2019-2020学年海南省嘉积中学高二上学期第三次月考（12月）数学试题 9页

海南省嘉积中学 2019-2020 学年高二上学期第三次月考数学科试题 （考试时间：120 分钟 满分：150 分） 命题人： 审题人： 欢迎你参加这次测试，祝你取得好成绩！ 注意事项： 1、把试题卷的答案写在答题卷上，并在方框内答题，答在框外不得分； 2、禁止考生使用计算器作答. 一、选择题（本大题共 8 小题，每小题 5 分，满分 40 分．在每小题给出的四个选项中，只有 一项是符合题目要求的） 1.设集合 ， ， ，则 的值是 A．1 B． C． D． 2. 满足不等式 ，则 的取值范围是 A． B． C． D． 3.已知直三棱柱 的所有棱长都相等， 为 的中点，则异面直线 与 所成角的余弦值是 A． B． C． D． 4.倾斜角为 的直线 经过双曲线 的右焦点 ，与双曲线交于 、 两点，则 A．8 B． C．4 D． 5. 已知椭圆 的左右焦点分别是 、 ，椭圆上一点 使得 ，则 的面积是 A．2 B． C．1 D． 6.函数 的图象大致为 }1,3,2{ 2 += aA }1,{ 2 −+= aaB }2{=∩ BA a 21 −或 0 2− x 21 )4 1(2 2 −+ ≤ xx x ]1,3[− )1,3(− ),1[ +∞ ]3,(−∞ 111 CBAABC − M 11CA AM BC 10 95 3 5 4 6 10 5 6 π l 422 =− yx F A B =AB 38 34 14 2 2 =+ yx 1F 2F P 9021 =∠ PFF 21PFF∆ 2 22 |sin |( ) e xf x x= ⋅ A． B． C． D． 7.过坐标原点且斜率为 的直线与曲线 有公共点，则实数 的取值范围是 A． B． C． D． 8.已知过抛物线 的焦点 的直线与抛物线交于 ， 两点，且 ，抛物线的准线 与 轴交于点 ， 于点 ，若四边形 的面积为 ，则准线 的方程为 A． B． C． D． 二、多选题（本大题共 4 小题，每小题 5 分，满分 20 分，在每小题给出的四个选项中，有多 项是符合题目要求的，全部选对得 5 分，部分选对得 3 分，有选错的得 0 分） 9. 下列说法正确的是 A． B． C． D．直线 ， ， 是 的充分不必要条件 10.方程 表示圆的方程，则实数 可以是 A．1 B．2 C．3 D．4 3AF FB=  k 342 −−−= xxy k ]0,3[−      − 0,3 3       3 3,0 ]3,0[ )0(22 >= ppxy F A B l x C lAA ⊥1 1A CFAA1 312 l 2−=x 22−=x 2−=x 1−=x ”则”的否定是“若则命题“若 1,11,1 ≠=== xxxx 的充要条件是 "065""1" 2 =−−−= xxx ”的逆否命题是真命题则命题“若 yxyx coscos, ≠≠ 01)1(:1 =+++ yaaxl 02:2 =++ ayxl "2" −=a "" 21 ll ⊥ 023 222 =+++++ aaayaxyx a 11.对非零平面向量 ， ， ，下列说法正确的是 A．若 ，则 B．若 ，则 不可能为钝角 C．若 ，则 D． ， ， 两两之间的夹角可以是钝角 12.已知方程 ，其中 ，则该方程表示的图形有 A．椭圆 B．圆 C．双曲线 D．直线 三、填空题（本大题共 4 小题，每小题 5 分，满分 20 分） 13．已知双曲线 （ ）的一条渐近线方程是 ，则该双曲线的离 心率为__________ 14．已知数列 满足 ， ，则 ______时， 取得最小值，最小值 是__________ 15．有兄妹二人，当哥哥年龄是妹妹今年年龄时，妹妹 6 岁。当妹妹是哥哥今年年龄时，哥 哥 30 岁，问哥哥今年年龄是______岁，妹妹今年年龄是_________岁. 16．已知抛物线 的准线方程为 ，焦点为 ， ， ， 为该抛物线上不同 的三点， ， ， 成等差数列，且点 在 轴下方，若 ，则 直线 的方程为______ 三、解答题（本大题共 6 小题，满分 70 分.写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤） 17．(本小题满分 12 分)已知数列 ， ，且 ． （1）求证： 是等比数列； （2）设 ，求 的前 项和． 18.