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- 2021-06-15 发布
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天天练24 基本不等式及简单的线性规划
小题狂练
一、选择题
1．[2019·山东临汾一中月考]不等式y(x＋y－2)≥0在平面直角坐标系中表示的区域(用阴影部分表示)是( )
答案：C
解析：由y·(x＋y－2)≥0，得或所以不等式y·(x＋y－2)≥0在平面直角坐标系中表示的区域是C项，故选C.
2．已知00，y>0，且4x＋y＝xy，则x＋y的最小值为( )
A．8 B．9
C．12 D．16
答案：B
解析：由4x＋y＝xy得＋＝1，则x＋y＝(x＋y)·＝＋＋1＋4≥2＋5＝9，当且仅当＝，即x＝3，y＝6时取“＝”，故选B.
4．若直线mx＋ny＋2＝0(m>0，n>0)被圆(x＋3)2＋(y＋1)2
＝1截得的弦长为2，则＋的最小值为( )
A．4 B．6
C．12 D．16
答案：B
解析：由题意，圆心坐标为(－3，－1)，半径为1，直线被圆截得的弦长为2，所以直线过圆心，即－3m－n＋2＝0,3m＋n＝2.所以＋＝(3m＋n)＝6＋＋≥＝6，当且仅当＝时取等号，因此＋的最小值为6，故选B.
5．[2019·湖南永州模拟]已知三角形ABC的内角A，B，C的对边分别是a，b，c，若＋＝2a，则△ABC是( )
A．等边三角形 B．锐角三角形
C．等腰直角三角形 D．钝角三角形
答案：C
解析：∵＋＝2a，由正弦定理可得，2sinA＝＋≥2＝2，即sinA≥1，∴sinA＝1，当且仅当＝，即B＝C时，等号成立，∴A＝，b＝c，∴△ABC是等腰直角三角形，故选C.
6．[2019·开封模拟]已知实数x，y满足约束条件则z＝x－2y的最大值是( )
A. B.
C．32 D．64
答案：C
解析：解法一 作出不等式组表示的平面区域，如图中阴影部分所示，设u＝x－2y，由图知，当直线u＝x－2y经过点A
(1,3)时，u取得最小值，即umin＝1－2×3＝－5，此时z＝x－2y取得最大值，即zmax＝－5＝32，故选C.
解法二 由题易知z＝x－2y的最大值在可行域的顶点处取得，只需求出顶点A，B，C的坐标分别代入z＝x－2y，即可求得最大值．联立得解得A(1,3)，代入可得z＝32；联立得解得B，代入可得z＝；联立得解得C(－2,0)，代入可得z＝4.通过比较可知，在点A(1,3)处，z＝x－2y取得最大值32，故选C.
7．若实数x，y满足不等式组目标函数z＝kx－y的最大值为12，最小值为0，则实数k＝( )
A．2 B．1
C．－2 D．3
答案：D
解析：作出可行域如图中阴影部分所示，目标函数z＝kx－y可化为y＝kx－z，若k≤0，则z的最小值不可能为0，若k>0，当直线y＝kx－z过点(1,3)时，z取最小值0，得k＝3，此时直线y＝kx－z过点(4,0)时，z取得最大值12，符合题意，故k＝3.
8．[2019·云南红河州统一检测]设x，y满足条件若目标函数z＝ax＋by(a>0，b>0)的最大值为2，则＋的最小值为( )
A．25 B．19
C．13 D．5
答案：A
解析：不等式组表示的平面区域如图中阴影部分，当直线ax＋by＝z(a>0，b>0)过直线x－y＋2＝0与直线3x－y－6＝0的交点(4,6)时，目标函数z＝ax＋by(a>0，b>0)取得最大值2，即2a＋3b＝1，所以(2a＋3b)＝13＋6≥13＋6×2＝25，当且仅当a＝b＝时等号成立，所以＋的最小值为25，故选A.
二、非选择题
9．已知x<，则f(x)＝4x－2＋的最大值为________．
答案：1
解析：因为x<，所以5－4x>0，则f(x)＝4x－2＋＝－＋3≤－2＋3＝1.
当且仅当5－4x＝，即x＝1时，等号成立．故f(x)＝4x－2＋的最大值为1.
10．[2019·广东清远模拟]若x>0，y>0，且＋＝1，则x＋y的最小值是________．
答案：16
解析：因为x>0，y>0，且＋＝1，所以x＋y＝(x＋y)＝10＋＋≥10＋2＝16，当且仅当9x2＝y2，即y＝3x＝12时等号成立．故x＋y的最小值是16.
11．[2018·全国卷Ⅰ]若x，y满足约束条件则z＝3x＋2y的最大值为________．
答案：6
解析：作出满足约束条件的可行域如图阴影部分所示．
由z＝3x＋2y得y＝－x＋.
作直线l0：y＝－x.平移直线l0，当直线y＝－x＋
过点(2,0)时，z取最大值，zmax＝3×2＋2×0＝6.
