2019届二轮复习数列求和方法-备战高考技巧大全之高中数学黄金解题模板学案（全国通用） 24页

‎【高考地位】‎ 数列是高中数学的重要内容,又是高中数学与高等数学的重要衔接点,其涉及的基础知识、数学思想与方法,在高等数学的学习中起着重要作用,因而成为历年高考久考不衰的热点题型,在历年的高考中都占有重要地位.数列求和的常用方法是我们在高中数学学习中必须掌握的基本方法，是高考的必考热点之一.此类问题中除了利用等差数列和等比数列求和公式外，大部分数列的求和都需要一定的技巧.下面，就近几年高考数学中的几个例子来谈谈数列求和的基本方法和技巧.‎ ‎【方法点评】‎ 方法一 公式法 解题模板：第一步 结合所求结论，寻找已知与未知的关系；‎ ‎ 第二步 根据已知条件列方程求出未知量；‎ ‎ 第三步 利用前项和公式求和结果 例1. 设为等差数列，为数列的前n项和，已知，，为数列的前n项和，求．‎ ‎【解析】第一步，结合所求结论，寻找已知与未知的关系；‎ 第二步，根据已知条件列方程求出未知量；‎ 第三步，利用前项和公式求和结果 学 ‎ ‎【评析】直接应用公式求和时，要注意公式的应用范围，如当等比数列公比为参数(字母)时，应对其公比是否为1进行讨论．常用的数列求和公式有：‎ 等差数列前项和公式：   ．‎ 等比数列前项和公式： ．学 ‎ 自然数方幂和公式： ‎ ‎【变式演练1】已知是公差为1的等差数列， 为的前项和，若，则（ ）‎ A． B． C． D． ‎ ‎【 】【全国百强校】广西南宁市马山县金伦中学2016-2017学年高二下学期期末考试数学（文）试题 ‎【答案】B 考点：等差数列.‎ 方法二 分组法 解题模板：第一步 定通项公式：即根据已知条件求出数列的通项公式；‎ ‎ 第二步 巧拆分：即根据通项公式特征，将其分解为几个可以直接求和的数列；‎ ‎ 第三步 分别求和：即分别求出各个数列的和；‎ ‎ 第四步 组合：即把拆分后每个数列的求和进行组合，可求得原数列的和.‎ 例2. 已知数列{an}是3＋2－1,6＋22－1,9＋23－1,12＋24－1，…，写出数列{an}的通项公式并求其前n项 Sn.‎ ‎【解析】第一步，定通项公式：即根据已知条件求出数列的通项公式；‎ 第二步，巧拆分：即根据通项公式特征，将其分解为几个可以直接求和的数列；‎ 第三步，分别求和：即分别求出各个数列的和；‎ 第四步，组合：即把拆分后每个数列的求和进行组合，可求得原数列的和. ‎ ‎【变式演练2】已知是等差数列，是等比数列，且，，，．‎ ‎（1）求的通项公式；‎ ‎（2）设，求数列的前项和．‎ ‎【答案】（1）；（2）．‎ 考点：1、等差数列；2、等比数列．‎ ‎ ‎ 方法三 裂项相消法 解题模板：第一步 定通项公式：即根据已知条件求出数列的通项公式；‎ ‎ 第二步 巧裂项：即根据通项公式特征准确裂项，将其表示为两项之差的形式；‎ ‎ 第三步 消项求和：即把握消项的规律，准确求和.‎ 例3. 已知数列:,,,…, ,…,若，那么数列的前项和为（ ）‎ A． B． C. D．‎ ‎【答案】B ‎【解析】第一步，定通项公式：即根据已知条件求出数列的通项公式；‎ 第二步，巧裂项：即根据通项公式特征准确裂项，将其表示为两项之差的形式；‎ 第三步，消项求和：即把握消项的规律，准确求和.学 ‎ ‎【变式演练3】记为数列的前项和，已知， .‎ ‎（1）求数列的通项公式；‎ ‎（2）设，求数列的前项和.‎ ‎【 】【全国市级联考】山东省济南市2018届高三第一次模拟考试数学（文）试题 ‎【答案】（1）（2）‎ ‎【解析】试题分析：（1）由与之间的关系求出通项公式；（2）求出，再用裂项相消法求出前n项和.‎ 方法四 错位相减法 解题模板：第一步 巧拆分：即根据通项公式分解为等差数列和等比数列乘积的形式；‎ ‎ 第二步 确定等差、等比数列的通项公式；‎ ‎ 第三步 构差式：即写出的表达式，然后两边同时乘以等比数列的公比得到另外一个式子，两式作差； ]‎ ‎ 第四步 求和：根据差式的特征准确求和.