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- 2021-06-15 发布
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2017 高二(上)期中试题
数 学(理科)
注意事项:
1.本试卷共4页,包括填空题(第1题~第14题)、解答题(第15题~第20题)两部分.本试卷满分为100分,考试时间为100分钟.
2.答题前,请务必将自己的姓名、学校写在答题卡上.试题的答案写在答题卡上对应题目的答案空格内.考试结束后,交回答题卡.
一、填空题(本大题共14小题,每小题3分,共42分.请把答案填写在答题卡相应位置上)
1.已知空间一点A的坐标是(5, 2, -6),P点在x轴上,若PA=7,则P点的坐标是 .
2.命题“∃x∈[-1,1],x2-3x+1<0”的否定是 .
3.圆C1:(x+1)2+(y+1)2=1和圆C2:x2+y2+4x-4y-1=0的位置关系是 .
4.已知点A(-1, 0),B(1, 0) ,若点C满足条件AC=2BC,则点C的轨迹方程是 .
5.过点(2,-2)的抛物线的标准方程是 .
6.若点(-2,t)在直线2x-3y+6=0的上方,则t的取值范围是 .
7.已知曲线C :y2-4x2 n=0,则“n为正奇数”是“曲线C关于y轴对称”的 条件(填“充分不必要”,“必要不充分”,“充要”,“既不充分又不必要”中的一个).
8.椭圆+=1上一点P与椭圆的两个焦点F1,F2的连线互相垂直,则△PF1F2的面积是 .
9.已知双曲线的中心是原点,焦点到渐近线的距离为2,一条准线方程为y=-1,则其渐近线方程为 .
10.圆心在y轴上,且与直线2x+3y-10=0相切于点A(2,2)的圆的方程是 .
11.若“(x-a)(x-a-1)<0”是“1<2x<16”的充分不必要条件,则实数a的取值范围是 .
12.直线y=x+b与曲线x+=0恰有一个公共点,则b的取值范围是 .
13.曲线 =(2-x) 的焦点是双曲线C的焦点,点(3,-)在C上,则C的方程是 .
14.已知圆 (x-a)2+(y-b)2=4过坐标原点,则a+b的最大值是 .
二、解答题(本大题共6小题,共计58分.请在答题卡指定区域内作答,解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤)
15.(本小题满分8分)写出命题“若直线l的斜率为-1,则直线l在两坐标轴上截距相等”的逆命题,否命题与逆否命题,并分别指出这三个命题是真命题还是假命题?
16.(本小题满分9分)某企业计划生产A,B两种产品.已知生产每吨A产品需3名工人,耗电4 kW,可获利润7万元;生产每吨B产品需10名工人,耗电5 kW,可获利润12万元,设分别生产A,B两种产品x吨,y吨时,获得的利润为z万元.
(1)用x,y表示z的关系式是 ;
(2)该企业有工人300名,供电局只能供电200 kW,求x,y分别是多少时,该企业才能获得最大利润,最大利润是多少万元?
17.(本小题满分10分)已知直线l:2x+y+4=0与圆C:x2+y2+2x-4y+1=0的两个交点分别为A,B.
(1)求A,B的坐标;
(2)点D在x轴上,使三角形ABD为等腰三角形,求点D的坐标.
18.(本小题满分10分)设直线l的方程是x+my+2=0,圆O的方程是x2 +y2=r2 (r >0).
(1)当m取一切实数时,直线l与圆O都有公共点,求r的取值范围;
(2)r=4时,求直线l被圆O截得的弦长的取值范围.
19.(本小题满分10分)已知双曲线C1:-8y2=1(a>0)的离心率是,抛物线C2:y2=2px的准线过C1的左焦点.
(1)求抛物线C2的方程;
(2)若A(x1,y1),B(x2,y2),C(x3,4)是C2上三点,且CA⊥CB,证明:直线AB过定点,并求出这个定点的坐标.
20.(本小题满分11分)椭圆+=1(a>b>0)的中心是O,左,右顶点分别是A,B,点A到右焦点的距离为3,离心率为,P是椭圆上与A,B不重合的任意一点.
(1) 求椭圆方程;
(2)设Q(0,-m)(m>0)是y轴上定点,若当P点在椭圆上运动时PQ最大值是,求m的值.
高二(文)数学参考答案
一、填空题(每小题3分,共42分)
1.(8,0,0)或(2,0,0)
2.∀x∈[-1,1],x2-3x+1≥0
3.相交
4.3x2+3y2-10x+3=0
5.y2=2x或x2=-2y
6.(,+∞)
7.充分不必要
8.24
9.y=±x
10.x2+(y+1)2=13
11.[0,3]
12.{b|-1≤b<1,或b=}
13.3x2-y2=1
14.2
二、解答题(本大题有6小题,共58分)
15.逆命题
若直线l在两坐标轴上截距相等,则直线l的斜率为-1;该命题是假命题; ……3分
否命题
若直线l的斜率不为-1,则直线l在两坐标轴上截距不相等;该命题是假命题;……6分
逆否命题
若直线l在两坐标轴上截距不相等,则直线l的斜率为不-1;该命题是真命题.……8分
(说明,对一个得3分,对两个得6分,对三个得8分)
16.(1)z=7x+12 y;……2分
(2)根据题意得……4分
由得……5分
记点A(20,24).
