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- 2021-06-15 发布
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第4讲 椭 圆
一、选择题
1.椭圆+y2=1的两个焦点为F1,F2,过F1作垂直于x轴的直线与椭圆相交,一个交点为P,则|PF2|= ( ).
A. B. C. D.4
解析 a2=4,b2=1,所以a=2,b=1,c=,不妨设F1为左焦点,P在x轴上方,则F1(-,0),设P(-,m)(m>0),则+m2=1,解得m=,所以|PF1|=,根据椭圆定义:|PF1|+|PF2|=2a,所以|PF2|=2a-|PF1|=2×2-=.
答案 A
2.已知点M(,0),椭圆+y2=1与直线y=k(x+)交于点A、B,则△ABM的周长为( )
A.4 B.8
C.12 D.16
解析 直线y=k(x+)过定点N(-,0),而M、N恰为椭圆+y2=1的两个焦点,由椭圆定义知△ABM的周长为4a=4×2=8.
答案 B
3.已知椭圆x2+my2=1的离心率e∈,则实数m的取值范围是 ( ).
A. B.
C.∪ D.∪
解析 椭圆标准方程为x2+=1.当m>1时,e2=1-∈,解得m>;当0b>0)的中心为O,左焦点为F,A是椭圆上的一点.·=0且·=2,则该椭圆的离心率是 ( ).
A. B.
C.3- D.3+
解析 因为·=0,且·=·(-),所以·=2,所以||=||=c,所以||=c,且∠AOF=45°,设椭圆的右焦点是F′,在△AOF′中,由余弦定理可得AF′= c,由椭圆定义可得AF+AF′= c+ c=2a,即(1+)c=2a,故离心率e===.
答案 A
5.如果椭圆+=1(a>b>0)上存在一点P,使得点P到左准线的距离与它到右焦点的距离相等,那么椭圆的离心率的取值范围为( )
A.(0,,-1] B.[-1,1][来源:Z&xx&k.Com]
C.(0,-1] D.[-1,1)
解析 设椭圆的左、右焦点分别为F1、F2,过点P作左准线的垂线,垂足为M,则=e,故|PF1|=|PM|e.又|PF1|=2a-|PF2|,|PM|=|PF2|,所以有(1+e)|PF2|=2a,则|PF2|=∈[a-c,a+c],即a-c≤≤a+c,解得:e∈[-1,1).
答案 B
6.若点F1,F2为椭圆+y2=1的焦点,P为椭圆上的点,当△F1PF2
的面积为1时,·的值是( )
A.0 B.1
C.3 D.6
解析 △F1PF2的面积为1,设P(x1,y1),
则有·|2c|·|y1|=1,即|y1|=1,
∴y1=±,代入椭圆方程得:x1=±,
∴不妨令点P为,又∴F1(-,0),F2(,0)
∴=,=
∴·=2-2+2=-3+=0.
答案 A
二、填空题
7.设F1,F2分别为椭圆+y2=1的左、右焦点,点A,B在椭圆上,若=5,则点A的坐标是________.
解析 椭圆的焦点分别为F1(-,0),F2(,0),设A点坐标为(m,n),B点坐标为(p,t)则m+=5(p-),即=p,t=,又+n2=1,且+=1,由上面两式解得m=0,n=±1,即点A的坐标是(0,±1).
答案 (0,1)或(0,-1)
8.在平面直角坐标系xOy中,椭圆C的中心为原点,焦点F1,F2在x轴上,离心率为,过F1的直线l交C于A,B两点,且△ABF2的周长为16,那么C的方程为________.
解析 由△ABF2的周长等于4a=16,得a=4,又知离心率为,即=,进而c
=2,所以a2=16,b2=a2-c2=16-8=8,∴C的方程为+=1.
答案 +=1
9. F1,F2为双曲线C:-=1(a>0,b>0)的焦点,A,B分别为双曲线的左、右顶点,以F1F2为直径的圆与双曲线的渐近线在第一象限的交点为M,且满足∠MAB=30°,则该双曲线的离心率为________.
解析 如图,以F1F2为直径的圆为x2+y2=c2,双曲线的渐近线为y=x.
由得M(a,b),
∴△MAB为直角三角形.
∴在Rt△MAB中,tan 30°===.
∴=.∴e= = =.
答案
10. 如图,∠OFB=,△ABF的面积为2-,则以OA为长半轴,OB为短半轴,F为一个焦点的椭圆方程为________.
解析 设标准方程为+=1(a>b>0),
由题可知,|OF|=c,|OB|=b,∴|BF|=a,
∵∠OFB=,∴=,a=2b.
S△ABF=·|AF|·|BO|=(a-c)·b
=(2b-b)b=2-,
∴b2=2,∴b=,∴a=2,∴椭圆的方程为+=1.
答案 +=1
三、解答题
11.已知F1,F2分别是椭圆+=1(a>b>0)的左、右焦点,A是椭圆上位于第一象限内的一点,·=0,若椭圆的离心率等于.
