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- 2021-06-15 发布
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课时作业47 椭圆
[基础达标]
一、选择题
1．若直线x－2y＋2＝0经过椭圆的一个焦点和一个顶点，则该椭圆的标准方程为( )
A.＋y2＝1
B.＋＝1
C.＋y2＝1或＋＝1
D．以上答案都不对
解析：直线与坐标轴的交点为(0,1)，(－2,0)，
由题意知当焦点在x轴上时，c＝2，b＝1，
∴a2＝5，所求椭圆的标准方程为＋y2＝1.
当焦点在y轴上时，
b＝2，c＝1，
∴a2＝5，所求椭圆的标准方程为＋＝1.
答案：C
2．[2019·武汉高中调研]曲线C1：＋＝1与曲线C2：＋＝1(09－k>0，所以曲线C2是焦点在x轴上的椭圆，记其长半轴长为a2，短半轴长为b2，半焦距为c2，则c＝a－b＝25－k－(9－k)＝16.曲线C1也是焦点在x轴上的椭圆，记其长半轴长为a1，短半轴长为b1，半焦距为c1，则c＝a－b＝25－9＝16，所以曲线C1和曲线C2的焦距相等，故选D.
答案：D
3．[2019·湖北中学联考]已知椭圆＋＝1的左、右焦点分别为F1
、F2，过F2且垂直于长轴的直线交椭圆于A，B两点，则△ABF1内切圆的半径为( )
A. B．1
C. D.
解析：不妨设A点在B点上方，由题意知：F2(1,0)，将F2的横坐标代入椭圆方程＋＝1中，可得A点纵坐标为，故|AB|＝3，所以内切圆半径r＝＝＝(其中S为△ABF1的面积，C为△ABF1的周长)．故选D.
一题多解 由椭圆的通径公式得|AB|＝＝3，则S△ABF1＝×2×3＝3，又易得△ABF1的周长C＝4a＝8，则由S△ABF1＝C·r可得r＝.故选D.
答案：D
4．[2019·石家庄质量检测]倾斜角为的直线经过椭圆＋＝1(a>b>0)的右焦点F，与椭圆交于A、B两点，且＝2，则该椭圆的离心率为( )
A. B.
C. D.
解析：由题可知，直线的方程为y＝x－c，与椭圆方程联立得，∴(b2＋a2)y2＋2b2cy－b4＝0，由于直线过椭圆的右焦点，故必与椭圆有交点，
则Δ>0.设A(x1，y1)，B(x2，y2)，
则，
又＝2，∴(c－x1，－y1)＝2(x2－c，y2)，
∴－y1＝2y2，可得，∴＝，∴e＝，故选B.
答案：B
5．[2019·陕西西安八校联考]
某几何体是直三棱柱与圆锥的组合体，其直观图和三视图如图所示，正视图为正方形，其中俯视图中椭圆的离心率为( )
A. B.
C. D.
解析：依题意得，题中的直三棱柱的底面是等腰直角三角形，设其直角边长为a，则斜边长为a，圆锥的底面半径为a、母线长为a，因此其俯视图中椭圆的长轴长为a、短轴长为a，其离心率e＝＝，选C.
答案：C
二、填空题
6．椭圆＋＝1(a>b>0)的左焦点为F，右顶点为A，以FA为直径的圆经过椭圆的上顶点B，则椭圆的离心率为________．
解析：以FA为直径的圆经过椭圆的上顶点B，则⊥，
所以·＝0，＝(c，b)，＝(－a，b)，
所以·＝b2－ac＝0，即a2－c2－ac＝0.
两边同除以a2，
得e2＋e－1＝0，所以e＝.
答案：
7．已知椭圆C的中心在原点，一个焦点F(－2,0)，且长轴长与短轴长的比是2，则椭圆C的方程是____________．
解析：设椭圆C的方程为＋＝1(a>b>0)．
由题意知解得a2＝16，b2＝12.
所以椭圆C的方程为＋＝1.
