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  • 2021-06-15 发布

浙江省2020届高三数学一轮复习典型题专项训练:导数及其应用

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浙江省2020届高三数学一轮复习典型题专项训练 导数及其应用 一、选择、填空题 ‎1、(七彩阳光联盟2019届高三上学期期初联考)设为正数,,若在区间不大于0,则的取值范围是( )‎ ‎ A. B. C. D. ‎ ‎2、(七彩阳光联盟2019届高三上学期期初联考)已知函数,则函数的最小的极值点为 ;若将 的极值点从小到大排列形成的数列记为,则数列的通项公式为 .‎ ‎3、(嘉兴市2019届高三上学期期末检测)已知函数f(x)=sinx,g(x)=cosx,设 h(x)=f(x)+g(x),则(  )‎ A.h1(x)的极小值点是h(x)的极小值点 ‎ B.h2(x)极小值点是h(x)的极小值点 ‎ C.h(x)的极大值点是h1(x)的极大值点 ‎ D.h(x)的极大值点是h2(x)的极大值点 ‎4、(宁波市2019届高三上学期期末考试)已知存在导函数,若既是周期函数又是奇函数,则其导函数 A. 既是周期函数又是奇函数 B. 既是周期函数又是偶函数 C. 不是周期函数但是奇函数 D. 不是周期函数但是偶函数 ‎5、(浙南名校联盟(温州九校)2019届高三上学期期末联考)若对任意,函数在开区间内有且仅有一个零点,则实数 的取值范围是______.‎ ‎6、(稽阳联谊学校2019届高三4月联考)已知关于的方程在上有且只有一个实数根,则的取值范围是 .‎ ‎7、(台州市2019届高三4月调研)已知,且函数.若对任意的 不等式 恒成立,则实数的取值范围为 A. B. C. D.‎ ‎8、(温州市2019届高三2月高考适应性测试)已知,若对任意的 aÎR,存在 ‎ x0 Î[0,2] ,使得成立,则实数k的最大值是 ▲ .‎ ‎9、(杭州第四中学2019届高三第二次月考)设函数是定义在上的可导函数,其导函数为,且有,则不等式的解集为________.‎ ‎10、(杭州市2018届高三上学期期末)若函数的导函数的图象如图所示,则( )‎ A. 函数有1个极大值,2个极小值 ‎ B. 函数有2个极大值,2个极小值 ‎ C. 函数有3个极大值,1个极小值 ‎ D. 函数有4个极大值,1个极小值 ‎11、(宁波市2018届高三上学期期末)已知为的导函数,则的图像是( )‎ ‎12、曲线在点处的切线方程为 ‎ ‎13、设函数,若在单调递减,则实数的取值范围是 . ‎ 参考答案:‎ ‎1、A 提示:当时,,∴在上单调递增.因此 ‎,解得.‎ ‎2、 ;或.‎ 提示:,所以或.显然数列的,,于是当为偶数时,,当为奇数时,.‎ ‎3、D  4、B  5、‎ ‎6、  ‎ ‎7、答案:B 解析:因为,不等式恒成立,所以,‎ ‎,即,恒成立,‎ 令,则,‎ 时,<0,g(x)递减;时,>0,g(x)递增,‎ 所以,g(x)最小值为:,‎ 令(),所以,‎ 令h(t)==,‎ ‎(1)当时,t≥4,所以,h(t)的最小值为:,‎ 所以,,即,解得:,‎ 即 ‎(2)当1<<4时,所以,h(t)的最小值为:,‎ 所以,,即,解得:‎ 即1<<4恒成立。‎ 综合(1)(2)可知:,选B。