高中数学第二章数列2-4-2等比数列的性质课时作业含解析新人教A版必修 4页

课时作业14　等比数列的性质 时间：45分钟 ‎——基础巩固类——‎ 一、选择题 ‎1．等比数列{an}中，a2＝4，a7＝，则a‎3a6＋a‎4a5的值是(　C　)‎ A．1 B．2‎ C. D. 解析：a‎3a6＝a‎4a5＝a‎2a7＝4×＝，所以a‎3a6＋a‎4a5＝.‎ ‎2．已知等比数列{an}的公比q＝－，则＝(　B　)‎ A．－ B．－3‎ C. D．3‎ 解析：＝＝＝－3，所以选B.‎ ‎3．公比为的等比数列{an}的各项都是正数，且a‎3a11＝16，则log‎2a16＝(　B　)‎ A．4 B．5‎ C．6 D．7‎ 解析：a‎3a11＝16⇒a＝16⇒a7＝4(负值舍去)⇒a16＝a7×q9＝32⇒log‎2a16＝5.‎ ‎4．已知各项均为正数的等比数列{an}中，lg(a‎3a8a13)＝6，则a‎1a15的值为(　A　)‎ A．10 000 B．1 000‎ C．100 D．10‎ 解析：根据等比数列的性质得a‎3a13＝a，‎ 所以a‎3a8a13＝a.‎ 又lg(a‎3a8a13)＝lga＝6，所以a8＝100.‎ 所以a‎1a15＝a＝10 000.故选A.‎ ‎5．已知{an}，{bn}都是等比数列，那么(　C　)‎ A．{an＋bn}，{an·bn}都一定是等比数列 B．{an＋bn}一定是等比数列，但{an·bn}不一定是等比数列 C．{an＋bn}不一定是等比数列，但{an·bn}一定是等比数列 D．{an＋bn}，{an·bn}都不一定是等比数列 解析：当两个数列都是等比数列时，这两个数列的和不一定是等比数列，比如取两个数列是互为相反数的数列，两者的和就不是等比数列．两个等比数列的积一定是等比数列．‎ 4‎ ‎6．已知等比数列{an}中，a‎3a11＝‎4a7，数列{bn}是等差数列，且b7＝a7，则b5＋b9等于(　C　)‎ A．2 B．4‎ C．8 D．16‎ 解析：等比数列{an}中，a‎3a11＝a＝‎4a7，解得a7＝4，等差数列{bn}中，b5＋b9＝2b7＝‎2a7＝8.‎ 二、填空题 ‎7．在等比数列{an}中，各项均为正数，且a‎6a10＋a‎3a5＝41，a‎4a8＝5，则a4＋a8＝.‎ 解析：因为a‎6a10＝a，a‎3a5＝a，‎ 所以a＋a＝41.‎ 又因为a‎4a8＝5，‎ an>0，‎ 所以a4＋a8＝＝＝.‎ ‎8．在3和一个未知数间填上一个数，使三数成等差数列，若中间项减去6，则成等比数列，则此未知数是3或27.‎ 解析：设此三数为3，a，b，‎ 则 解得或所以这个未知数为3或27.‎ ‎9．画一个边长为2厘米的正方形，再以这个正方形的对角线为边画第2个正方形，以第2个正方形的对角线为边画第3个正方形，这样一共画了10个正方形，则第10个正方形的面积等于2_048平方厘米．‎ 解析：这10个正方形的边长构成以2为首项，为公比的等比数列{an}(1≤n≤10，n∈N*)，‎ 则第10个正方形的面积S＝a＝22·29＝211‎ ‎＝2 048.‎ 三、解答题 ‎10．等比数列{an}中，已知a1＝2，a4＝16.‎ ‎(1)求数列{an}的通项公式；‎ ‎(2)若a3，a5分别为等差数列{bn}的第3项和第5项，试求数列{bn}的通项公式．‎ 解：(1)设等比数列{an}的公比为q，‎ 由已知得16＝2q3，解得q＝2，an＝a1qn－1＝2n.‎ ‎(2)由第一问得a3＝8，a5＝32，则b3＝8，b5＝32.‎ 设数列{bn}的公差为d，首项为b1，则有 解得 从而bn＝－16＋12(n－1)＝12n－28.‎ ‎11．已知等比数列{an}为递增数列，且a＝a10,2(an＋an－2)＝5an－1，求数列{an}的通项公式．‎ 解：设数列{an}的首项为a1，公比为q.‎ 4‎ 因为a＝a10,2(an＋an－2)＝5an－1，‎ 所以 由①，得a1＝q，‎ 由②，得q＝2或q＝，‎ 又数列{an}为递增数列，‎ 所以a1＝q＝2，所以an＝2n.‎ ‎——能力提升类——‎ ‎12．数列{an}的首项为1，数列{bn}为等比数列，且bn＝，若b10·b11＝2，则a21＝(　D　)‎ A．20 B．512‎ C．1 013 D．1 024‎ 解析：因为bn＝，且b10·b11＝2，又{bn}是等比数列，‎ 所以b1·b20＝b2·b19＝…＝b10·b11＝2，‎ 则··…＝b1b2b3…b20＝210，即＝1 024，‎ 从而a21＝1 ‎024a1＝1 024.‎ ‎13．农民收入由工资性收入和其他收入两部分构成.2013年某地区农民人均收入为3 150元(其中工资性收入为1 800元，其他收入为1 350元)，预计该地区自2014年起的5年内，农民的工资性收入将以每年6%的年增长率增长，其他收入每年增加160元．根据以上数据，2018年该地区农民人均收入介于(　B　)‎ A．4 200元～4 400元 B．4 400元～4 600元 C．4 600元～4 800元 D．4 800元～5 000元 解析：将2013年记作第1年，该地区农民人均收入第n年为an，‎ 则a1＝3 150，a2＝1 800×(1＋6%)＋1 350＋160，…，an＝1 800×(1＋6%)n－1＋1 350＋(n－1)×160.‎ ‎2018年该地区农民人均收入为 a6＝1 800×(1＋6%)6－1＋1 350＋(6－1)×160≈4 558.81.故选B.‎ ‎14．已知递增的等比数列{an}，a2＋a8＝3，a3·a7＝2，则＝.‎ 解析：设公比为q.∵{an}是递增的等比数列，∴a‎3a7＝a‎2a8＝2.又a2＋a8＝3，‎ ‎∴a2，a8是方程x2－3x＋2＝0的两根，则a2＝1，a8＝2，‎ ‎∴q6＝＝2，∴q3＝，∴＝q3＝.‎ ‎15．等比数列{an}的各项均为正数，且‎2a1＋‎3a2＝1，a＝‎9a2a6.‎ ‎(1)求数列{an}的通项公式；‎ ‎(2)设bn＝log‎3a1＋log‎3a2＋…＋log3an，求数列(n≥2，n∈N*)的前n项和．‎ 4‎ 解：(1)设等比数列{an}的公比为q，‎ 因为a＝‎9a2a6＝‎9a，‎ 所以q2＝＝，因为an>0，‎ 所以q>0，所以q＝，‎ 因为‎2a1＋‎3a2＝‎2a1＋‎3a1q＝1，‎ 所以‎3a1＝1，a1＝，所以an＝n.‎ ‎(2)bn＝log‎3a1＋log‎3a2＋…＋log3an ‎＝log3(a1·a2·…·an)‎ ‎＝log31＋2＋3＋…＋n＝－.‎ 设数列的前n项和为Sn，‎ 则Sn＝－2 ‎＝－2 ‎＝－2＝－.‎ 4‎