0；‎ 当x∈时，f′(x)＜0.‎ 故f(x)在上单调递增，在上单调递减．‎ ‎(2)证明：由(1)知，当a＜0时，f(x)在x＝－处取得最大值，最大值为f＝ln－1－，‎ 所以f(x)≤－－2等价于ln－1－≤－－2，‎ 即ln＋＋1≤0，‎ 设g(x)＝ln x－x＋1，则g′(x)＝－1.‎ 当x∈(0，1)时，g′(x)＞0；x∈(1，＋∞)时，g′(x)＜0.学 ]‎ 所以g(x)在(0，1)上单调递增，在(1，＋∞)上单调递减．‎ 故当x＝1时，g(x)取得最大值，最大值为g(1)＝0. | |X|X|K]‎ 所以当x＞0时，g(x)≤0，‎ 从而当a＜0时，ln＋＋1≤0，‎ 即f(x)≤－－2.‎ 高考状元满分心得 ‎1．得步骤分：抓住得分点的步骤，“步步为赢”，求得满分．如第(1)问中，求导正确，分类讨论；第(2)问中利用单调性求g(x)的最小值和不等式性质的运用．‎ ‎2．得关键分：解题过程不可忽视关键点，有则给分，无则没分，如第(1)问中，求出f(x)的定义域，f′ (x)在(0，＋∞)上单调性的判断；第(2)问，f(x)在x＝－处最值的判定，f(x)≤－－2等价转化为ln＋＋1≤0等．‎ ‎3．得计算分：解题过程中计算准确是得满分的根本保证．如第(1)问中，求导f′(x)准确，否则全盘皆输，第(2)问中，准确计算f(x)在x＝－处的最大值．‎ ‎[解题程序]　第一步：求函数f(x)的导函数f′(x)；‎ 第二步：分类讨论f(x)的单调性；‎ 第三步：利用单调性，求f(x)的最大值；‎ 第四步：根据要证的不等式的结构特点，构造函数g(x)；‎ 第五步：求g(x)的最大值，得出要证的不等式；‎ 第六步：反思回顾，查看关键点、易错点和解题规范．‎ ‎[跟踪训练]　(2017·山东卷改编)已知函数f(x)＝x3－ax2，其中参数a≥0.‎ ‎(1)当a＝2时，求曲线y＝f(x)在点(3，f(3))处的切线方程；‎ ‎(2)设函数g(x)＝f(x)＋(x－a)cos x－sin x，讨论g(x)的单调性并判断有无极值，有极值时求出极值．‎ 解：(1)由题意f′(x)＝x2－ax，‎ 所以当a＝2时，f(3)＝0，f′(x)＝x2－2x，‎ 所以f′(3)＝3，‎ 因此曲线y＝f(x)在点(3，f (3))处的切线方程是y＝3(x－3)，即3x－y－9＝0.‎ ‎(2)因为g(x)＝f(x)＋(x－a)cos x－sin x，‎ 所以g′(x)＝f′(x)＋cos x－(x－a)sin x－cos x ‎＝x(x－a)－(x－a)sin x ‎＝(x－a)(x－sin x)，‎ 令h(x)＝x－sin x，‎ 则h′(x)＝1－cos x≥0，‎ 所以h(x)在R上单调递增．‎ 因为h(0)＝0，所以，当x＞0时，h(x)＞0；‎ 当x＜0时，h(x)＜0.‎ ‎①当a＝0时，g′(x)＝x(x－sin x)， 学 ‎ 当x∈(－∞，＋∞)时，g′(x)≥0，g(x)单调递增；‎ 所以g(x)在(－∞，＋∞)上单调递增，g(x)无极大值也无极小值．‎ ‎②当a＞0时，g′(x)＝(x－a)(x－sin x)， 学 ]‎ 当x∈(－∞，0)时，x－a＜0，g′(x)＞0，g(x)单调递增；‎ 当x∈(0，a)时，x－a＜0，g′(x)＜0，g(x)单调递减；‎ 当x∈(a，＋∞)时，x－a＞0，g′(x)＞0，g(x)单调递增．‎ 所以，当x＝0时，g(x)取到极大值，极大值是g(0)＝－a；‎ 当x＝a时，g(x)取到极小值，极小值是g(a)＝－a3－sin a.‎ 综上所述，当a＝0时，函数g(x)在(－∞，＋∞)上单调递增，无极值；‎ 当a＞0时，函数g(x)在(－∞，0)和(a，＋∞)上单调递增，在(0，a)上单调递减，函数既有极大值，又有极小值，极大值是g(0)＝－a，极小值是g(a)＝－a3－sin a. 学 ‎