【数学】2020届一轮复习人教B版垂直关系作业 11页

垂 直 关 系 ‎(30分钟　60分)‎ 一、选择题(每小题5分，共35分)‎ ‎1.α是一个平面,m,n是两条直线,A是一个点,若m⊄α,n⊂α,且A∈m,A∈α,则m,n的位置关系不可能是(　　)‎ ‎　　　　　　　　　　　　　　　　　　　‎ A.垂直 B.相交 C.异面 D.平行 答案D 解析∵α是一个平面,m,n是两条直线,A是一个点,m⊄α,n⊂α,∴n在平面α内.‎ ‎∵A∈m,A∈α,∴A是m和平面α相交的点,‎ ‎∴m和n异面或相交,一定不平行.‎ ‎2.在空间中,四条两两不同的直线l1,l2,l3,l4,满足l1⊥l2,l2⊥l3,l3⊥l4,则下列结论一定正确的是(　　)‎ A.l1⊥l4 B.l1∥l4‎ C.l1与l4既不垂直也不平行 D.l1与l4的位置关系不确定 答案D 解析 如图,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,取l1为BC,l2为CC1,l3为C1D1.满足l1⊥l2,l2⊥l3.若取l4为A1D1,则有l1∥l4;若取l4为DD1,则有l1⊥l4.因此l1与l4的位置关系不确定,故选D.‎ ‎3.‎ 如图,α∩β=l,A,B∈α,C∈β,且C∉l,直线AB∩l=M,过A,B,C三点的平面记作γ,则γ与β的交线必通过(　　)‎ A.点A B.点B C.点C但不过点M D.点C和点M 答案D 解析∵AB⊂γ,M∈AB,∴M∈γ.‎ 又α∩β=l,M∈l,∴M∈β.‎ 根据公理3可知,M在γ与β的交线上,‎ 同理可知,点C也在γ与β的交线上.‎ ‎4.‎ 如图,ABCD-A1B1C1D1是长方体,O是B1D1的中点,直线A1C交平面AB1D1于点M,则下列结论正确的是(　　)‎ A.A,M,O三点共线 B.A,M,O,A1不共面 C.A,M,C,O不共面 D.B,B1,O,M共面 答案A 解析连接A1C1,AC,则A1C1∥AC,‎ 所以A1,C1,A,C四点共面.‎ 所以A1C⊂平面ACC1A1.‎ 因为M∈A1C,所以M∈平面ACC1A1.‎ 又M∈平面AB1D1,‎ 所以M在平面ACC1A1与平面AB1D1的交线上.‎ 同理A,O在平面ACC1A1与平面AB1D1的交线上,‎ 所以A,M,O三点共线.‎ ‎5.如图，在四棱锥P-ABCD中，△PAB与△PBC是正三角形，平面PAB⊥平面PBC，AC⊥BD，则下列结论不一定成立的是 (　　)‎ A.PB⊥AC　　　　 B.PD⊥平面ABCD C.AC⊥PD D.平面PBD⊥平面ABCD ‎【解析】选B.‎ 取BP的中点O，连接OA，OC，易得 BP⊥OA，BP⊥OC⇒BP⊥平面OAC⇒BP⊥AC⇒选项A正确；又AC⊥BD⇒AC⊥平面BDP⇒AC⊥PD，平面PBD⊥平面ABCD，故选项C，D正确.‎ ‎6.已知m，n为直线，α，β为平面，给出下列命题：‎ ‎①⇒n∥α； ②⇒m∥n；‎ ‎③⇒α∥β； ④⇒m∥n.‎ 其中正确命题的序号是 (　　)‎ A.③④ B.②③‎ C.①② D.①②③④‎ ‎【解析】选B.①不正确，n可能在α内.‎ ‎②正确，垂直于同一平面的两直线平行.‎ ‎③正确，垂直于同一直线的两平面平行.‎ ‎④不正确，m，n可能为异面直线. ‎ ‎7.直三棱柱ABC-A1B‎1C1中，侧棱长为2，AC=BC=1，∠ACB=90°，D是A1B1的中点，F是BB1上的动点，AB1，DF相交于点E.要使AB1⊥平面C1DF，则线段B‎1F的长为 ‎ (　　)‎ A.　　　　B‎.1　‎　　　C.　　　　D.2‎ ‎【解析】选A.设B‎1F=x，‎ 因为AB1⊥平面C1DF，DF平面C1DF，‎ 所以AB1⊥DF.‎ 由已知可得A1B1=，‎ 设Rt△AA1B1斜边AB1上的高为h，‎ 则DE=h.‎ 又2×=h，‎ 所以h=，DE=.‎ 在Rt△DB1E中，B1E==.