重庆八中（6月三诊）2020年普通高等学校招生全国统一考试数学试题（理科） 11页

‎2020年普通高等学校招生全国统一考试 数学试题（理科）‎ 注意事项：‎ ‎1．答卷前，考试务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上．‎ ‎2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效．‎ ‎3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．‎ 一．选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．‎ ‎1．（ ）‎ A． B．i C． D．‎ ‎2．若集合，则A中的元素个数为（ ）‎ A．3 B．4 C．5 D．6‎ ‎3．函数的图象大致为（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎4．已知向量，，且，则（ ）‎ A． B． C．13 D．17‎ ‎5．若直线与圆相交于A，B两点，则（ ）‎ A．2 B． C．3 D．‎ ‎6．已知的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，，则（ ）‎ A．4 B．5 C．6 D．7‎ ‎7．一元线性同余方程组问题最早可见于中国南北朝时期的数学著作《孙子算经》，叫做“物不知数”问题，‎ 后由宋朝数学家秦九韶在《数书九章》中给出了完整系统的解答．此类问题在后续发展过程中形成了多种简便快捷的求解方法，右边的程序框图给出了某个“物不知数”问题最小整数解的求解方法——“逐步约束法”．其中，若正整数n除以正整数m的余数为r，则记为，例如．执行该程序框图，则输出的n为（ ）‎ A．20 B．38 C．47 D．53‎ ‎8．某高校数学学院安排4名研究生在开学日当天随机到三个不同的车站迎接新生，要求每个车站至少有一人，则其中小李和小明不在同一车站的概率为（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎9．直角中，，D为BC边上一点，沿AD将折起，使点C在平面ABD内的正投影H恰好在AB上，若，则二面角的余弦值是（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎10．若函数在上没有最小值，则a的最大值为（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎11．已知函数，则下列结论正确的是（ ）‎ A． B．函数有5个零点 C．函数在上单调递增 D．函数的值域为 ‎12．已知双曲线的左焦点为，过的直线l与y轴相交于点M，与C的右支相交于点P，且M为线段的中点，若C的渐近线上存在一点N，使得，则C的离心率为（ ）‎ A． B． C．2 D．‎ 二．填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．‎ ‎13．函数，则________．‎ ‎14．若x，y满足约束条件．则的最小值为________．‎ ‎15．若，且，则________．‎ ‎16．三棱台中，，，侧面底面ABC，M为AB的中点，线段MC的长为________（2分）；该三棱台的所有顶点都在球O的球面上，则球O的表面积为________（3分）．‎ 三．解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17~21题为必考题，每个试题考生都必须做答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答．‎ ‎（一）必考题：共60分．‎ ‎17．（12分）已知是公差不为零的等差数列，是其前n项和，若，且是与的等比中项．‎ ‎（1）求的通项公式；‎ ‎（2）记，，证明：．‎ ‎18．（12分）近几年来，热饮越来越受到年轻人的欢迎．一个研究性学习小组为了研究气温对热饮销售的影响，统计了学校门口一个热饮店在2019年1月份某6天白天的平均气温和热饮销售量，得到以下数据：‎ x气温/‎ ‎0‎ ‎3‎ ‎6‎ ‎10‎ ‎13‎ y销售量/杯 ‎161‎ ‎146‎ ‎138‎ ‎133‎ ‎120‎ ‎112‎ ‎（1）求销售量关于气温的回归直线方程，若某天白天的平均气温为，估计当天的热饮销售量；‎ ‎（2）根据表格中的数据计算（精确到0.001），由此解释平均气温对销售量变化的影响．‎ 参考公式：‎ ‎，；．‎ ‎19．（12分）已知抛物线，直线l经过点，且与C相交于A，B两点，O为坐标原点．‎ ‎（1）判断的形状，并说明理由；‎ ‎（2）若，且的面积为5，求l的方程．‎ ‎20．