(作出可行域)如右图,当斜率为- 的直线经过点A(20,24)时,在y轴上的截距最大. ……8分
此时,z取得最大值,为(万元).
所以,x,y分别是20,24时,该企业才能获得最大利润,最大利润是万元.……………………………9分
17.(1)由可得两交点的坐标不妨分别为A (-,),B (-3,2).……3分
(2) ①当DA=DB时,易得直线l的斜率为-2,线段AB的垂直平分线的斜率为,中点为 (-,),
所以线段AB的垂直平分线的方程为x-2y+5=0.
所以点D的坐标为(-5,0).……………………………………………………………………………6分
②当DA=BA时,以A 为圆心,AB为半径的圆A的方程为(x+) 2+(y-) 2=.
圆A与x轴的交点为(-+,0)和(--,0).………………………………………9分
③当BA=BD时,以B为圆心,AB为半径的圆与x轴无交点.……………………………………10分
所以,点D的坐标为 (-5,0)或(-+,0)或(--,0) .
18.(1)直线l过定点(-2,0),当m取一切实数时,直线l与圆O都有公共点等价于点(-2,0)在圆O内或在圆O上,……………………………………………………………………………………2分
所以r的取值范围是[,+∞);………………………………………………………………………5分
(其他解法,类比赋分,如≤r恒成立,等)
(2)设坐标为(-2,0) 的点为点A,
当直线l与OA垂直时,直线l被圆O截得的弦长为4;………………………………………………7分
x轴被圆O截得的弦长为8; ………………………………………………8分
直线l被圆O截得的弦长的取值范围是[4,8).………………………………………………………10分
(其他解法,类比赋分,如弦长2取值范围是[4,8),等)
19. (1)因为双曲线C1:-8y2=1(a>0)的离心率是,
所以a2=,c2=, …………………………………………………………2分
所以抛物线C2:y2=2px的准线方程是x=-,
所以p=1,抛物线C2的方程是y2=2x. ………………………………………………4分
(2)不妨设C(8,4),
(第一类解法)
设AC的斜率为k,则直线AC的方程是y-4=k(x-8),
x=代入并整理,得ky2-2y+8-8k=0,
方程的两根是4和-4,所以y1=-4,x1=,
A点的坐标是(,-4),
同理可得B点的坐标(2(2+k)2,-2k-4), ………………………………………………7分
直线AB的斜率KAB==,
直线AB的方程是y-(-2k-4)=[x-2(2+k)2],
即y=(x-10)-4, ………………………………………………9分
直线AB过定点,定点坐标是(10,-4). ………………………………………………10分
(第二类解法)
因为A(x1,y1),B(x2,y2)在C2上,
所以x1=,x2=.显然,y1≠4, y2≠4,y1+y2≠0.
因为CA⊥CB,所以(-8)(-8)+(y1-4)( (y2-4)=0.
所以(y1+4)(y2+4)=-4,y1y2=-4(y1+y2)-20 (*), …………………………………6分
直线AB的方程是y-y1=(x-),
解法一 直线AB的方程即y=x+,
将(*)式代入,得y=(x-10)-4, ………………………………………………9分
所以直线AB过定点,这个定点的坐标是(10,-4). ………………………………10分
解法二 由(*)得y2=- .
把y2=- 代入直线方程,整理得y12(-y-4)+y1(2x-10)+8 x+20 y=0.…………8分
由得
所以直线AB过定点,这个定点的坐标是(10,-4). …………………………10分
解法三 由(*)式得y2=- .
可得
进而得A(18,-6),B(2,-2),
进而得直线AB:x+4y+6=0.(其它方程类比赋分) ………………………………………7分
由(*)式得还可得
进而得A(,-3) ,B(32,-8) ,
进而得另一直线AB:2x+11y+24=0. ………………………………………………8分
由得
因为适合直线AB的方程(y=x+), ……………………………………9分
所以直线AB过定点,这个定点的坐标是(10,-4). ……………………………………10分
20.(1) 由题意得 解得
所以,所求方程为+ =1.………………………………………………………………………4分
(2) PQ2=x02+(y0+m)2=-(y0-3m)2+4m2+4,………………………………………………………6分
①当0时,PQmax=m+,令m+=,得m=-(舍去);………………… 10分
所以m的值是.………………………………………………………………………………………11分