四川省阆中中学2020年普通高等学校招生全国统一考试适应性考试（二）数学（理）试题（Word版附答案） 11页

秘密★启用前 2020 年普通高等学校招生全国统一考试适应性考试（二） 数 学（理） 注意事项： 1．答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形 码粘贴在答题卡上的指定位置。 2．选择题的作答：每小题选出答案后，用 2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂 黑，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。 3．非选择题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。写在试题卷、草 稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。 4．考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交。 一．选择题（每题 5 分，共 60 分） 1. 已知集合 A={1, 2, 3, 4, 5}，B={(x,y)| x∈A, y∈A, x-y∈A}，则 B 中所含元素的个数为（ ） A. 3 B. 6 C. 8 D. 10 2. 设复数 z 满足 =1iz  ，z 在复平面内对应的点为(x，y)，则（ ） A． 2 2+1 1( )x y  B． 2 2 1( 1)x y  C． 22 ( 1) 1yx    D． 22 ( +1) 1yx   3. 已知向量 (1 ) (3 2)， ， = ，m a b ，且 ( ) a + b b ，则 m =（ ） A．8 B．6 C．-6 D．-8 4．已知双曲线 2 2 2: 1( 0)9 y xC bb    ，其焦点 F 到 C 的一条渐近线的距离为 2,该双曲线的离心率为 ( ) A． 13 2 B． 13 3 C． 2 3 D． 3 2 5．我国古代数学著作（算法统宗》中有这样一个问题（意为）:“有一个人要走 378 里路,第一天健 步行走，从第二天起因脚痛每天走的路程为前一天的一半，走了 6 天后到达目的地．“那么，此 人第 4 天和第 5 天共走路程是 ( ) A．24 里 B．36 里 C．48 里 D．60 里 6. 安排 3 名志愿者完成 4 项工作,每人至少完成 1 项，每项工作由 1 人完成，则不同的 安排方式共有（ ） A．12 种 B．18 种 C．24 种 D．36 种 7．已知 满足 3 22cos  ，则 π πcos cos4 4              （ ） A． 7 18 B． 25 18 C． 7 18  D． 25 18  8.已知 ,2loga 5 ,2.0logb 5.0 ,5.0c 2.0 则 a，b，c 的大小关系为( ) A． B． C． D． 9. 函数 xxxf sin)cos1()(  在 ],[  的图像大致为( ) 10. 如图所示，直三棱柱的高为 4，底面边长分别是 5，12，13，当球与 上底面三条棱都相切时球心到下底面距离为 8，则球的体积为( ) 3 5160. A 3 580. B 3 296. C 3 3256. D 11.设抛物线 2: 2 ( 0)C y px p  的焦点为 F ，点 M 在 C 上，| | 5MF  ，若以 MF 为直径的圆过点 (0,2) ， 则 C 的方程为（ ） A. 2 4y x 或 2 8y x B. 2 2y x 或 2 16y x C. 2 2y x 或 2 8y x D. 2 4y x 或 2 16y x 12.若对于任意的 )0,2[, 21 xx , 21 xx  ,有 axx exex xx   21 21 21 22 ）（）（ 恒成立,则 a 的最小值为 （ ） A. 2 1 e  B. 2 2 e  C. 2 3 e  D. e 1 二.填空题（每题 5 分，共 20 分） 13.若 x，y 满足 1 1 3 x y x y        ，则 2z x y  的最小值为 14. 5(2 )x x 的展开式中， 3x 的系数是_______．（用数字填写答案） 15.已知函数 1)1ln()( 2  xxxf ，   4f a  ，则  )()()( afafaf _____． 16.在 ABC 中，若   222 53 bca  ，则 Bcos 的最小值为 三、解答题（共 70 分，解答题应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 17.（本题满分 12 分）设等差数列 }{ na 的前 n 项和为 nS ，数列 }{ nb 是等比数列， 211  ba , 432 SSS  , 673 64 baa  . （1）求数列 }{ na 和 }{ nb 的通项公式； （2）设 n n n n n a b b a 2 2 log logc  , 求数列 }{ nc 的前 n 项和 nT . 18.（本题满分 12 分）在某单位的食堂中，食堂每天以 10 元/斤的价格购进米粉，然后 以 4.4 元/碗的价格出售，每碗内含米粉 0.2 斤，如果当天卖不完，剩下的米粉以 2 元/斤的价格卖给养猪场.根据以往统计资料，得到食堂某天米粉需求量的频率分布 直方图如图所示，若食堂购进了 80 斤米粉，以 x （斤）（其中 10050  x ）表示 米粉的需求量，T （元）表示利润. （1）估计该天食堂利润不少于 760 元的概率； （2）在直方图的需求量分组中，以区间中间值 作为该区间的需求量，以需求量落入该区 间的频率作为需求量在该区间的概率，求 T 的分布列和数学期望. 19.（本题满分 12 分）如图所示，直三棱柱 111 CBAABC  的各棱长均相等，点 E 为 1AA 的中点. （1）证明： 11 BCEB  ; （2）求二面角 CEBC  11 的余弦值. 