（12分）如图，四棱锥中，底面ABCD为菱形，，H为PC的中点，过AH的平面分别交线段PD，PB于点M，N．‎ ‎（1）若面AMHN，求证：；‎ ‎（2）若，，求AC与面AMHN所成角的正弦值的最大值．‎ ‎21．（12分）已知函数，其中．‎ ‎（1）证明：函数有两个极值点，，并求的取值范围；‎ ‎（2）若曲线在点处的切线与该曲线有且仅有一个公共点，求a的所有可能值．‎ ‎（二）选考题：共10分．请考生在第22、23题中任选一题作答．如果多做，则按所做的第一题计分．‎ ‎22．[选修4-4：坐标系与参数方程]（10分）‎ 在平面直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为（k为参数），以坐标原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线l的极坐标方程为．‎ ‎（1）求曲线C和直线l的普通方程；‎ ‎（2）若P为曲线C上一点，求P到直线l距离的取值范围．‎ ‎23．[选修4-5：不等式选讲]（10分）‎ 设函数．‎ ‎（1）若，求的解集；‎ ‎（2）若，，求a的取值范围．‎ 参考答案 一．选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分．‎ ‎1．B 2．B 3．A 4．A 5．D 6．D ‎7．D 8．C 9．A 10．C 11．C 12．B 二．填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．‎ ‎13． 14． 15． 16．2，‎ 三．解答题：共70分．‎ ‎（一）必考题：共60分．‎ ‎17．设的公差为d，．‎ ‎（1）由条件，得．即．‎ 解得：，，所以，． 5分 ‎（2）由（1）得：，，‎ ‎，‎ 因为，所以，．‎ 从而，故． 12分 ‎18．（1）由条件，，，从而 x ‎0‎ ‎3‎ ‎6‎ ‎10‎ ‎13‎ y ‎161‎ ‎146‎ ‎138‎ ‎133‎ ‎120‎ ‎112‎ ‎1‎ ‎5‎ ‎8‎ ‎26‎ ‎11‎ ‎3‎ ‎，，‎ 解得：，．‎ 所以，气温预报销售量的回归直线方程为：． 5分 当时，．‎ 因此，某天白天的平均气温为时，估计可以卖出102杯热饮． 7分 ‎（2）‎ x ‎0‎ ‎3‎ ‎6‎ ‎10‎ ‎13‎ y ‎161‎ ‎146‎ ‎138‎ ‎133‎ ‎120‎ ‎112‎ ‎156‎ ‎150‎ ‎141‎ ‎132‎ ‎120‎ ‎111‎ ‎5‎ ‎1‎ ‎0‎ ‎1‎ ‎，．‎ ‎．‎ 所以，平均气温解释了96.7%的销售量变化（或销售量变化有96.7%是由平均气温引起的）． 12分 ‎19．设直线l的方程为；，代入，‎ 化简得：，‎ ‎，设，，‎ 则，，‎ ‎（1）因为，所以．‎ 故是直角三角形，斜边为AB． 5分 ‎（2）．‎ 的面积，‎ 解得：，．‎ 故直线l的方程为：或． 12分 ‎20．（1）证明：连接AC，BD交于点O，‎ 因为面AMHN，面面，‎ 面AMHN，则．‎ 因为底面ABCD为菱形，所以，且O为BD的中点．‎ 因为，所以，‎ 又因为，所以面PAC，面PAC，‎ 所以，由，故． 5分 ‎（2）因为，所以，由（1）知，，，‎ 以O为原点，以OA，OD，OP为x轴，y轴，z轴，建立空间直角坐标系．‎ 因为，，，，‎ 所以，，，，，‎ 从而，，，‎ 设，‎ 设面AMH的法向量，则，即．‎ 令，所以 设为直线AC与面AMHN所成角，所以，‎ 当时，取得最大值．‎ 经检验，此时点N在线段PB上，符合题意． 12分 ‎21．（1）的定义域为，，‎ 设，‎ 因为且，，‎ 所以在上有两个不等实根，，且 当，时，，；‎ 当时，，．‎ 所以在，上单调递增，在上单调递减，‎ 故，是的两个极值点，且，．‎ 从而，‎ 又因为，所以，故． 5分 ‎（2）由知曲线在处切线方程为，‎ 原问题等价于方程只有一个实根，‎ 设，‎ ‎．‎ ‎①当时，，在上单增，而，‎ 所以只有一个零点，符合题意．‎ ‎②当时，令得或1，‎ 所以，当，时，；当时，．‎ 从而在，上单调递增，在上单调递减，‎ 所以在上有一个零点，‎ 在上，因为，‎ 设，‎ 则，在单调递增，‎ 所以，即，从而，‎ 取，则．‎ 存在，使得，此时有两个零点，不符题意．‎ 综上，a可取得的所有值为1． 12分 ‎22．（1）由得，代入得，‎ 又由，得，‎ 整理得曲线C的普通方程为；‎ 直线l的极坐标方程为，‎ 因为及，‎ 所以直线l的普通方程为．‎ ‎（2）设点，则点P到直线l的距离为 ‎，‎ 因为，‎ 所以点P到直线l的距离的取值范围为． 10分 ‎23．（1）由，，‎ 当时，，解得，所以，‎ 当时，，解得，所以，‎ 当时，，解得：，‎ 综上可得：，所求的解集为．‎ ‎（2）恒成立，‎ 又，‎ ‎，或或，‎ 所求的a的取值范围是：．‎