安徽省安庆市第二中学2020-2021学年度第一学期期中考试高二数学试卷 4页

安庆二中 2020 - 2021 学年度第一学期期中考试 高二数学试卷 （满分：150 分 时间：120 分钟） 一、单项选择题（共 12 小题，满分 60 分，每小题 5 分） 1. 在空间直角坐标系中，点 P(1,2,3) 关于平面 xOz 对称的点的坐标是（ ） A. (1, - 2,3) B. ( -1,2, - 3) C. ( -1, - 2,3) D. (1, - 2, - 3) 2. 已知直线 l1：ax + (a + 2)y + 1 = 0，l2：x + ay + 2 = 0，若 l1 ⏊ l2，则实数 a 的值是（ ） A. 0 B. 2 或 -1 C. 0 或 -3 D. -3 3. 以下茎叶图记录了甲、乙两组五名同学在一次英语听力测试中 的成绩（单位：分）. 已知甲组数据的中位数为 15，乙组的平均数 为 16.8，则 x，y 分别为（ ） A. 2，5 B. 5，5 C. 5，8 D. 8，8 4. 高一某班有学生 56 人，现将所有同学随机编号，用系统抽样的方法，抽取一个容量为 4 的样本， 已知 6 号、34 号、48 号学生在样本中，则样本中还有一个学生的编号为（ ） A. 18 B. 20 C. 21 D. 23 5. 已知某种商品的广告费支出 x（单位：万元）与销售额 y（单位：万元）之间有如下对应数据： x 2 4 5 6 8 y 30 40 50 m 60 根据表中的全部数据，用最小二乘法得出 y 与 x 的线性回归方程为 y = 6.5x + 17.5，则表中 m 的值为（ ） A. 45 B. 50 C. 56.5 D. 70 6. 某学校计划从 3 名男生和 2 名女生中任选 3 人参加抗疫英雄事迹演讲比赛，记事件 M 为 “ 恰 有 1 名男生参加演讲 ”，则下列事件中与事件 M 对立的是（ ） A. 恰有 2 名男生参加演讲 B. 恰有 2 名女生参加演讲 C. 至少有 2 名男生参加演讲 D. 至多有 2 名男生参加演讲 7. 袋子里有大小、形状相同的红球 m 个，黑球 n 个（m > n > 2），从中任取 1 个球是红球的概率记 为 p1；若将红球、黑球个数各增加 1 个，此时从中任取 1 个球是红球的概率记为 p2；若将红球、黑 球个数各减少 1 个，此时从中任取 1 个球是红球的概率记为 p3. 则（ ） A. p1 > p2 > p3 B. p1 > p3 > p2 C. p3 > p2 > p1 D. p3 > p1 > p2 8. 某程序框图如图所示，若输出的 S = 26，则判断框内应填（ ） A. k > 3? B. .k > 4? C. .k > 5? D. .k > 5? 甲组 乙组 9 0 1 2 9 5 4 82 47 x y 开始 结束 S=1,k=1 k=k+1 S=2S+k 输出S 是 否 第 1 页 （共 4 页） 9. 已知实数 x，y 满足约束条件      2x - y + 1 ≥ 0 x + 2y ≤ 2 x + y ≥ 0 ，则 z = x + 3y 的最大值为（ ） A. 4 B. 3 C. 2 3 D. 0 10. 圆 C ：x2 + y2 = 2，点 P 为直线 x 3 + y 6 = 1 上的一个动点，过点 P 向圆 C 作切线，切点分别为 A、B，则直线 AB 过定点（ ） A.  1 2 ,1 3 B.  2 3 ,1 3 C.  1 3 ,1 3 D.  1 3 ,2 3 11. 数学家欧拉于 1765 年在他的著作 《三角形的几何学》 中首次提出定理：三角形的外心、重心、 垂心依次位于同一条直线上，且重心到外心的距离是重心到垂心距离的一半，这条直线被后人 称之为三角形的欧拉线 . 在平面直角坐标系中作 △ABC，在 △ABC 中，AB = AC = 4，点 B( - 1,3)，点 C(4, - 2)，且其 “ 欧拉线 ” 与圆 (x - 3)2 + y2 = r2 相切，则该圆的半径为（ ） A. 1 B.   2 C. 2 D. 2  2 12. 已知圆 x2 + y2 + x - 6y + 3 = 0 上的两点 P，Q 关于直线 kx - y + 4 = 0 对称，且 OP ⏊ OQ（O 为坐标原点），则直线 PQ 的方程为（ ） A. y =-1 2 x + 3 2 B. y =-1 2 x + 1 2 或 y =-1 2 x + 5 4 C. y =-1 2 x + 1 4 D. y =-1 2 x + 3 2 或 y =-1 2 x + 5 4 二、填空题（共 4 小题 . 