‎ ‎ ‎ ‎8、  9、  10、B ‎11、A  12、   13、‎ 二、解答题 ‎1、(温州市2019届高三8月适应性测试)函数.‎ (1) 当时,求曲线与曲线的公切线的方程;‎ (2) 设函数的两个极值点为,‎ 求证:关于的方程有唯一解。‎ ‎2、(金丽衢十二校2019届高三第一次联考)已知函数 (1) 若在,()处导数相等,证明:为定值,并求出该定值 (2) 已知对于任意,直线与曲线有唯一公共点,求实数的取值范围 ‎3、(浙江省名校协作体2019届高三上学期第一次联考)已知函数.‎ (1) 当时,直线是曲线的切线,求实数的值;‎ (2) 若是函数的两个极值点,且,求的取值范围.‎ ‎4、(七彩阳光联盟2019届高三上学期期初联考)已知函数 ‎(I)判断的单调性;‎ ‎(II)若函数存在极值,求这些极值的和的取值范围.‎ ‎5、(温州九校2019届高三第一次联考)知函数.‎ (1) 若在()处导数相等,证明:‎ (2) 若对于任意,直线与曲线都有唯一公共点,求实数的取值范围.‎ ‎6、(嘉兴市2019届高三上学期期末检测)已知函数,且曲线 y = f (x) 在点 (2, f (2)) 处的切线方程为 y = x-2 .‎ ‎(Ⅰ)求实数 a,b 的值;‎ ‎( Ⅱ ) 函 数 g(x) = f (x + 1) -mx (mÎ R) 有 两 个 不 同 的 零 点 x1 , x2 , 求 证 :‎ x1 × x2 > e2.‎ ‎7、(丽水、衢州、湖州三地市2019届高三上学期期末)已知函数f(x)=xlnx﹣ax2﹣x恰有两个极值点x1,x2(x1<x2).‎ ‎(Ⅰ)求实数a的取值范围;‎ ‎(Ⅱ)求证:;‎ ‎(Ⅲ)求证:其中e为自然对数的底数).‎ ‎8、(宁波市2019届高三上学期期末考试)已知函数,其中为实数.‎ ‎(I)若函数的图像关于点对称,求的解析式;‎ ‎(II)若,且,为函数的极小 值点,求的取值范围.‎ ‎9、(台州市2019届高三上学期期末质量评估)设函数,R.‎ ‎(Ⅰ)求函数在处的切线方程;‎ ‎(Ⅱ)若对任意的实数,不等式恒成立,求实数的最大值; ‎ ‎(Ⅲ)设,若对任意的实数,关于的方程有且只有两个不同的实根,求实数的取值范围.‎ ‎10、(浙南名校联盟(温州九校)2019届高三上学期期末联考)设,函数 ‎.‎ ‎(I)证明:当时,对任意实数,直线总是曲线的切线; ‎ ‎(Ⅱ)若存在实数,使得对任意且,都有,求实数的最小值.‎ ‎11、(绍兴市2019届高三3月适应性考试)已知函数其中.‎ ‎(Ⅰ)若直线是曲线的切线,求的最大值.‎ ‎(Ⅱ)设,若方程有两个不相等的实根,求的最大整数值.().‎ ‎12、(杭州市2019届高三4月教学质量检测(二模))已知函数. ‎ ‎(1)求函数的单调递增区间;‎ ‎(2)若方程有非负实数解,求的最小值. ‎ ‎13、(稽阳联谊学校2019届高三4月联考)已知的极值点.‎ ‎(I)求的值;‎ ‎(Ⅱ)若不等式恒成立,求的最大值.‎ ‎14、(绍兴市上虞区2019届高三第二次(5月)教学质量调测)已知与.‎ ‎(Ⅰ)若在处有相同的切线.求的值;‎ ‎(Ⅱ)设,若函数有两个极值点,且 ‎ ,求实数的取值范围.‎ ‎15、(台州市2019届高三4月调研)已知函数(为自然对数的底数,).‎ ‎(I)若关于的方程有三个不同的解,求实数的取值范围;‎ ‎(Ⅱ)若实数,满足,其中,分别记:关于的方程在 上两个不同的解为,;关于的方程在上两个不同的解为,,求 证:.