频率/组距 20.（本题满分 12 分）己知圆 F1：(x+1)2 +y2= r2(1≤r≤3)，圆 F2：(x-1)2+y2= (4-r)2 ． （1）证明：圆 F1 与圆 F2 有公共点，并求公共点的轨迹 E 的方程； （2）已知点 Q(m，0)(m<0)，过点 2F 且斜率为 k(k≠0）的直线与（Ⅰ）中轨迹 E 相交 于 M，N 两点，记直线 QM 的斜率为 1k ，直线 QN 的斜率为 2k ， 是否存在实数 m 使得 ）（ 21kk k 为定值？若存在，求出 m 的值，若不存在，说明理由． 21.（本题满分 12 分）已知函数 f（x）=2sinx-xcosx-x， )(xf  为 )(xf 的导数． （1）证明： )(xf  在区间 ),0(  存在唯一零点； （2）若 x∈[0,π]时，f（x）≥ax，求 a 的取值范围． 请考生在第 22,23 三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题得分.作答时请写清题号 22.（本题满分 10 分）在平面直角坐标系 xOy 中，l 的参数方程为         t ty t tx 1 1 1 （t 为 参数）.以坐标原点 O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线 C 的极坐标 方程为  2 2 sin3 12  . （1）求l 的普通方程和曲线 C 的直角坐标方程； （2）求曲线 C 上的点到 l 距离的最大值及该点坐标. 23.（本题满分 10 分）设函数 |3||2|)  xxxf（ . （Ⅰ）求不等式 9)( xf 的解集； （Ⅱ）若关于 x 的不等式 |23|)(  mxf 有解，求实数 m 的取值范围. 2020 年普通高等学校招生全国统一考试适应性考试（二） 数学参考答案（理科） 一、请将选择答案填入下列表格（每小题 5 分，共计 60 分） 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 答案 D C A B B D A B C A D C 二、请将填空题答案填入下列横线（每小题 5 分，共计 20 分） 13．2 14．10 15. -2 16. 5 2 三、解答题（本大题共 6 小题，共 70 分，解答应写出文字说明，证明过程，或演算步骤） 17. （1）解：设等差数列 的公差为 ，等比数列 的公比为 . ，即 ， ..........................................................................................................2 分 ， ， ......................................3 分 . ， ， ............................6 分 （2）解： .............................8 分 ...........................................10 分 .....12 分 18.【答案】 （1）解：一斤米粉的售价是 元. 当 时， . 当 时， . 故 ............................................................................3 分 设利润 不少于 760 元为事件 ， 利润 不少于 760 元时，即 . 解得 ，即 . 由直方图可知，当 时， .........................................................5 分 （2）解：当 时， ； 当 时， ； 当 时， ； 当 时， ;960T 所以 可能的取值为 460，660，860，960.........................................................9 分 ， ， ， . 故 的分布列为 ........................................................................10 分 ................................12 分 19.【答案】（1）证明：设 与 交点为 ，连接 ， . 由 题可知四边形 为正方形，所以 ，且 为 中点. 又因 ， ， 所以 ，所以 . 又因为 ，所以 平面 . 因为 平面 ，所以 .......................................................................................5 分 （2）解：取 的中点 ，连接 ， ，在平面 过点 内作 的垂 线，如图所示，建立空间直角坐标系 . 设 ，则 ， ， ， . 所以 ， .......................................................................7 分 设平面 的一个法向量为 ， 则 ，令 ，则 ................9 分 由（1）可知平面 的一个法向量为 ，.............................10 分 则 由图可知二面角 为锐角，所以其余弦值为 ......................................12 分 20. （1）证明：因为 ， ，所以 ， 因为圆 的半径为 ，圆 的半径为 ，......................................................1 分 又因为 ，所以 ，即 ， 所以圆 与圆 有公共点，.........................................................................................2 分 设公共点为 ，因此 ，所以 点的轨迹 是以 ， 为焦 点的椭圆，所以 ， ， ，....................................4 分 即轨迹 的方程为 ..........................................................................................5 分 （2）解：过 点且斜率为 的直线方程为 ，设 ， 由 消去 得到 ， 则 ， ， ① ...............................................................7 分 因为 ， ， 所以 ， 将①式代入整理得 ...................................................10 分 因为 ， 所以当 时，即 时， . 