满分 20 分，每小题 5 分） 13. 在区间  0,1 上随机选取选取两个数 x 和 y，则满足 2x - y < 0 的概率为 _______. 14. 如图是某学校抽取的学生体重的概率分布直方图，已知图中从左到右的前 3 个小组的频率依次成 等差数列，第 2 小组的频数为 15，则抽取的学生人数为 _______. 15. 在平面直角坐标系中，已知点 A(2,0)，B(4,0). 若直线 l：x - y + m = 0 上存在点 P 使得 PB =   2PA，则实数 m 的取值范围是 _______. 16. 在平面直角坐标系 xOy 中，已知点 A( -1,0)，B(1,0) 均在圆 C：(x - 3)2 + (y - 4)2 = r2 外，且圆 C 上存在唯一一点 P 满足 AP ⏊ BP，则半径 r 的值为 _______. 体重（kg） 频率 组距 0.0375 0.0125 50 55 60 65 70 75 第 2 页 （共 4 页） 三、解答题（共 6 小题，满分 70 分） 17.（10 分）在平面直角坐标系 xOy 中，已知 △ABC 的三个顶点的坐标分别为 A( -3,2),B(4,3)，C( - 1, - 2). （1）在 △ABC 中，求 BC 边上的高线所在的直线方程； （2）求 △ABC 的面积 . 18.（12 分）某城市 100 户居民平均用电量（单位：度）以  160,180 、 180,200 、 200,220 、 220,240 、  240,260 、 260,280 、 280,300 分组的频率分布直方图如图所示： （1）求直方图中 x 的值； （2）用分层抽样的方法从  260,280 和  280,300 这两组用户中确定 6 人做随访，再从这 6 人中随 机抽取 2 人做问卷调查，则这 2 人来自不同组的概率是多少？ （3）求月平均用电量的众数和中位数 . 19.（12 分）已知直线 l 经过点 P( -1,2). （1）若直线 l 在两坐标轴上截距和为零，求 l 方程； （2）设直线 l 的斜率 k > 0，直线 l 与两坐标轴交点分别为 A、B，求 △AOB 面积最小值 . 160180200 220240260280 300 月平均用电量/度 频率 组距 O 0.002 0.0025 0.005 x 0.0095 0.011 0.0125 第 3 页 （共 4 页） 20.（12 分）柴静《穹顶之下》的播出，让大家对雾霾天气的危害有了更进一步的认识，对于雾霾天气的 研究也渐渐活跃起来，某研究机构对春节燃放烟花爆竹的天数 x 与雾霾天气数 y 进行统计 分析，得出下表数据： x 4 5 7 8 y 2 3 5 6 （1）请画出上表数据的散点图（画在答题卡所给的坐标系内）； （2）请根据上表提供的数据，用最小二乘法求出 y 关于 x 的 线性回归方程 y =  bx + a； （3）试根据（2）求出的线性回归方程，预测燃放烟花爆竹的 天数为 9 的雾霾天数 . 参考公式： b =  ∑ n i=1 xiyi - n xy ∑ n i=1 x2 i - n x2 ，a = y -  b x，其中 x，y 为数 据 x，y 的平均数 . 21.（12 分）已知圆 C 的圆心 C 在 x 轴上，且圆 C 与直线 x +   3y + n = 0 相切于点 (3 2 ,  3 2 ). （1）求 n 的值及圆 C 的方程； （2）若圆 M ：x2 + (y -   15)2 = r2(r > 0) 与圆 C 相切，求直线   3x -   2y = 0 截圆 M 弦长 . 22.（12 分）已知圆 M ：(x + 2)2 + (y + 2)2 = r2(r > 0) 过点 T( -3, - 3)，圆 M 关于直线 x + y + 2 = 0 对 称的圆为圆 C，设 P 点为 T 点关于 x + y + 2 = 0 的对称点 . （1）求圆 C 的方程； （2）设 Q 为圆 C 上的一个动点，求  PQ ⋅  MQ 的最小值； （3）过点 P 作两条相异直线分别与圆 C 相交于 A，B，且直线 PA 和直线 PB 分别与 x 轴的交点分 别为 E，F，若 △PEF 是以 P 为顶点的等腰三角形，O 为坐标原点，试判断直线 OP 和 AB 是否 平行，并说明理由 . 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 x y 第 4 页 （共 4 页）