(本小题满分 12 分) 如图，在多面体 中， 平面 ，平面 平面 ， 是边长为 2 的等边三角形， ， ． （1）证明：平面 平面 ； 2 2y px= 1x = − F A B C | |FA | |FB | |FC B x 0FA FB FC+ + =   AC a b c 0 =+ ba µλ 0== µλ 0>⋅ba  >< ba , bcacba  )()( ⋅=⋅ cb  = a b c 1cos22 =+ θyx πθ ≤≤0 12 2 2 2 =− b y a x 0,0 >> ba xy 3= }{ na 131 =a naa nn =−+1 =n n an { }na 11 =a 121 +=+ nn aa }1{ +na n n n ab 2= }{ nb n ABCDE AE ⊥ ABC BCD ⊥ ABC ABC∆ 5BD CD= = 2AE = EBD ⊥ BCD （2）求平面 与平面 所成锐二面角的余弦值． 19.(本小题满分 12 分)某公司拟设计一个扇环形状的花坛（如图所示），该花坛是由以点 为 圆心的两个同心圆弧和线段 、 两条线段围成．设圆弧 、 所在圆的半径分别为 、 米，圆心角为 （弧度）． （1）若 ， 米， 米，求花坛的面积； （2）设计时需要考虑花坛边缘（实线部分）的装饰问题，已知直线部分的装饰费用为 元/ 米，弧线部分的装饰费用为 元/米，当总装饰费用为 元，问线段 的长度为多少时， 花坛的面积最大？ 20.(本小题满分 12 分) 已知椭圆 的一个焦点与抛物线 的焦点重合，且椭圆 的离心率为 . （1）求椭圆 的方程； （2）直线 交椭圆于 、 两点，线段 的中点坐标是 ，求直线 的方程. 21.(本小题满分 12 分) 已知点 ， 分别为椭圆 的左、右焦点， 点 为椭圆上任意一点， 到焦点 的距离的最大值为 ，且 的最大面积为 BED ABC O AD BC AB CD 1r 2r θ 3 πθ = 1 3r = 2 6=r 60 90 1200 AD )0(1: 2 2 2 2 >>=+ bab y a xC xy 342 = C 2 3 C l A B AB )2 1,1( l 1F 2F ( )2 2 2 2: 1 0x yC a ba b + = > > P P 2F 2 1+ 21FPF∆ 1． （Ⅰ）求椭圆 的方程． （Ⅱ）点 的坐标为 ，过点 且斜率为 的直线 与椭圆 相交于 ， 两点．对 于任意的 是否为定值？若是求出这个定值；若不是说明理由. 22. (本小题满分 10 分) （1）已知双曲线 （ ）的离心率为 2，且焦点坐标分别是 ， ，求其标准方程； （2）已知抛物线的顶点在原点，对称轴是 轴，焦点 ，抛物线上一点 到 的距离 是 3，求点 的坐标. 2019-2020 学年度第一学期第三次月考 高二年级数学科答案卷 一、DADAC ABC 二、AD CD BD ABCD 三、13、2 14、5； 15、14；22 16、 四、17、 （2） C M 5 ,04      2F k l C A B k R,MA MB∈ ⋅  12 2 2 2 =− b y a x 0,0 >> ba )0,2(− )0,2( y F )1,0( A F A 5 23 12 −= xy 为公比的等比数列为首项，是以 ）解（ 22}1{ 21 21 1 )1(21 121 1 1 1 1 +∴ =+ =+ + +=+∴ += + + + n n n nn nn a a a a aa aa nnnn n n n n n n b a ab 24)12(2 21 2 −=−= =+ = 所以前 项和是 18、证明：（1）取 中点 ，连结 ， ∵ ，∴ ， ， ∵ 平面 ，平面 平面 ， 平面 平面 ， ∴ 平面 ， ∵ 平面 ，∴ ， 又 ， ∴四边形 是平行四边形，∴ ， ∵ 是等边三角形，∴ ， ∵ 平面 ，平面 平面 ，平面 平面 ， ∴ 平面 ，∴ 平面 ， ∵ 平面 ，∴平面 平面 ． 解：（2）由（1）得 平面 ，∴ ， 又 ， 分别以 所在直线为 轴，建立空间直角坐标系， 则 ， 平面 的一个法向量为 ， 设平面 的一个法向量为 ， ， 则 ，取 ，得 ， 设平面 与平面 所成锐二面角的平面角为 ， 则 ． n 1 1 23 24 21 )21(2 41 )41(4 + + −+=− −−− − n nnn BC O ,AO DO 5BD CD= = DO BC⊥ 2 2 2DO CD OC= − = DO ⊂ BCD DBC  ABC BC= BCD ⊥ ABC DO ⊥ ABC AE ⊥ ABC AE DO∕ ∕ 2DO AE= = AODE ED AO∕ ∕ ABC∆ AO BC⊥ AO ⊂ ABC BCD  ABC BC= BCD ⊥ ABC AO ⊥ BCD ED ⊥ BCD ED ⊂ EBD EBD ⊥ BCD AO ⊥ BCD AO DO⊥ ,DO