即存在实数 使得 ..............................................................12 分 21.解：（1）设 ( ) ( )g x f x ，则 ( ) cos sin 1, ( ) cosg x x x x g x x x    ..........1 分 当 π(0, )2x 时， ( ) 0g x  ；当 π ,π2x     时， ( ) 0g x  ，所以 ( )g x 在 π(0, )2 单调递增，在 π ,π2      单调递减..........................................................................................3分 又 π(0) 0, 0, (π) 22g g g       ，故 ( )g x 在 (0,π) 存在唯一零点.............4分 所以 ( )f x 在 (0,π) 存在唯一零点.......................................................................5分 （2）由题设知f（x）≥ax ，则 0)( f 解得a≤0..............................................6分 现在只要说明a≤0符合题意 由（1）知， ( )f x 在 (0,π) 只有一个零点，设为 0x ，且当  00,x x 时， ( ) 0f x  ；当  0,πx x 时， ( ) 0f x  ， 所以 ( )f x 在 00, x 单调递增，在 0,πx 单调递减...........................................8分 又 (0) 0, (π) 0f f  ，所以，当 [0,π]x 时，f（x）≥0................................10分 又当  ,0,0  xa 时，ax≤0，故. axxf )( ..............................................................11分 因此，a的取值范围是 ( ,0] .........................................................................................12分 22.（1）解：由 （t 为参数），得 . 消去参数 t ， 得 的普通方程为 ；..........................................3 分 将 去分母得 ，将 代入，得 所以曲线 C 的直角坐标方程为 ................................................................................................5 分 （2）解：由（1）可设曲线 C 的参数方程为 （ 为参数），......................6 分 则曲线 C 上的点到 的距离 ，........................................................................................7 分 当 ，即 时，...............................................................8 分 ，.......................................................................................................................9 分 此时， ，...................................................................10 分 所以曲线 C 上的点到直线 距离的最大值为 ，该点坐标为 .......................10 分 23.【答案】 解：（Ⅰ） ，..........................................................2 分 当 时， ，解得 ，所以 ； 当 时， ，解得 ； 当 时， ，解得 ，所以 ，...............................................4 分 综上所述，不等式 的解集为 或 .............................................5 分 （Ⅱ）∵ （当且仅当 即 时取等）.................................................7 分 ∴ 3 71523  mmm 或 ..........................................................................................10 分