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  • 2021-06-15 发布

2019-2020学年海南省嘉积中学高二上学期第三次月考(12月)数学试题

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海南省嘉积中学 2019-2020 学年高二上学期第三次月考数学科试题 (考试时间:120 分钟 满分:150 分) 命题人: 审题人: 欢迎你参加这次测试,祝你取得好成绩! 注意事项: 1、把试题卷的答案写在答题卷上,并在方框内答题,答在框外不得分; 2、禁止考生使用计算器作答. 一、选择题(本大题共 8 小题,每小题 5 分,满分 40 分.在每小题给出的四个选项中,只有 一项是符合题目要求的) 1.设集合 , , ,则 的值是 A.1 B. C. D. 2. 满足不等式 ,则 的取值范围是 A. B. C. D. 3.已知直三棱柱 的所有棱长都相等, 为 的中点,则异面直线 与 所成角的余弦值是 A. B. C. D. 4.倾斜角为 的直线 经过双曲线 的右焦点 ,与双曲线交于 、 两点,则 A.8 B. C.4 D. 5. 已知椭圆 的左右焦点分别是 、 ,椭圆上一点 使得 ,则 的面积是 A.2 B. C.1 D. 6.函数 的图象大致为 }1,3,2{ 2 += aA }1,{ 2 −+= aaB }2{=∩ BA a 21 −或 0 2− x 21 )4 1(2 2 −+ ≤ xx x ]1,3[− )1,3(− ),1[ +∞ ]3,(−∞ 111 CBAABC − M 11CA AM BC 10 95 3 5 4 6 10 5 6 π l 422 =− yx F A B =AB 38 34 14 2 2 =+ yx 1F 2F P 9021 =∠ PFF 21PFF∆ 2 22 |sin |( ) e xf x x= ⋅ A. B. C. D. 7.过坐标原点且斜率为 的直线与曲线 有公共点,则实数 的取值范围是 A. B. C. D. 8.已知过抛物线 的焦点 的直线与抛物线交于 , 两点,且 ,抛物线的准线 与 轴交于点 , 于点 ,若四边形 的面积为 ,则准线 的方程为 A. B. C. D. 二、多选题(本大题共 4 小题,每小题 5 分,满分 20 分,在每小题给出的四个选项中,有多 项是符合题目要求的,全部选对得 5 分,部分选对得 3 分,有选错的得 0 分) 9. 下列说法正确的是 A. B. C. D.直线 , , 是 的充分不必要条件 10.方程 表示圆的方程,则实数 可以是 A.1 B.2 C.3 D.4 3AF FB=  k 342 −−−= xxy k ]0,3[−      − 0,3 3       3 3,0 ]3,0[ )0(22 >= ppxy F A B l x C lAA ⊥1 1A CFAA1 312 l 2−=x 22−=x 2−=x 1−=x ”则”的否定是“若则命题“若 1,11,1 ≠=== xxxx 的充要条件是 "065""1" 2 =−−−= xxx ”的逆否命题是真命题则命题“若 yxyx coscos, ≠≠ 01)1(:1 =+++ yaaxl 02:2 =++ ayxl "2" −=a "" 21 ll ⊥ 023 222 =+++++ aaayaxyx a 11.对非零平面向量 , , ,下列说法正确的是 A.若 ,则 B.若 ,则 不可能为钝角 C.若 ,则 D. , , 两两之间的夹角可以是钝角 12.已知方程 ,其中 ,则该方程表示的图形有 A.椭圆 B.圆 C.双曲线 D.直线 三、填空题(本大题共 4 小题,每小题 5 分,满分 20 分) 13.已知双曲线 ( )的一条渐近线方程是 ,则该双曲线的离 心率为__________ 14.已知数列 满足 , ,则 ______时, 取得最小值,最小值 是__________ 15.有兄妹二人,当哥哥年龄是妹妹今年年龄时,妹妹 6 岁。当妹妹是哥哥今年年龄时,哥 哥 30 岁,问哥哥今年年龄是______岁,妹妹今年年龄是_________岁. 16.已知抛物线 的准线方程为 ,焦点为 , , , 为该抛物线上不同 的三点, , , 成等差数列,且点 在 轴下方,若 ,则 直线 的方程为______ 三、解答题(本大题共 6 小题,满分 70 分.写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤) 17.(本小题满分 12 分)已知数列 , ,且 . (1)求证: 是等比数列; (2)设 ,求 的前 项和. 18.