答案：＋＝1
8．[2019·山西月考]设F1、F2为椭圆C：＋＝1(a>b>0)的左、右焦点，经过F1的直线交椭圆C于A，B两点，若△F2AB是面积为4的等边三角形，则椭圆C的方程为______________．
解析：∵△F2AB是面积为4的等边三角形，
∴AB⊥x轴，∴A，B两点的横坐标为－c，代入椭圆方程，可求得|F1A|＝|F1B|＝.
又|F1F2|＝2c，∠F1F2A＝30°，
∴＝×2c ①.
又S△F2AB＝×2c×＝4 ②，a2＝b2＋c2 ③，
由①②③解得a2＝9，b2＝6，c2＝3，
∴椭圆C的方程为＋＝1.
答案：＋＝1
三、解答题
9．[2019·贵州适应性考试]设F1，F2分别是椭圆E：＋＝1(a>b>0)的右、右焦点，E的离心率为，点(0,1)是E上一点．
(1)求椭圆E的方程；
(2)过点F1的直线交椭圆E于A，B两点，且＝2，求直线BF2的方程．
解析：(1)由题意知，b＝1，且e2＝＝＝，
解得a2＝2，所以椭圆E的方程为＋y2＝1.
(2)由题意知，直线AB的斜率存在且不为0，
故可设直线AB的方程为x＝my－1，设A(x1，y1)，B(x2，y2)．
由得(m2＋2)y2－2my－1＝0，
则y1＋y2＝，①
y1y2＝－，②
因为F1(－1,0)，
所以＝(－1－x2，－y2)，＝(x1＋1，y1)，
由＝2可得，－y2＝2y1，③
由①②③可得B，
则kBF2＝或－，
所以直线BF2的方程为
y＝x－或y＝－x＋.
10．[2019·广东深圳模拟]已知椭圆C：＋＝1(a>b>0)的离心率为，其右顶点与上顶点的距离为，过点P(0,2)的直线l与椭圆相交于A、B两点．
(1)求椭圆C的方程；
(2)设M是AB中点，且点Q的坐标为，当QM⊥AB时，求直线l的方程．
解析：(1)由题意可知a2＋b2＝5，又e＝＝，a2＝b2＋c2，
所以a＝，b＝，所以椭圆C的方程为＋＝1.
(2)①若直线l的斜率不存在，此时M为原点，满足QM⊥AB，所以，方程为x＝0.
②若直线l的斜率存在，设其方程为y＝kx＋2，A(x1，y1)，B(x2，y2)，
将直线方程与椭圆方程联立可得
即(2＋3k2)x2＋12kx＋6＝0，
x1＋x2＝，
由题意可知Δ＝72k2－48>0，即k>或k<－.
设M(x0，y0)，则x0＝，y0＝k·＋2＝，
由QM⊥AB可知·k＝－1，化简得3k2＋5k＋2＝0，解得k＝－1或k＝－(舍)，
此时，直线l的方程为x＋y－2＝0.
综上所述，直线l的方程为x＝0或x＋y－2＝0.
[能力挑战]
11．[2019·太原模拟]已知椭圆C：＋＝1(a>b>0)的左、右顶点分别是A，B，左、右焦点分别是F1，F2，若|AF1|，|F1F2|，|F1B|成等比数列，则椭圆C的离心率为( )
A. B.
C. D.
解析：∵|AF1|，|F1F2|，|F1B|成等比数列，
∴|F1F2|2＝|AF1|·|F1B|，
即4c2＝(a－c)(a＋c)，即4c2＝a2－c2，即5c2＝a2，即a＝c，
∴椭圆C的离心率e＝＝，故选A.
答案：A
12．[2019·湖南长沙模拟]椭圆x2＋＝1(0，所以b>0)的左、右焦点F1，F2，与椭圆在第一象限的交点为A，且F1，E，A三点共线，则该椭圆的方程为________．
解析：对于x2＋2＝，当y＝0时，x＝±，
∴F1(－，0)，F2(，0)，∵E的坐标为，∴直线EF1的方程为＝，即y＝x＋，由
得点A的坐标为(，1)，
则2a＝|AF1|＋|AF2|＝4，∴a＝2，∴b2＝2，
∴该椭圆的方程为＋＝1.
答案：＋＝1
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