‎ ‎16、(温州市2019届高三2月高考适应性测试)记 ‎( I)若对任意的 x > 0 恒成立,求实数 a 的值;‎ ‎( II)若直线l : 与的图像相切于点Q ( m,n ) ;‎ ‎( i) 试用 m 表示 a 与 k ;‎ ‎( ii) 若对给定的 k ,总存在三个不同的实数 a1,a 2,a 3,使得直线l 与曲线 ‎,,同时相切,求实数k的取值范围。‎ ‎17、(杭州第四中学2019届高三第二次月考)已知函数 (1) 判断函数的单调性;‎ ‎(2)若函数存在极值,且所有极值之和小于5+ln2,求a的取值范围;‎ ‎18、(七彩阳光联盟2019届高三下学期第三次联考)已知.‎ ‎(1)若在定义域上单调递增,求的取值范围;‎ ‎(2)若存在两个极值点,求证:.‎ 参考答案:‎ ‎1、‎ ‎2、‎ ‎3、‎ ‎4、解:(Ⅰ)因为,所以,令.‎ ‎,即时,恒成立,此时,所以函数在上为减函数;…3分 ‎,即或时,有不相等的两根,设为(),则,.当或时,,此时,所以函数在和上为减函数;当时,,此时,所以函数在上为增函数.…7分 ‎(Ⅱ)对函数求导得. 因为存在极值,所以在上有解,即方程在上有解,即.显然当时,无极值,不合题意,所以方程必有两个不等正根. …10分 设方程的两个不等正根分别为,则,由题意知 ‎ ‎,…13分 由得,‎ 即这些极值的和的取值范围为. …15分 ‎5、解:(I)…………2分 令,得,‎ 由韦达定理得…………3分 即,得…………4分 ‎…………6分 令,则,令,‎ 则,得…………8分 ‎(II)由得…………9分 令,‎ 则,,…………10分 下面先证明恒成立。‎ 若存在,使得,,,且当自变量充分大时,,所以存在,,使得,,取,则与至少有两个交点,矛盾。…………12分 由对任意,只有一个解,得为上的递增函数,…………13分 得,令,则,‎ 得…………15分 解二:隐零点估计极值法.‎ 由得对任意有唯一解…9分 令,则有唯一零点.‎ 则,分子部分…………10分 ‎(i)当时,在上递增,,,,‎ ‎,则有唯一零点;…………11分 ‎(ii)当时,有两个不同实根,,‎ ‎,,‎ 在递增,递减,递增,‎ 又,,,,则有零点,‎ ‎…………12分 令,则,‎ ‎…………13分 同理,,‎ 当即时,得,则恰有一个零点;‎ 当即时,则存在,得有两个零点,不符合题意.‎ 综上得…………15分 ‎6、‎ ‎7、‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎8、‎ ‎9、(Ⅰ)解:,. .………1分 且,所以在处的切线方程为. ………3分 ‎ ‎(Ⅱ)证明:因为对任意的实数,不等式恒成立.‎ 所以恒成立. .………4分 设,‎ 则 所以在,单调递增,‎ 在,单调递减. ………6分 所以,‎ 因为,是方程的两根.‎ 所以 ‎. (其中) ‎ 所以的最大值为. ………9分 ‎(Ⅲ)解:若对任意的实数,关于的方程有且只有两个不同的实根,‎ 当,得,与已知矛盾.‎ 所以有两根,即与有两个交点. …10分 令,则.‎ 令,,则在单调递减,单调递增,所以. …11分 ‎(ⅰ)当时,即时,则,即在,单调递增,且当时,;当时,;当时,;当时,.此时对任意的实数,原方程恒有且只有两个不同的解. ………12分 ‎(ⅱ)当时,有两个非负根,,所以在,,‎ 单调递增,单调递减,所以当时有4个交点,或有3个交点,均与题意不合,舍去. ………13分 ‎(ⅲ)当时,则有两个异号的零点,,不妨设,则在,单调递增;在,单调递减.‎ 又时,;当时,;当时,;当时,.