【数学】2020届一轮复习人教B版　双曲线、抛物线的参数方程作业 3页

一、选择题 ‎1．下列参数方程(t为参数)与普通方程x2－y＝0表示同一曲线的方程是(　　)‎ ‎　　　　　　　　　　　　　　　　‎ A. B. C. D. 解析：选D　注意参数范围，可利用排除法．普通方程x2－y＝0中的x∈R，y≥0.A中x＝|t|≥0，B中x＝cos t∈[－1,1]，故排除A和B.而C中y＝＝cot2t＝＝，即x2y＝1，故排除C.‎ ‎2．下列双曲线中，与双曲线(θ为参数)的离心率和渐近线都相同的是(　　)‎ A.－＝1 B.－＝－1‎ C.－x2＝1 D.－x2＝－1‎ 解析：选B　由x＝sec θ得，x2＝＝＝3tan 2θ＋3，‎ 又∵y＝tan θ，‎ ‎∴x2＝3y2＋3，即－y2＝1.‎ 经验证可知，选项B合适．‎ ‎3．若点P(3，m)在以点F为焦点的抛物线(t为参数)上，则|PF|等于(　　)‎ A．2 B．3 ‎ C．4 D．5‎ 解析：选C　抛物线为y2＝4x，准线为x＝－1，|PF|为P(3，m)到准线x＝－1的距离，即为4. ‎ ‎4．若曲线(θ为参数)与直线x＝m相交于不同两点，则m的取值范围是(　　)‎ A．R B．(0，＋∞)‎ C．(0,1) D．[0,1)‎ 解析： 选D　‎ 将曲线化为普通方程，得(y＋1)2＝－(x－1)(0≤x≤1)．它是拋物线的一部分，如图所示，由数形结合知0≤m<1.‎ 二、填空题 ‎5．圆锥曲线(t为参数)的焦点坐标是________．‎ 解析：代入法消参，得到圆锥曲线的方程为y2＝4x，则焦点坐标为(1,0)．‎ 答案：(1,0)‎ ‎6．已知抛物线C：(t为参数)，设O为坐标原点，点M在C上运动(点M与O不重合)，P(x，y)是线段OM的中点，则点P的轨迹普通方程为____________．‎ 解析：抛物线的普通方程为y2＝2x，设点P(x，y)，点M为(x1，y1)(x1≠0)，则x1＝2x，y1＝2y.‎ ‎∵点M在抛物线上，且点M与O不重合，‎ ‎∴4y2＝4x⇒y2＝x(x≠0)．‎ 答案：y2＝x(x≠0)‎ ‎7．双曲线(α为参数)的两焦点坐标是________．‎ 解析：双曲线(α为参数)的标准方程为 －＝1，焦点在y轴上，c2＝a2＋b2＝48.‎ ‎∴焦点坐标为(0，±4)．‎ 答案：(0，±4)‎ ‎8．在平面直角坐标系xOy中，曲线C1和C2的参数方程分别为(t为参数)和(θ为参数)，则曲线C1与C2的交点坐标为________．‎ 解析：由得y＝，又由 得x2＋y2＝2.‎ 由得 即曲线C1与C2的交点坐标为(1,1)．‎ 答案：(1,1)‎ 三、解答题 ‎9．设抛物线y2＝4x有内接△OAB，其垂心恰为抛物线的焦点，求这个三角形的周长．‎ 解： 拋物线y2＝4x的焦点为F(1,0)，F为△OAB的垂心，所以x轴⊥AB，A、B关于x轴对称．‎ 设A(4t2,4t)(t>0)，则B(4t2，－4t)，‎ 所以kAF＝，kOB＝－＝－.‎ 因为AF⊥OB，所以kAF·kOB＝·＝－1.‎ 所以t2＝，由t>0得t＝，‎ 所以A(5,2)，B(5，－2)，‎ 所以|AB|＝4，‎ ‎|OA|＝|OB|＝3，‎ 所以这个三角形的周长为10.‎ ‎10．已知双曲线－＝1(a>0，b>0)的动弦BC平行于虚轴，M，N是双曲线的左、右顶点，求直线MB，CN的交点P的轨迹方程．‎ 解： 设点B，则C，‎ 又M(－a,0)，N(a,0)．‎ ‎∴直线MB的方程为y＝(x＋a)，‎ 直线CN的方程为y＝(x－a)．‎ 将以上两式相乘，得点P的轨迹方程为＋＝1.‎ ‎11．在直角坐标系xOy中，曲线C1：(t为参数，t≠0)，其中0≤α<π.在以O为极点，x轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线C2：ρ＝2sin θ，C3：ρ＝2cos θ.‎ ‎(1)求C2与C3交点的直角坐标；‎ ‎(2)若C1与C2相交于点A，C1与C3相交于点B，求|AB|的最大值．‎ 解： (1)曲线C2的直角坐标方程为x2＋y2－2y＝0，曲线C3的直角坐标方程为x2＋y2－2x＝0.‎ 联立解得或 所以C2与C3交点的直角坐标为(0,0)和.‎ ‎(2)曲线C1的极坐标方程为θ＝α(ρ∈R，ρ≠0)，其中0≤α<π.‎ 因此A的极坐标为(2sin α，α)，B的极坐标为(2cos α，α)．‎ 所以|AB|＝|2sin α－2cos α|＝4. ‎ 当α＝时，|AB|取得最大值，最大值为4.‎