‎ 由面积相等得×=x，得x=.‎ 二、填空题(每小题5分，共10分)‎ ‎8.α，β是两个平面，AB，CD是两条线段，已知α∩β=EF，AB⊥α于B，CD⊥α于D，若增加一个条件，就能得出BD⊥EF，现有下列条件： ‎ ‎①AC⊥β；‎ ‎②AC与α，β所成的角相等；‎ ‎③AC与CD在β内的射影在同一条直线上；‎ ‎④AC∥EF.其中能成为增加条件的序号是_______. ‎ ‎【解析】由题意得，AB∥CD，所以A，B，C，D四点共面，①因为AC⊥β，EFβ，‎ 所以AC⊥EF，又因为AB⊥α，EFα，所以AB⊥EF，‎ 因为AB∩AC=A，所以EF⊥平面ABDC，‎ 又因为BD平面ABDC，所以BD⊥EF，故①正确；②由①可知，若BD⊥EF成立，则有EF⊥平面ABDC，则有EF⊥AC成立，而AC与α，β所成角相等是无法得到EF⊥AC的，故②错误；③由AC与CD在β内的射影在同一条直线上可知EF⊥AC，由①可知③正确；④仿照②的分析过程可知④错误.‎ 答案：①③‎ ‎9.如图，PA⊥圆O所在的平面，AB是圆O的直径，C是圆O上的一点，E，F分别是点A在PB，PC上的射影，给出下列结论： ‎ ‎①AF⊥PB；②EF⊥PB；③AF⊥BC；④AE⊥平面PBC.‎ 其中正确结论的序号是_______. ‎ ‎【解析】由题意知PA⊥平面ABC，所以PA⊥BC.‎ 又AC⊥BC，且PA∩AC=A，‎ 所以BC⊥平面PAC，所以BC⊥AF.‎ 因为AF⊥PC，且BC∩PC=C，‎ 所以AF⊥平面PBC，‎ 所以AF⊥PB，又AE⊥PB，AE∩AF=A，‎ 所以PB⊥平面AEF，所以PB⊥EF.‎ 故①②③正确.‎ 答案：①②③‎ 三、解答题 ‎10.(15分)如图，在三棱锥A-BCD中，AB⊥平面BCD，CD⊥BD. ‎ ‎(1)求证：CD⊥平面ABD. ‎ ‎(2)若AB=BD=CD=1，M为AD中点，求三棱锥A-MBC的体积.‎ ‎【解析】(1)因为AB⊥平面BCD，CD平面BCD，‎ 所以AB⊥CD.‎ 又因为CD⊥BD，AB∩BD=B，‎ AB平面ABD，BD平面ABD，‎ 所以CD⊥平面ABD.‎ ‎(2)由AB⊥平面BCD，得AB⊥BD.‎ 又AB=BD=1，所以S△ABD=×12=.‎ 因为M是AD的中点，所以S△ABM=S△ABD=.‎ 根据(1)知，CD⊥平面ABD，‎ 则三棱锥C -ABM的高h=CD=1，‎ 故VA -MBC=VC -ABM=S△ABM·h=.‎ ‎(20分钟　40分)‎ ‎1.(5分)如图，边长为a的等边三角形ABC的中线AF与中位线DE交于点G，已知△A′DE是△ADE绕DE旋转过程中的一个图形(A′不与A，F重合)，则下列说法中正确的是 (　　)‎ ‎①动点A′在平面ABC上的射影在线段AF上；‎ ‎②BC∥平面A′DE；‎ ‎③三棱锥A′-FED的体积有最大值.‎ A.①　　 B.①②　　 C.①②③　　 D.②③‎ ‎【解析】选C.①中由已知可得平面A′FG⊥平面ABC，所以点A′在平面ABC上的射影在线段AF上.‎ ‎②BC∥DE，BC⊈平面A′DE，DE平面A′DE，所以BC∥平面A′DE.‎ ‎③当平面A′DE⊥平面ABC时，三棱锥A′-FED的体积达到最大.‎ ‎2.(5分)下列命题中错误的是 (　　)‎ A.如果直线a与平面α不平行，则平面α内不存在与a平行的直线 B.如果平面α⊥平面γ，平面β⊥平面γ，α∩β=l，那么直线l⊥平面γ C.如果直线l⊥平面β，那么过直线l的所有平面都垂直于平面β D.一条直线与两个平行平面中的一个平面相交，则必与另一个平面相交 ‎【解析】选A.如果直线a与平面α不平行，则直线a可能是平面α内一条直线，所以A错误；‎ 在平面γ内作两条相交直线m，n分别垂直于平面α与平面γ的交线及平面β与平面γ的交线，则由平面α⊥平面γ，平面β⊥平面γ，得m，n分别垂直于平面α及平面β，即m，n都垂直于直线l，因此直线l⊥平面γ，即B正确；由面面垂直的判定定理可知C正确；当一条直线与两个平行平面中的一个平面相交时，若此直线在另一个平面内，则与原平面无交点，矛盾，若此直线与另一个平面平行，则可得此直线与原平面平行或在原平面内，矛盾，因此此直线必与另一个平面相交，即D正确.