12．某高科技企业生产产品A和产品B需要甲、乙两种新型材料．生产一件产品A需要甲材料1.5 kg，乙材料1 kg，用5个工时；生产一件产品B需要甲材料0.5 kg，乙材料0.3 kg，用3个工时，生产一件产品A的利润为2 100元，生产一件产品B的利润为900元．该企业现有甲材料150 kg，乙材料90 kg，则在不超过600个工时的条件下，生产产品A、产品B的利润之和的最大值为________元．
答案：216 000
解析：由题意，设产品A生产x件，产品B生产y件，利润z＝2 100x＋900y，线性约束条件为
作出不等式组表示的平面区域如图中阴影部分所示，又由x∈N，y∈N，可知取得最大值时的最优解为(60,100)，所以zmax＝2 100×60＋900×100＝216 000(元)．
课时测评
一、选择题
1．[2019·河北卓越联盟联考]已知点(－3，－1)和(4，－6)在直线3x－2y－a＝0的两侧，则实数a的取值范围为( )
A．(－7,24)
B．(－∞，－7)∪(24，＋∞)
C．(－24,7)
D．(－∞，－24)∪(7，＋∞)
答案：A
解析：由题意可知(－9＋2－a)(12＋12－a)<0，所以(a＋7)(a－24)<0，所以－70，b>0，并且，，成等差数列，则a＋9b的最小值为( )
A．16 B．9
C．5 D．4
答案：A
解析：∵，，成等差数列，∴＋＝1，∴a＋9b＝(a＋9b)＝10＋＋≥10＋2＝16，当且仅当＝且＋＝1即a＝4，b＝时等号成立，故选A.
5．已知a，b为正实数，函数y＝2aex＋b的图象过点(0,1)，则＋的最小值是( )
A．3＋2 B．3－2
C．4 D．2
答案：A
解析：因为函数y＝2aex＋b的图象过点(0,1)，所以2a＋b＝1.又a>0，b>0，所以＋＝＋＝3＋＋≥3＋2，当且仅当＝，即b＝a时取等号，所以＋的最小值是3＋2.
6．已知x，y满足约束条件若z＝x＋4y的最大值与最小值之差为5，则实数λ的值为( )
A．3 B.
C. D．1
答案：A
解析：作出不等式组所表示的平面区域如图中阴影部分所示，其中A(1,4)，B(λ－3，λ)．由z＝x＋4y，得y＝－x＋，作出直线y＝－x，并平移，知当该直线经过点A时，z取得最大值，且最大值为1＋4×4＝17；当该直线经过点B时，z取得最小值，且最小值为λ－3＋4λ＝5λ－3.因为z＝x＋4y的最大值与最小值之差为5，所以17－(5λ－3)＝20－5λ＝5，得λ＝3.故选A.
7．[2019·太原模拟]
已知点(x，y)所在的可行域如图中阴影部分所示(包含边界)，若使目标函数z＝ax＋y取得最大值的最优解有无数多个，则a的值为( )
A．4 B.
C. D.
答案：D
解析：因为目标函数z＝ax＋y，所以y＝－ax＋z，易知z是直线y＝－ax＋z在y轴上的截距．分析知当直线y＝－ax＋z的斜率与直线AC的斜率相等时，目标函数z＝ax＋y
取得最大值的最优解有无数多个，此时－a＝＝－，即a＝，故选D.
8．[2019·湖北联考]已知实数x，y满足则z＝|2x－3y＋4|的最小值为( )
A. B.
C. D.
答案：D
解析：由题意得，作出不等式组表示的平面区域，如图所示，设m＝2x－3y＋4，在直线2x－3y＋4＝0上方并满足约束条件的区域使得m的值为负数，在点A处m取得最小值，联立解得x＝1，y＝4，此时mmin＝2×1－3×4＋4＝－6，则|m|max＝6，在直线2x－3y＋4＝0下方并满足约束条件的区域使得m的值为正数，在点C处m取得最大值，联立解得x＝2，y＝1，即C(2,1)，此时mmax＝5，|m|max＝5，故|m|max＝6，故z＝|2x－3y＋4|在点A(1,4)处取得最小值，最小值为z＝6＝，故选D.
二、非选择题
9．[2018·全国卷Ⅱ]若x，y满足约束条件则z＝x＋y的最大值为________．
答案：9
解析：由不等式组画出可行域，如图(阴影部分)．x＋y取得最大值⇔斜率为－1的直线x＋y＝z(z看做常数)的横截距最大，
由图可得直线x＋y＝z过点C时z取得最大值．
由得点C(5,4)，
∴ zmax＝5＋4＝9.
10．[2019·郑州模拟]已知不等式组表示的平面区域为D，若直线y＝kx＋1将区域D分成面积相等的两部分，则实数k的值是________．
答案：
解析：区域D如图中的阴影部分所示，直线y＝kx＋1经过定点C(0,1)，如果其把区域D划分为面积相等的两个部分，则直线y＝kx＋1只要经过AB的中点即可．
由方程组解得A(1,0)．
由方程组解得B(2,3)．
所以AB的中点坐标为，代入直线方程y＝kx＋1得，＝k＋1，解得k＝.
11．设函数f(x)＝x＋，x∈[0，＋∞)．
(1)当a＝2时，求函数f(x)的最小值；
(2)当01，
所以1－>0，
因为x1＜x2，所以x1－x2＜0，
所以f(x1)－f(x2)<0，故f(x1)
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