‎ 例4. 已知数列满足， .记，则数列的前项和 ．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】第一步，巧拆分：即根据通项公式分解为等差数列和等比数列乘积的形式；‎ 第二步，确定等差、等比数列的通项公式；‎ 第三步，构差式：即写出的表达式，然后两边同时乘以等比数列的公比得到另外一个式子，两式作差；‎ 第四步，求和：根据差式的特征准确求和.‎ ‎【变式演练4】已知数列的前项和为，数列满足.‎ ‎（1）求数列的通项公式；‎ ‎（2）若，求数列的前项和.‎ ‎【 】【全国市级联考】山西省太原市2017届高三模拟考试(二)数学(文 )试题 ‎【答案】(1) ；(2) .‎ ‎【解析】试题分析：（1）由，可得，所以.（2）由（1）得 ‎，由错位相减求和可求得.‎ ‎【点睛】‎ ‎（1）由于知道的表达式，所以应用公式可求的通项的表达式 ‎（2）当数列通项由等差与等比数列相乘时，一般用错位相减法求和.学 ‎ ‎【高考再现】 学, , ,X,X,K]‎ ‎1.【2018年全国普通高等学校招生统一考试数学（江苏卷）】已知集合，．将的所有元素从小到大依次排列构成一个数列．记为数列的前n项和，则使得成立的n的最小值为 ．‎ ‎【答案】27‎ ‎【解析】分析：先根据等差数列以及等比数列的求和公式确定满足条件的项数的取值范围，再列不等式求满足条件的项数的最小值.‎ 详解：设，则 由得 所以只需研究是否有满足条件的解，‎ 此时 ，，为等差数列项数，且.‎ 由 得满足条件的最小值为.‎ 点睛：本题采用分组转化法求和，将原数列转化为一个等差数列与一个等比数列的和.分组转化法求和的常见类型主要有分段型（如），符号型（如），周期型（如）.‎ ‎2.（2017新课标全国II理 ）等差数列的前项和为，，，则 ．‎ ‎【答案】‎ 点睛:等差数列的通项公式及前n项和公式，共涉及五个量a1，an，d，n，Sn，知其中三个就能求另外两个，体现了用方程的思想解决问题．数列的通项公式和前n项和公式在解题中起到变量代换作用，而a1和d是等差数列的两个基本量，用它们表示已知和未知是常用得方法．使用裂项法求和时，要注意正、负项相消时消去了哪些项，保留了哪些项，切不可漏写未被消去的项，未被消去的项有前后对称的特点．学 ‎ ‎4.【2017山东，文19】已知{an}是各项均为正数的等比数列,且. ‎ ‎(I)求数列{an}通项公式；‎ ‎(II){bn}为各项非零的等差数列,其前n项和Sn,已知,求数列的前n项和.‎ ‎【答案】(I)；(II) ‎ ‎【解析】‎ 试题分析：(I)列出关于的方程组,解方程组求基本量；(II)用错位相减法求和.‎ 试题解析：(I)设数列的公比为，由题意知, .‎ 又，‎ 解得，‎ 所以.‎ 两式相减得 所以.‎ ‎【考点】等差数列的通项,错位相减法求和.‎ ‎【名师点睛】(1)等差数列运算问题的一般求法是设出首项a1和公差d,然后由通项公式或前n项和公式转化为方程(组)求解．等差数列的通项公式及前n项和公式,共涉及五个量a1,an,d,n,Sn,知其中三个就能求另外两个,体现了方程的思想．(2)用错位相减法求和时,应注意：在写出“Sn”与“qSn”的表达式时应特别注意将两式“错项对齐”以便下一步准确写出“Sn－qSn”的表达式；若等比数列的公比为参数,应分公比等于1和不等于1两种情况求解．学 ‎ ‎5.【2018年全国普通高等学校招生统一考试数学（浙江卷）】已知等比数列{an}的公比q>1，且a3+a4+a5=28，a4+2是a3，a5的等差中项．数列 ‎{bn}满足b1=1，数列{（bn+1−bn）an}的前n项和为2n2+n．‎ ‎（Ⅰ）求q的值；‎ ‎（Ⅱ）求数列{bn}的通项公式． ‎ ‎【答案】（Ⅰ）‎ ‎（Ⅱ）‎ ‎【解析】分析:（Ⅰ）根据条件、等差数列的性质及等比数列的通项公式即可求解公比，（Ⅱ）先根据数列前n项和求通项，解得，再通过叠加法以及错位相减法求.