【数学】2020届一轮复习人教B版 数系的扩充与复数的引入 课时作业 15页

‎2020届一轮复习人教B版 数系的扩充与复数的引入 课时作业 ‎ ‎ 1、已知函数，若有且只有两个整数，使得，且，则a的取值范围是（ ）‎ A． B．‎ C． D．‎ ‎2、已知定义域为R的奇函数的导函数，当时，，若，则下列关于 的大小关系正确的是（ ）‎ A． B．‎ C． D．‎ ‎3、已知函数，对任意，存在，使得，则的最小值为（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎4、给出定义：若函数在上可导，即存在，且导函数在上也可导，则称 在上存在二阶导函数，记，若在上恒成立，则称在上为凸函数。以下四个函数在上不是凸函数的是( )‎ A． B．‎ C． D．‎ ‎5、设函数的导函数为，且，则＝( )‎ A．0 B．－4 C．－2 D．2‎ ‎6、已知函数，其导函数的图像如图所示，则（ ）‎ A．在上为减少的 B．在处取极小值 C．在处取极大值 D．在上为减少的 ‎7、函数的导数为（ ）‎ A．＝2 B．＝ ‎ C．＝2 D．＝ ‎ ‎8、直线与曲线相切于点，则的值等于( )‎ A． B． C． D．‎ ‎9、‎ 如图所示，y＝f(x)是可导函数，直线l：y＝kx＋3是曲线y＝f(x)在x＝1处的切线，令h(x)＝xf(x)，h′(x)是h(x)的导函数，则h′(1)的值是(　　)‎ A．2 B．1 C．－1 D．‎ ‎10、已知的两个极值点分别为 且，则函数（ ）‎ A． B． C．1 D．与b有关 11、设是二次函数，方程有两个相等的实根，且，则函数的解析式为______．‎ ‎12、若方程有实数解，则实数的取值范围是______‎ ‎13、曲线在点处的切线的斜率为______．‎ ‎14、已知函数f (x)及其导数f ′(x)，若存在x0，使得f (x0)＝f ′(x0)，则称x0是f (x)的一个“巧值点”，则下列函数中有“巧值点”的是________．‎ ‎①f(x)＝x2；②f(x)＝e－x；③f(x)＝lnx；④f(x)＝tanx；⑤.‎ ‎15、已知函数，则曲线在点处的切线方程为________．‎ ‎16、设函数f（x）在R上存在导数f′（x），对任意的x∈R，有f（x）+f（-x）=x2，且x∈（0，+∞）时，f′（x）＜x．若f（1-a）-f（a）≥-a，则实数a的取值范围是______． 17、已知：函数.‎ ‎（1）此函数在点处的切线与直线平行，求实数的值；‎ ‎（2）在（1）的条件下，若，恒成立，求的最大值.‎ ‎18、已知：在与时都取得极值.‎ ‎（1）求的值；‎ ‎（2）若在区间，上不单调，求的取值范围。‎ ‎19、已知函数f（x）=|ax-2|+lnx（其中a为常数）‎ ‎（1）若a=0，求函数g（x）=的极值；‎ ‎（2）求函数f（x）的单调区间；‎ ‎（3）令F（x）=f（x）-，当a≥2时，判断函数F（x）在（0，1]上零点的个数，并说明理由．‎ ‎20、设函数，曲线y=f（x）在点（2，f（2））处的切线方程为7x-4y-12=0.‎ ‎（1）求y=f（x）的解析式；‎ ‎（2）证明：曲线y=f（x）上任一点处的切线与直线x=0和直线y=x所围成的三角形面积为定值，并求此定值．‎ 参考答案 ‎1、答案：D 令，可得，原问题转化为直线有且只有两个整数点处的函数值大于函数的值，利用导函数研究函数的单调性得到关于a的不等式组，求解不等式组即可确定a的取值范围.‎ ‎【详解】‎ 令，则：，‎ ‎，‎ 设，，‎ 故，‎ 由可得，‎ 在上，，为减函数，‎ 在上，，为增函数，‎ 的图像恒过点，‎ 在同一坐标系中作出，的图像，‎ 如图所示，若有且只有两个整数，使得，且，‎ 则，即，‎ 解得：.‎ 故选：D.‎ 名师点评：‎ 本题主要考查导函数研究函数的单调性，直线恒过定点问题，数形结合的数学思想等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.