(本小题满分 12 分) 如图,在多面体 中, 平面 ,平面 平面 , 是边长为 2 的等边三角形, , . (1)证明:平面 平面 ; 2 2y px= 1x = − F A B C | |FA | |FB | |FC B x 0FA FB FC+ + =   AC a b c 0 =+ ba µλ 0== µλ 0>⋅ba  >< ba , bcacba  )()( ⋅=⋅ cb  = a b c 1cos22 =+ θyx πθ ≤≤0 12 2 2 2 =− b y a x 0,0 >> ba xy 3= }{ na 131 =a naa nn =−+1 =n n an { }na 11 =a 121 +=+ nn aa }1{ +na n n n ab 2= }{ nb n ABCDE AE ⊥ ABC BCD ⊥ ABC ABC∆ 5BD CD= = 2AE = EBD ⊥ BCD (2)求平面 与平面 所成锐二面角的余弦值. 19.(本小题满分 12 分)某公司拟设计一个扇环形状的花坛(如图所示),该花坛是由以点 为 圆心的两个同心圆弧和线段 、 两条线段围成.设圆弧 、 所在圆的半径分别为 、 米,圆心角为 (弧度). (1)若 , 米, 米,求花坛的面积; (2)设计时需要考虑花坛边缘(实线部分)的装饰问题,已知直线部分的装饰费用为 元/ 米,弧线部分的装饰费用为 元/米,当总装饰费用为 元,问线段 的长度为多少时, 花坛的面积最大? 20.(本小题满分 12 分) 已知椭圆 的一个焦点与抛物线 的焦点重合,且椭圆 的离心率为 . (1)求椭圆 的方程; (2)直线 交椭圆于 、 两点,线段 的中点坐标是 ,求直线 的方程. 21.(本小题满分 12 分) 已知点 , 分别为椭圆 的左、右焦点, 点 为椭圆上任意一点, 到焦点 的距离的最大值为 ,且 的最大面积为 BED ABC O AD BC AB CD 1r 2r θ 3 πθ = 1 3r = 2 6=r 60 90 1200 AD )0(1: 2 2 2 2 >>=+ bab y a xC xy 342 = C 2 3 C l A B AB )2 1,1( l 1F 2F ( )2 2 2 2: 1 0x yC a ba b + = > > P P 2F 2 1+ 21FPF∆ 1. (Ⅰ)求椭圆 的方程. (Ⅱ)点 的坐标为 ,过点 且斜率为 的直线 与椭圆 相交于 , 两点.对 于任意的 是否为定值?若是求出这个定值;若不是说明理由. 22. (本小题满分 10 分) (1)已知双曲线 ( )的离心率为 2,且焦点坐标分别是 , ,求其标准方程; (2)已知抛物线的顶点在原点,对称轴是 轴,焦点 ,抛物线上一点 到 的距离 是 3,求点 的坐标. 2019-2020 学年度第一学期第三次月考 高二年级数学科答案卷 一、DADAC ABC 二、AD CD BD ABCD 三、13、2 14、5; 15、14;22 16、 四、17、 (2) C M 5 ,04      2F k l C A B k R,MA MB∈ ⋅  12 2 2 2 =− b y a x 0,0 >> ba )0,2(− )0,2( y F )1,0( A F A 5 23 12 −= xy 为公比的等比数列为首项,是以 )解( 22}1{ 21 21 1 )1(21 121 1 1 1 1 +∴ =+ =+ + +=+∴ += + + + n n n nn nn a a a a aa aa nnnn n n n n n n b a ab 24)12(2 21 2 −=−= =+ = 所以前 项和是 18、证明:(1)取 中点 ,连结 , ∵ ,∴ , , ∵ 平面 ,平面 平面 , 平面 平面 , ∴ 平面 , ∵ 平面 ,∴ , 又 , ∴四边形 是平行四边形,∴ , ∵ 是等边三角形,∴ , ∵ 平面 ,平面 平面 ,平面 平面 , ∴ 平面 ,∴ 平面 , ∵ 平面 ,∴平面 平面 . 解:(2)由(1)得 平面 ,∴ , 又 , 分别以 所在直线为 轴,建立空间直角坐标系, 则 , 平面 的一个法向量为 , 设平面 的一个法向量为 , , 则 ,取 ,得 , 设平面 与平面 所成锐二面角的平面角为 , 则 . n 1 1 23 24 21 )21(2 41 )41(4 + + −+=− −−− − n nnn BC O ,AO DO 5BD CD= = DO BC⊥ 2 2 2DO CD OC= − = DO ⊂ BCD DBC  ABC BC= BCD ⊥ ABC DO ⊥ ABC AE ⊥ ABC AE DO∕ ∕ 2DO AE= = AODE ED AO∕ ∕ ABC∆ AO BC⊥ AO ⊂ ABC BCD  ABC BC= BCD ⊥ ABC AO ⊥ BCD ED ⊥ BCD