‎ ‎（Ⅱ）设，数列前n项和为.‎ 由解得.‎ 由（Ⅰ）可知，‎ 所以，‎ 故，‎ ‎ .‎ 设，‎ 所以，‎ 因此，‎ 又，所以.学 ‎ 点睛：用错位相减法求和应注意的问题：(1)要善于识别题目类型，特别是等比数列公比为负数的情形；(2)在写出“”与“”的表达式时应特别注意将两式“错项对齐”以便下一步准确写出“”的表达式；(3)在应用错位相减法求和时，若等比数列的公比为参数，应分公比等于1和不等于1两种情况求解.‎ ‎6.【2017北京文，15】已知等差数列和等比数列满足a1=b1=1,a2+a4=10,b2b4=a5．‎ ‎（Ⅰ）求的通项公式；‎ ‎（Ⅱ）求和：．‎ ‎【答案】（Ⅰ） ；（Ⅱ）.‎ ‎ 学 ]‎ ‎7．【2017山东，理9】已知{xn}是各项均为正数的等比数列，且x1+x2=3，x3-x2=2‎ ‎（Ⅰ）求数列{xn}的通项公式；‎ ‎（Ⅱ）如图，在平面直角坐标系xOy中，依次连接点P1(x1, 1)，P2(x2, 2)…Pn+1(xn+1, n+1)得到折线P1 P2…Pn+1，求由该折线与直线y=0，所围成的区域的面积.‎ ‎【答案】(I)（II）学 ‎ 因为,所以，因此数列的通项公式为 ‎（II）过……向轴作垂线，垂足分别为……,‎ 由(I)得记梯形的面积为.‎ 由题意，‎ 所以……+=……+ ①‎ 又……+ ②‎ ‎8.【2017天津理，18】已知为等差数列，前n项和为，是首项为2的等比数列，且公比大于0，,，. 学 ]‎ ‎（Ⅰ）求和的通项公式；‎ ‎（Ⅱ）求数列的前n项和.‎ ‎【答案】 （1）..（2）.‎ ‎【解析】‎ ‎（II）解：设数列的前项和为，‎ 由，，有，‎ 故，学 ‎ ‎，‎ 上述两式相减，得 ‎ ‎ 得.‎ 所以，数列的前项和为.学 ‎ ‎9.【2015高考浙江，理20】已知数列满足=且=-（）‎ ‎（1）证明：1（）；‎ ‎（2）设数列的前项和为，证明（）.‎ ‎【答案】（1）详见解析；（2）详见解析.‎ 试题分析：（1）首先根据递推公式可得，再由递推公式变形可知 ‎【考点定位】数列与不等式结合综合题.‎ ‎【名师点睛】本题主要考查了数列的递推公式，不等式的证明等知识点，属于较难题，第一小问易证，利 用条件中的递推公式作等价变形，即可得到，再结合已知条件即可得证，第二小 问具有较强的技巧性，首先根据递推公式将转化为只与有关的表达式，再结合已知条件得到的 取值范围即可得证，此次数列自2008年之后作为解答题压轴题重出江湖，算是一个不大不小的冷门（之 前浙江各地的模考解答题压轴题基本都是以二次函数为背景的函数综合题），由于数列综合题常与不等式，‎ 函数的最值，归纳猜想，分类讨论等数学思想相结合，技巧性比较强，需要平时一定量的训练与积累，在 后续复习时应予以关注. 学 ‎ ‎【反馈练习】‎ ‎1．若数列的通项公式是，则（ ）‎ A． B． C． D． ‎ ‎【 】【全国校级联考】安徽省江淮十校2018届高三第三次（4月）联考数学文试题 ‎【答案】A ‎【解析】‎ 由题意得 ‎ =‎ ‎，选A. 学 ‎ ‎【点睛】‎ 当数列通项形式为，且数列{}是周期数列时，则数列的前n项和，我们常采用并项求和，同期为n则n项并项求和.‎ ‎2．已知数列满足： ，则其前100项和为（ ）‎ A． 250 B． 200 C． 150 D． 100‎ ‎【 】【全国市级联考】河南省六市2018届高三第一次联考（一模）数学（理）试题 ‎【答案】D ‎【解析】因为 ,所以选D.‎ ‎3．设等差数列的前项和为，已知， 为整数，且，则数列前项和的最大值为（ ）‎ A． B． 1 C． D． ‎ ‎【 】【全国市级联考】湖南省郴州市2018届高三第二次教学质量监测理 数学试题 ‎【答案】A ‎ ‎ ‎4．已知函数的图象经过点， ．当时， ，记数列的前项和为，当时， 的值为（ ）‎ A． 7 B． 6 C． 5 D． 