‎ ‎2、答案：A 构造函数,结合函数的单调性和函数的奇偶性将比较函数值大小的问题转化为比较自变量大小的问题，据此即可得到a,b,c的大小关系.‎ ‎【详解】‎ 令,则.‎ ‎∵当时,，‎ ‎∴当时,.‎ 即当时,，‎ 因此当时,函数单调递增。‎ ‎∵函数为奇函数，‎ ‎∴，‎ ‎，‎ ‎，‎ 由函数的单调性可得：，‎ ‎.‎ 故选：A.‎ 名师点评：‎ 本题主要考查导数研究函数的单调性，构造函数的方法，整体的数学思想等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.‎ ‎3、答案：C 由函数的解析式将求解的最小值的问题转化为一元函数最值的问题，然后利用导函数研究函数的性质即可确定函数的最小值.‎ ‎【详解】‎ 令，则，令，可得，‎ 则.‎ 显然，是增函数，观察可得当时，，故有唯一零点。‎ 故当时，b？a取得最小值为.‎ 故选：C.‎ 名师点评：‎ 本题主要考查导函数研究函数的单调性，导函数研究函数的最值等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.‎ ‎4、答案：D 对于A， ，因为 ，所以 ，故A不对。对于B， ，故B不对。对于C，，故C不对。对于D，‎ ‎ ，所以函数不是凸函数。故选D。‎ ‎5、答案：A 由题意首先求得的值，然后利用导函数的解析式可得的值.‎ ‎【详解】‎ 由函数的解析式可得：，‎ 令可得：，解得：，‎ 即，故.‎ 故选：A.‎ 名师点评：‎ 本题主要考查导数的运算法则及其应用，方程的数学思想等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.‎ ‎6、答案：D 利用导函数的图像列表研究函数的单调性和函数的极值，然后结合选项即可确定正确的说法.‎ ‎【详解】‎ 由题意利用导函数的图像列表如下：‎ 单调递增 极大值 单调递减 极小值 单调递增 极大值 单调递减 据此可知选项ABC错误，选项D正确.‎ 故选：D.‎ 名师点评：‎ 本题主要考查导函数研究函数的单调性，导函数研究函数的极值等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.‎ ‎7、答案：B 由题意结合导数的乘法运算法则和复合函数求导法则计算函数的导数即可.‎ ‎【详解】‎ 由题意结合导数的运算法则可得：‎ ‎.‎ 故选：B.‎ 名师点评：‎ 本题主要考查导数的运算法则，复合函数的求导法则等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.‎ ‎8、答案：A 把切点的坐标代入直线解析式中，直接求出的值。‎ ‎【详解】‎ 因为直线与曲线相切于点，‎ 所以直线经过点，，故本题选A。‎ 名师点评：‎ 本题考查了已知点的坐标求直线斜率。‎ ‎9、答案：B 利用导数的几何意义，先求出，再求出，从而得到.‎ ‎【详解】‎ 由图可知直线经过点，所以，即；‎ 因为h(x)＝xf(x)，所以，‎ 所以.故选B.‎ 名师点评：‎ 本题主要考查导数的几何意义，函数在某点处的导数为该点处切线的斜率.题目较为简单.‎ ‎10、答案：B 求出函数的导数，利用韦达定理得到满足的方程组，解方程组可以得到，从而可求．‎ ‎【详解】‎ ‎，故，，且，‎ 又，所以，故，解得（舎）或者．‎ 此时， ，‎ 故 故选：B．‎ 名师点评：‎ 如果在处及附近可导且的左右两侧导数的符号发生变化，则必为函数的极值点且．极大值点、极小值点的判断方法如下：‎ ‎（1）在的左侧附近，有，在的右侧附近，有，则为函数的极大值点；‎ ‎（2）在的左侧附近，有，在的右侧附近，有，则为函数的极小值点．‎ ‎11、答案：‎ 首先利用定积分写出原函数的解析式，然后利用即可确定函数的解析式.‎ ‎【详解】‎ 由导函数的解析式可得：，‎ 方程有两个相等的实根，则，解得：，‎ 故函数的解析式为：.