‎ 所以当时,对任意的实数,原方程恒有且只有两个不同的解.‎ 所以有,,得.‎ 由,得,即.‎ 所以,,.‎ 故 ‎.‎ ‎ 所以. ‎ 所以当或时,原方程对任意实数均有且只有两个解.………15分 ‎10、易得的导数. ………………2分 ‎(I)证明:此时,.‎ ‎ 注意到对任意实数,,, ………………4分 ‎ 故直线是曲线在原点处的切线; ………………6分 ‎(Ⅱ)由题意,存在实数,使得对任意,都有,且对任意,都有. ………………8分 ‎ 因,故(否则,若,则在的左右附近,恒有,‎ ‎ 从而单调递减,不合题意). ………………10分 ‎ 于是,因此. ………………12分 ‎ 又当,时,(等号成立当且仅当),‎ ‎ 于是在内单调递增,满足题意.‎ ‎ 所以的最小值为. ………………15分 ‎11、‎ ‎12、‎ ‎13、‎ ‎14、解:(Ⅰ)解答:,. …………2分 由于在处有相同的切线,得,即,‎ ‎ …………4分 解得. …………6分 ‎(Ⅱ),则,其中是方程的两根. …………7分 ‎,设,则,‎ 可知在,画图像可得 ‎…………9分 设,可得,由.‎ 两式相除代入可得,代入可得,,两边取对数可得,.设,则,再设,则 当即在单调递增,所以,‎ 则,所以在单调递增,且当.‎ 则即. …………14分 由于,又在 当,,即.…………15分 ‎15、‎ ‎16、解:(I)∵‎ ‎∵,又∵恒成立,∴是的最大值 ‎∴,∴‎ 反过来,当时,显然恒成立.‎ ‎∴‎ ‎(II)(i)∵,由切点,则有:‎ ‎,‎ 把①代入②可得:,‎ 代入①式得:(**),‎ ‎(ii)根据题意方程(**)有三个不同的解,‎ 令 ‎∴‎ ‎ ‎ 由,解得两根分别为与 ‎∴当时,,单调递减;当时,,单调递增;当时,,单调递减 ‎∴的极小值为;的极大值为 又∵时,‎ ‎∴当时,方程(**)有三个不同的根,‎ 下面说明三个不同的对应的也是不同的:‎ 设方程(**)的三个不同的根分别为:,且 则有:,,,显然 只需说明即可,‎ 又由可得:‎ 即,假设,‎ 则有,即 即 即,令,即 设 ‎∴‎ ‎∴在上是减函数,即,与矛盾 ‎∴假设不真,即 ‎∴当,存在三个不同的实数使得直线与曲线,,同时相切.‎ ‎17、(1)函数的定义为(0,+∞)‎ ‎==‎ 令,‎ ‎△=-8≤0时,即时,g(x)≤0,0,f(x)在(0,+∞)单调递减。‎ ‎△=-8>0时,即或时,‎ 因为x>0,所以,不合 当时,f(x)在(0,),(,+∞)单调递减。‎ ‎         在(,)单调递增 ‎(2)‎ ‎=‎ ‎18、(Ⅰ)易知的定义域为,由题意知在上恒成立,即在上恒成立, ………2分 令,‎ 则, ………4分 所以,当时,,单调递增,当时,,单调递减,‎ 所以,当时,有最小值, ‎ 所以,. ………6分 ‎(Ⅱ)因为,‎ 由知,,设,‎ 由(Ⅰ),且在上单调递增,在上单调递减,‎ 所以,,‎ 令, ………8分 则 ‎ ‎ ‎ ,‎ 所以在上单调递减,且, ………10分 所以,当时,,‎ 又,∴‎ ‎∴ ,即 ‎ 所以,, ………13分 因为,,且在上单调递增, ‎ 所以,即. ………15分 方法2:因为,‎ 由知,,设,‎ 由(Ⅰ),且在上单调递增,在上单调递减,‎ 所以,,‎ 令, ………8分 则 ‎ ,‎ 所以,在上单调递减, ‎ 又,故恒成立, ………10分 所以,对上恒成立,‎ 因为,‎ 所以,即, ………13分 又且在上单调递增,‎ 所以即. ………15分