(1)求直线AO的方程(O为坐标原点);
(2)直线AO交椭圆于点B,若三角形ABF2的面积等于4,求椭圆的方程.
解 (1)由·=0,知AF2⊥F1F2,
∵椭圆的离心率等于,∴c=a,可得b2=a2.
设椭圆方程为x2+2y2=a2.
设A(x0,y0),由·=0,知x0=c,
∴A(c,y0),代入椭圆方程可得y0=a,
∴A,故直线AO的斜率k=,
直线AO的方程为y=x.
(2)连接AF1,BF1,AF2,BF2,
由椭圆的对称性可知,S△ABF2=S△ABF1=S△AF1F2,
∴·2c·a=4.
又由c=a,解得a2=16,b2=16-8=8.
故椭圆方程为+=1.
12.已知中心在原点,焦点在x轴上的椭圆C的离心率为,且经过点M.
(1)求椭圆C的方程;
(2)是否存在过点P(2,1)的直线l1与椭圆C相交于不同的两点A,B,满足
·=2?若存在,求出直线l1的方程;若不存在,请说明理由.
解 (1)设椭圆C的方程为+=1(a>b>0),由题意得解得a2=4,b2=3.故椭圆C的方程为+=1.
(2)假设存在直线l1且由题意得斜率存在,设满足条件的方程为y=k1(x-2)+1,代入椭圆C的方程得,(3+4k)x2-8k1(2k1-1)x+16k-16k1-8=0.因为直线l1与椭圆C相交于不同的两点A,B,设A,B两点的坐标分别为(x1,y1),(x2,y2),
所以Δ=[-8k1(2k1-1)]2-4(3+4k)(16k-16k1-8)=32(6k1+3)>0,所以k1>-.又x1+x2=,x1x2=,
因为·=2,
即(x1-2)(x2-2)+(y1-1)(y2-1)=,
所以(x1-2)·(x2-2)(1+k)=|PM|2=.即[x1x2-2(x1+x2)+4](1+k)=.
所以(1+k)==,解得k1=±.
因为k1>-,所以k1=.
于是存在直线l1满足条件,其方程为y=x.
13. 如图,在平面直角坐标系xOy中,椭圆C:+=1(a>b>0)的离心率为,以原点为圆心,椭圆C的短半轴长为半径的圆与直线x-y+2=0相切.
(1)求椭圆C的方程;
(2)已知点P(0,1),Q(0,2).设M,N是椭圆C上关于y轴对称的不同两点,直线PM与QN相交于点T.求证:点T在椭圆C上.
(1)解 由题意知,b==.
因为离心率e==,所以= =.
所以a=2.
所以椭圆C的方程为+=1.
(2)证明 由题意可设M,N的坐标分别为(x0,y0),(-x0,y0),
则直线PM的方程为y=x+1, ①
直线QN的方程为y=x+2. ②
法一 联立①②解得x=,y=,
即T.由+=1,可得x=8-4y.
因为2+2=
====1,
所以点T的坐标满足椭圆C的方程,即点T在椭圆C上.
法二 设T(x,y),联立①②解得x0=,y0=.
因为+=1,所以2+2=1.
整理得+=(2y-3)2,
所以+-12y+8=4y2-12y+9,即+=1.
所以点T坐标满足椭圆C的方程,即点T在椭圆C上.
14. 如图,设椭圆的中心为原点O,长轴在x轴上,上顶点为A,左、右焦点分别为F1,F2,线段OF1,OF2的中点分别为B1,B2,且△AB1B2是面积为4的直角三角形.
(1)求该椭圆的离心率和标准方程;
(2)过B1作直线l交椭圆于P,Q两点,使PB2⊥QB2,求直线l的方程.
解 (1) 如图,设所求椭圆的标准方程为+=1(a>b>0),右焦点为F2(c,0).
因△AB1B2是直角三角形,
又|AB1|=|AB2|,
故∠B1AB2为直角,
因此|OA|=|OB2|,得b=.
结合c2=a2-b2得4b2=a2-b2,
故a2=5b2,c2=4b2,所以离心率e==.
在Rt△AB1B2中,OA⊥B1B2,
故S△AB1B2=·|B1B2|·|OA|=|OB2|·|OA|=·b=b2.由题设条件S△AB1B2=4得b2=4,从而a2=5b2=20.因此所求椭圆的标准方程为:+=1.
(2)由(1)知B1(-2,0),B2(2,0).由题意知直线l的倾斜角不为0,故可设直线l的方程为x=my-2.代入椭圆方程得(m2+5)y2-4my-16=0.
设P(x1,y1),Q(x2,y2),则y1,y2是上面方程的两根,
因此y1+y2=,y1·y2=-,
又=(x1-2,y1),=(x2-2,y2),
所以·=(x1-2)(x2-2)+y1y2
=(my1-4)(my2-4)+y1y2=(m2+1)y1y2-4m(y1+y2)+16
=--+16=-,
由PB2⊥QB2,得·=0,
即16m2-64=0,解得m=±2.
所以满足条件的直线有两条,其方程分别为x+2y+2=0和x-2y+2=0.