4‎ ‎【 】【全国百强校】河北省衡水中学2018届高三上学期八模考试数学（理）试题 ‎【答案】D 点睛：使用裂项法求和时，要注意正负项相消时消去了哪些项，保留了哪些项，切不可漏写未被消去的项，未被消去的项有前后对称的特点，实质上造成正负相消是此法的根源与目的．‎ ‎5．设函数的导函数，则数列 的前项和是（ ）‎ A． B． C． D． ‎ ‎【 】2018四川省成都市石室中学高三第一次模拟理 数学卷 ‎【答案】A ‎【解析】本题考查导数的运算,数列求和及转化思想.‎ 则 所以数列的前n项和为为 故选A学 ‎ ‎6．已知数列对任意，总有成立，记，则数列前项和 ．‎ ‎【 】【全国省级联考】贵州省2018年普高等学校招生适应性考试文 数学试题 ‎【答案】‎ ‎ ‎ ‎7．在等比数列中， ，且与的等差中项为，设， ，则数列的前项和为 ．‎ ‎【 】【全国百强校】【衡水金卷】2018年普通高等学校招生全国统一考试模拟试题（一）理 数学 ‎【答案】‎ ‎【解析】设等比数列的首项为，公比为.‎ ‎∵‎ ‎∴，即.‎ ‎∵与的等差中项为 ‎∴，即.‎ ‎∴， .‎ ‎∴‎ ‎∵‎ ‎∴数列的前项和为 .‎ 故答案为.‎ ‎8．定义函数，其中表示不小于的最小整数，如， .当， 时，函数的值域为，记集合中元素的个数为，则 ．‎ ‎【 】【全国省级联考】江西省2018届高三毕业班新课程教学质量监测数学（文）试题 ‎【答案】‎ 当时，因为，所以，所以，‎ 所以，‎ 由此类推： ，所以，所以，‎ 所以.‎ 故答案为： 学 . ‎ ‎9．已知数列的奇数项和偶数项为公比为的等比数列， ，且.则数列的前项和的最小值为 ．‎ ‎【 】【全国校级联考】百校联盟2018届TOP20三月联考（全国II卷）理数试题 ‎【答案】‎ 设.‎ 为偶数时， ‎ ‎.‎ 又.‎ 当时，因为是关于的增函数，‎ 又也是关于的增函数，所以，‎ 因为，所以，‎ 所以当为偶数时， 最小， ，‎ 为奇数时， ‎ 又.‎ 点睛：求解数列中的最大项或最小项的一般方法：‎ ‎（1）研究数列的单调性，利用单调性求最值；‎ ‎（2）可以用或；学 ‎ ‎（3）转化为函数最值问题或利用数形结合求解.‎ ‎10．已知数列满足， ，若，则数列 的前项和 ．‎ ‎【 】【全国校级联考word】广东省汕头市金山中学、河北省石家庄市第二中学2017届高三4月联合考试数学（理）试题 ‎【答案】‎ 点睛：本题主要考查了通过数列递推式求数列的通项公式，根据通项公式的特征求数列的前项和，本题存在两大难点，一是构造数列是以1为首项，2为公比的等比数列，求出；二是对，两边取倒数构造化简出，根据列项求和的特征求出结果.‎ ‎11．已知数列， 的前项和分别为， ， ，且.‎ ‎（1）求；‎ ‎（2）求数列的前项和.‎ ‎【 】【全国市级联考】河北省邯郸市2018届高三第一次模拟考试数学（理）试题 ‎【答案】（1）（2）‎ ‎【解析】试题分析：（1）先根据分组求和法分成一个等差与一个等比数列的和的和，再分别求和，（2）因为，所以利用错位相减法以及分组求和法求和.‎ 试题解析：解：（1）依题意可得， ，…， ，‎ ‎∴ .‎ 点睛：用错位相减法求和应注意的问题(1)要善于识别题目类型，特别是等比数列公比为负数的情形；(2)在写出“”与“”的表达式时应特别注意将两式“错项对齐”以便下一步准确写出“”的表达式；(3)在应用错位相减法求和时，若等比数列的公比为参数，应分公比等于1和不等于1两种情况求解.‎ ‎12．已知公差不为0的等差数列的首项，且成等比数列.‎ ‎（1）求数列的通项公式；‎ ‎（2）设， ， 是数列的前项和，求使成立的最大的正整数.‎ ‎【 】【全国市级联考】安徽省安庆市2018届高三二模考试理 数学试题 ‎【答案】（Ⅰ）， .（Ⅱ）.‎ ‎【解析】试题分析：（1）设数列的公差为，由 ， ， 成等比数列，得，解得. 从而求得.学 . ‎ ‎（2）由（1）， ‎ 得 ，解得. ‎ 故最大的正整数.‎ ‎（Ⅱ）因为， ‎ 所以 .‎ 由，即，得. ‎ 所以使成立的最大的正整数.‎