ED ⊂ EBD EBD ⊥ BCD AO ⊥ BCD AO DO⊥ ,DO BC AO BC⊥ ⊥ , ,OB AO OD , ,x y z ( ) ( )0, 3,0 , 1,0,0 , 0,0,2( ) (, 0, )3,2A B D E− − ABC ( )0,0,1n = BED ( ), ,n x y z= ( 1,0,2) , ( 1, 3,2)BD BE= − = − −  2 0 3 2 0 n BD x z n BE x y z  ⋅ = − + = ⋅ = − − + =   2x = ( )2,0,1n = BED ABC θ | | 1 5cos 5| | | | 5 m n m n θ ⋅= = = ⋅     ∴平面 与平面 所成锐二面角的余弦值为 . 19、(1)设花坛的面积为 平方米. 答:花坛的面积为 ; (2) 弧 的长为 米,弧 的长为 米,线段 的长为 米, 由题意知 , 即 (*) , 由(*)式知, , 记 则 , 所以 = , 当 时, 取得最大值,即 时,花坛的面积最大. 答:当线段 的长为 5 米时,花坛的面积最大. 20、解:(1) BED ABC 5 5 S 1 136 92 3 2 3S π π= × × − × × ( )29 2 m= π ( )29 2 mπ AB 1rθ CD 2r θ AD 2 1( )r r− ( )2 1 1 260 2 90 1200r r r rθ θ⋅ − + + =( ) ( ) ( )2 1 2 14 3 40r r r rθ θ− + + = ( )( )2 2 2 1 2 1 2 1 1 1 1 2 2 2S r r r r r rθ θ θ θ= − = + − ( )2 1 2 1 40 4 3 3r r r rθ θ+ = − − 2 1 ,r r x− = 0 10x< < 1 40 4 2 3 3S x x = −   ( ) ( )22 505 0,103 3x x− − + ∈, 5x = S 2 1 5r r− = AD 14 1,2 3 2 3,3 )0,3( 34 2 2 22 2 =+ ==∴ += === ∴ = yx ba ba a cec xy 椭圆方程是 离心率所以 焦点是 抛物线 (2) 直线 的方程是 21、(I)由题意可知:a+c= , ×2c×b=1,且 a2=b2+c2, ∴a2=2,b2=1,c2=1,∴所求椭圆的方程为: . (II)设直线 L 的方程为:y=k(x﹣1),A(x1,y1),B(x2,y2),M( ,0) 联立直线与椭圆方程,消去 y 可得(2k2+1)x2﹣4k x+2(k2﹣1)=0 则 ∴对于任意的 为定值 . 2 1 1 2 )(44 14 14 ),(),,( 21 21 21 21 2 2 2 1 2 2 2 1 2 2 2 2 2 1 2 1 2211 −=− − =+ =+ −−=− =+ =+ xx yy yy xx yyxx yx yx yxByxA 两式相减有 设 l 12 1 +−= xy 2 1+ 1 2 1 2PF FS∆ = 2 2 12 x y+ = 5 4 2 2 1 2 2 2 1 2 2 4 1 2 2 2 1 2 0 kx x k kx x k  + = +  −= + ∆ >   1 1 2 2 5 5MA , y ,MB , y4 4x x   = − = − ∴        1 2 1 2 5 5 4 4MA MB x x y y  ∴ ⋅ = − − +       ( )1 2 1 2 1 2 5 25 y y4 16x xx x= − + + + + ( ) ( )2 1 2 1 2 1 2 1 2 5 25 14 16x x kx x xx x x= − + + + + + +−   ( ) ( )2 2 2 1 2 1 2 5 2514 16k x x kxkx = − − + + + + +   ( )2 2 2 2 2 2 2 5 4 2 2 2514 1 2 1 2 16 k kk k kk k − = − − × + + × + +  + +  7 16 = − k R, MBMA∈ ⋅  7 16 − 22、(1)双曲线 ( ) 双曲线的离心率为 2,且焦点坐标分别是 , ,所以 , 双曲线方程 (2)抛物线的焦点 抛物线是 , 到 的距离是 3,所以到准线 距离是 3 所以纵坐标是 2 , 点 的坐标是 或 12 2 2 2 =− b y a x 0,0 >> ba )0,2(− )0,2( 2,2 == ca c 1=a 3=b 13 2 2 =− yx F )1,0( yx 42 = A F 1−=y 82 =x 22±=x A )2,22( )2,22(−