‎ 名师点评：‎ 本题主要考查初等函数的求导法则，二次函数的性质等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.‎ ‎12、答案：‎ 先将方程可化为；再令 ，用导数的方法研究其最值,即可得出结果.‎ ‎【详解】‎ 解：方程可化为；‎ 令，‎ 则 ，‎ 所以，(1)当时，恒成立，即在上单调递减，因此，当时，；‎ ‎(2)当时，由得，；‎ 由得，；‎ 所以函数在上单调递增，在上单调递减，所以，又,‎ 因此，当时，‎ 综上可得，实数的取值范围是；‎ 故答案为：；‎ 名师点评：‎ 本题主要考查导数的应用，通常需要对函数求导，用导数的方法研究函数的单调性、最值等，属于常考题型.‎ ‎13、答案：‎ 求出函数的导数，代入，得到切线的斜率即可．‎ ‎【详解】‎ 曲线，可得，‎ 所以曲线在点处的切线的斜率为：．‎ 故答案为：．‎ 名师点评：‎ 本题考查函数的导数的应用，切线的斜率的求法，考查计算能力．‎ ‎14、答案：①③⑤‎ 分析：求出各函数的导函数，解方程，有解的则有“巧值点”，无解的则没有“巧值点”.‎ 详解：①，得或，有“巧值点”；②，无解，无“巧值点”；③，方程有解，有“巧值点”；④，方程无解，无“巧值点”；⑤，方程有解，，有“巧值点”.‎ 故答案为①③⑤.‎ 名师点评：本题是一种信息迁移题，考查学生的创新意识，解题关键是掌握新概念的实质，本题实际上是考查初等函数的求导，以及解方程（确定方程是否有解），属于中等题型.‎ ‎15、答案：‎ 分别求出及，即可求得，利用点斜式即可得到所求切线方程，问题得解。‎ ‎【详解】‎ 由题可得：，点化为：‎ 又，‎ 所以，所以所求切线斜率为，‎ 所以曲线在点处的切线方程为：，‎ 整理得：，‎ 所以曲线在点处的切线方程为：‎ 名师点评：‎ 本题主要考查了导数的几何意义及直线方程的点斜式，考查计算能力，属于基础题。‎ ‎16、答案：[，+∞）‎ 根据条件构造函数g（x）=f（x）-x2，判断函数的奇偶性，利用导数研究函数的单调性，结合函数奇偶性和单调性将不等式进行转化求解即可．‎ ‎【详解】‎ 解：∵f（x）+f（-x）=x2，‎ ‎∴f（-x）-x2=x2-f（x）=-[f（x）-x2]，‎ 设g（x）=f（x）-x2，‎ 则g（x）是奇函数，‎ 且g′（x）=f′（x）-x．‎ ‎∵x∈（0，+∞）时，f′（x）＜x．‎ ‎∴当x∈（0，+∞）时，g′（x）＜0.即此时g（x）为减函数，‎ ‎∵g（x）是奇函数，‎ ‎∴当x≤0时，g（x）也是减函数，‎ 即g（x）在（-∞，+∞）上是减函数，‎ 则若f（1-a）-f（a）≥-a，‎ 等价为g（1-a）+（1-a）2-g（a）-a2≥-a，‎ 即g（1-a）+-a+a2-g（a）-a2≥-a，‎ 即g（1-a）≥g（a），‎ 即1-a≤a，‎ 得2a≥1，即a≥，‎ 即实数a的取值范围是[，+∞），‎ 故答案为：[，+∞）‎ 名师点评：‎ 本题主要考查不等式的求解，结合条件构造函数，判断函数g（x）的奇偶性和单调性，结合函数奇偶性和单调性性质将不等式进行转化是解决本题的关键．‎ ‎17、答案：（1）；（2）3.‎ 试题分析：（1）对函数进行求导，求出在点处切线的斜率，求出直线的斜率，根据两直线平行，得到等式，求出实数的值。‎ ‎（2）方法一：在条件下，先取特殊值满足不等式，求出的最大值，再证明当时，不等式恒成立；‎ 方法二：当时，恒成立，转化为对恒成立，求的最小值大于.通过二次求导法，求出的最小值的取值范围，最后求出的最大值。‎ ‎【详解】‎ ‎（1）‎ 点处的切线与直线平行 ‎（2）法一：当时，恒成立，‎ 令，有，‎ 又为正整数，的最大值不大于.‎ 下面证明当时，恒成立，‎ 即证当时，恒成立.‎ 令，‎ 则，当时，；‎ 当时，，当时，‎ 取得极小值.‎ 当时，恒成立.‎ 法二：当时，恒成立，‎ 即对恒成立.‎ 即的最小值大于.‎ 记，‎ 则，在上连续递增，‎ 又，‎ 存在唯一实根，且满足：，‎ 由时，，；‎ 时，，知；‎ 的最小值为 的最大值为3,的最大值为3.‎ 名师点评：‎ 本题考查了导数的几何意义、两直线平行满足的条件。