‎ ‎3.(5分)(2018·宝鸡模拟)如图所示，正方体ABCD-A′B′C′D′的棱长为1，E，F分别是棱AA′，CC′的中点，过直线EF的平面分别与棱BB′，DD′交于M，N，给出以下四个命题：‎ ‎①平面MENF一定为矩形；‎ ‎②平面MENF⊥平面BDD′B′；‎ ‎③当M为BB′的中点时，MENF的面积最小；‎ ‎④四棱锥A-MENF的体积为常数.‎ 以上命题中正确命题的序号为_______. ‎ ‎【解析】因为EF⊥BD，EF⊥BB′，BD∩BB′=B，所以EF⊥平面BDD′B′，‎ 所以平面MENF⊥平面BDD′B′，②正确；‎ EF⊥平面BDD′B′，MN平面BDD′B′，所以EF⊥MN，‎ 因为MF∥EN，ME∥NF，所以四边形MENF为菱形，①错误；‎ 因为菱形MENF的面积为S=NM×EF，‎ 所以当M为BB′的中点时，MENF的面积最小，③正确；因为四棱锥A-MENF的体积为 V=VM-AEF+VN-AEF=×DB×S△AEF为常数，所以④正确.‎ 综上，正确的命题是②③④.‎ 答案：②③④‎ ‎4.(12分)(2019·江西模拟)如图，在三棱锥P-ABC中，PA⊥AC，AB⊥BC，PA=BC=2，PB=AC=2，D为线段AC的中点，将△CBD折叠至△EBD，使得平面EDB⊥平面ABC且PC交平面EBD于F. ‎ ‎(1)求证：平面BDE⊥平面PAC.‎ ‎(2)求三棱锥P-EBC的体积.‎ ‎【解析】(1)因为PA⊥AC，PA=2，AC=2，所以PC=2，‎ 又因为PB=2，BC=2，所以PB2+BC2=PC2，则BC⊥PB.‎ 又因为AB⊥BC，所以BC⊥平面PAB，则BC⊥PA，‎ 又PA⊥AC，AC∩BC=C，所以PA⊥平面ABC.‎ 又因为BD平面BAC，所以PA⊥BD，‎ 在Rt△ABC中，由BC=2，AC=2，可得AB=2，‎ 又因为D为AC的中点，所以BD⊥AC，而PA∩AC=A，‎ 所以BD⊥平面PAC，则平面BDE⊥平面PAC.‎ ‎(2) ‎ 由已知，DE∥AP，‎ 所以SAPEC=SAPED+SEDC=(+2)×+××=2+.‎ 所以VB-APEC=SAPEC·BD=(2+)×=，‎ VP-ABC=S△ABC·PA=××2×2×2=.‎ 所以VP-EBC=VB-APEC-VP-ABC=-=.‎ ‎5.(13分)如图，M，N，P分别是正方体ABCD-A1B‎1C1D1的棱AB，BC，DD1上的点. ‎ ‎(1)若=，求证：无论点P在D1D上如何移动，总有BP⊥MN.‎ ‎(2)棱DD1上是否存在这样的点P，使得平面APC1⊥平面ACC1？证明你的结论.‎ ‎【解析】(1)连接AC，BD，在△ABC中，‎ 因为=，所以MN∥AC.‎ 又因为AC⊥BD，DD1⊥底面ABCD.‎ 所以DD1⊥AC，因为BD∩DD1=D，所以AC⊥平面BDD1B1.‎ 所以MN⊥平面BDD1B1.因为BP平面BDD1B1，‎ 所以MN⊥BP.‎ ‎(2)假设存在点P，使平面APC1⊥平面ACC1，过点P作PF⊥AC1，则PF⊥平面ACC1.‎ 又因为BD⊥平面ACC1，所以PF∥BD，而两平行线PF，BD所确定的平面即为两相交直线BD，DD1确定的对角面BB1D1D，所以F为AC1与对角面BB1D1D的交点，故F为AC1的中点，由PF∥BD，P∈DD1知，点P也是DD1的中点.‎ 显然，当点P为DD1的中点，点F为AC1的中点时，‎ AP=PC1，所以PF⊥AC1又PF∥BD，BD⊥AC，所以PF⊥AC.从而PF⊥平面ACC1，则平面APC1⊥平面ACC1.故存在点P，当点P为DD1中点时，平面APC1⊥平面ACC1.‎