BC AO BC⊥ ⊥ , ,OB AO OD , ,x y z ( ) ( )0, 3,0 , 1,0,0 , 0,0,2( ) (, 0, )3,2A B D E− − ABC ( )0,0,1n = BED ( ), ,n x y z= ( 1,0,2) , ( 1, 3,2)BD BE= − = − −  2 0 3 2 0 n BD x z n BE x y z  ⋅ = − + = ⋅ = − − + =   2x = ( )2,0,1n = BED ABC θ | | 1 5cos 5| | | | 5 m n m n θ ⋅= = = ⋅     ∴平面 与平面 所成锐二面角的余弦值为 ． 19、(1)设花坛的面积为 平方米. 答：花坛的面积为 ； (2) 弧 的长为 米，弧 的长为 米，线段 的长为 米， 由题意知 ， 即 （*） ， 由（*）式知， ， 记 则 ， 所以 = ， 当 时， 取得最大值，即 时，花坛的面积最大. 答：当线段 的长为 5 米时，花坛的面积最大. 20、解：（1） BED ABC 5 5 S 1 136 92 3 2 3S π π= × × − × × ( )29 2 m= π ( )29 2 mπ AB 1rθ CD 2r θ AD 2 1( )r r− ( )2 1 1 260 2 90 1200r r r rθ θ⋅ − + + =（ ） ( ) ( )2 1 2 14 3 40r r r rθ θ− + + = ( )( )2 2 2 1 2 1 2 1 1 1 1 2 2 2S r r r r r rθ θ θ θ= − = + − ( )2 1 2 1 40 4 3 3r r r rθ θ+ = − − 2 1 ,r r x− = 0 10x< < 1 40 4 2 3 3S x x = −   ( ) ( )22 505 0,103 3x x− − + ∈， 5x = S 2 1 5r r− = AD 14 1,2 3 2 3,3 )0,3( 34 2 2 22 2 =+ ==∴ += === ∴ = yx ba ba a cec xy 椭圆方程是 离心率所以 焦点是 抛物线 （2） 直线 的方程是 21、（I）由题意可知：a+c＝ ， ×2c×b＝1，且 a2＝b2+c2， ∴a2＝2，b2＝1，c2＝1，∴所求椭圆的方程为： . （II）设直线 L 的方程为：y＝k（x﹣1），A（x1，y1），B（x2，y2），M（ ，0） 联立直线与椭圆方程，消去 y 可得（2k2+1）x2﹣4k x+2（k2﹣1）＝0 则 ∴对于任意的 为定值 ． 2 1 1 2 )(44 14 14 ),(),,( 21 21 21 21 2 2 2 1 2 2 2 1 2 2 2 2 2 1 2 1 2211 −=− − =+ =+ −−=− =+ =+ xx yy yy xx yyxx yx yx yxByxA 两式相减有 设 l 12 1 +−= xy 2 1+ 1 2 1 2PF FS∆ = 2 2 12 x y+ = 5 4 2 2 1 2 2 2 1 2 2 4 1 2 2 2 1 2 0 kx x k kx x k  + = +  −= + ∆ >   1 1 2 2 5 5MA , y ,MB , y4 4x x   = − = − ∴        1 2 1 2 5 5 4 4MA MB x x y y  ∴ ⋅ = − − +       ( )1 2 1 2 1 2 5 25 y y4 16x xx x= − + + + + ( ) ( )2 1 2 1 2 1 2 1 2 5 25 14 16x x kx x xx x x= − + + + + + +−   ( ) ( )2 2 2 1 2 1 2 5 2514 16k x x kxkx = − − + + + + +   ( )2 2 2 2 2 2 2 5 4 2 2 2514 1 2 1 2 16 k kk k kk k − = − − × + + × + +  + +  7 16 = − k R, MBMA∈ ⋅  7 16 − 22、（1）双曲线 （ ） 双曲线的离心率为 2，且焦点坐标分别是 ， ，所以 ， 双曲线方程 （2）抛物线的焦点 抛物线是 ， 到 的距离是 3，所以到准线 距离是 3 所以纵坐标是 2 ， 点 的坐标是 或 12 2 2 2 =− b y a x 0,0 >> ba )0,2(− )0,2( 2,2 == ca c 1=a 3=b 13 2 2 =− yx F )1,0( yx 42 = A F 1−=y 82 =x 22±=x A )2,22( )2,22(−