重点考查了用二次求导法求不等式恒成立时，参数的取值问题。 18、答案：（1）；（2）.‎ 试题分析：（1）对函数求导，由题意可知，在与时都取得极值，也就是与时，它们的导函数值为零，得到方程组，求解这个方程组，可求出的值。‎ ‎（2）若在区间，上不单调，也就是说明至少有一个极值点在内，列出不等式，求解不等式，求的取值范围。‎ ‎【详解】‎ ‎（1）在与时都取得极值 ‎（2）由（1）得 在，处分别取得极大值与极小值 在区间上不单调，两个极值点至少有一个在区间内，‎ 故或，解得：.‎ 名师点评：‎ 本题考查了已知函数极值，求函数解析式，也考查了已知函数单调性的特征，求参数的取值范围。 19、答案：（1）极大值为e，无极小值．（2）见解析（3）见解析 试题分析：（1）直接利用导数求函数的极值；（2）对a分a≤0和a＞0两种情况讨论，利用导数求函数的单调区间；（3）由题得|ax-2|=-lnx，先求出函数y=-lnx在（0，1]上为减函数，函数的最小值为y=1，再对a分类讨论，结合数形结合分析得到函数F（x）在（0，1]上零点的个数.‎ ‎【详解】‎ 解：（1）当a=0时，f（x）=2+lnx，‎ g（x）=，g'（x）=-，由g'（x）=0，得x=，‎ 当0＜x＜时，g′（x）＞0g（x）单调递增：‎ 当x＞时，g′（x）＜0，g（x）单调递减，即当x=，时函数g（x）取得极大值，极大值为g=e，无极小值．‎ ‎（2）若a≤0.则f（x）=-ax+2+lnx，f′（x）=-a+＞0，‎ ‎∴f（x）在（0，+∞）上单调递增，‎ 若a＞0，则f（x）=，‎ 当x≥时，f′（x）=a+＞0，∴f（x）在[，+∞）上单调递增，‎ 当0＜x＜时，f′（x）=-a+，‎ 由f′（x）＞0得0＜x＜，此时函数单调递增，‎ 由f′（x）＜0得＜x＜，此时函数单调递减，‎ 综上当a≤0时，f（x）的单调递增区间为（0，+∞），‎ 当a＞0时，f（x）的单调递增区间为（0，），[，+∞），单调递减区间为（，）．‎ ‎（3）F（x）=f（x）-=|ax-2|+lnx-，‎ 由F（x）=0得|ax-2|=-lnx，‎ 则k(x)= -lnx，则函数在（0，1]上为减函数，函数的最小值为y=1，‎ 当时，y=|ax-2|的零点为∈（0，1],‎ 当x时，F（x）=f（x）-=|ax-2|+lnx，‎ 由F（x）=0，得，即.‎ 令，，所以在单调递增，，又，所以时，‎ 因为，所以时F（x）无零点.‎ 当x≥时，y=ax-2，设h（x）=ax-2，‎ 当h（1）≥1.即a-2≥1，即a≥3时，两个函数有1个交点，即函数F（x）在（0，1]上零点的个数为1个，‎ 当h（1）＜1.即a-2＜1，即2＜a＜3时，两个函数有0个交点，即函数F（x）在（0，1]上零点的个数为0个，‎ 综合得2≤a＜3时，函数F（x）在（0，1]上零点的个数为0个，a≥3时，函数F（x）在（0，1]上零点的个数为1个，‎ 名师点评：‎ 本题主要考查利用导数研究函数的单调性和极值，考查利用导数研究函数的零点问题，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力. 20、答案：(1)；(2)证明见解析.‎ 试题分析：解：(1)方程7x－4y－12＝0可化为y＝x－3，‎ 当x＝2时，y＝．‎ 又f′(x)＝a＋，‎ 于是，解得 故f(x)＝x－．‎ ‎(2)证明：设P(x0，y0)为曲线上任一点，由f′(x)＝1＋知，曲线在点P(x0，y0)处的切线方程为y－y0＝(1＋)·(x－x0)，即y－(x0－)＝(1＋)(x－x0)．‎ 令x＝0得，y＝－，从而得切线与直线x＝0，交点坐标为(0，－)．‎ 令y＝x，得y＝x＝2x0，从而得切线与直线y＝x的交点坐标为(2x0,2x0)．‎ 所以点P(x0，y0)处的切线与直线x＝0，y＝x所围成的三角形面积为|－||2x0|＝6.‎ 曲线y＝f(x)上任一点处的切线与直线x＝0和直线y＝x所围成的三角形面积为定值，此定值为6. ‎