【数学】2020届一轮复习（文理合用）第9章第3讲用样本估计总体作业 9页

对应学生用书[练案68理][练案63文]]‎ 第三讲　用样本估计总体 A组基础巩固 一、选择题 ‎1．在样本频率分布直方图中，共有9个小长方形，若中间一个小长方形的面积等于其他8个长方形的面积和的，且样本容量为140，则中间一组的频数为(　B　)‎ A．28　　　 B．40　　　‎ C．56　　　 D．60‎ ‎[解析]　设中间一个小长方形面积为x，其他8个长方形面积为x，因此x＋x＝1，∴x＝.‎ 所以中间一组的频数为140×＝40.故选B．‎ ‎2．(2016·全国卷Ⅲ)某旅游城市为向游客介绍本地的气温情况，绘制了一年中各月平均最高气温和平均最低气温的雷达图．图中A点表示十月的平均最高气温约为15℃，B点表示四月的平均最低气温约为5℃.下面叙述不正确的是(　D　)‎ A．各月的平均最低气温都在0℃以上 B．七月的平均温差比一月的平均温差大 C．三月和十一月的平均最高气温基本相同 D．平均最高气温高于20℃的月份有5个 ‎[解析]　由图形可得各月的平均最低气温都在0℃以上，A正确；七月的平均温差约为10℃，而一月的平均温差约为5℃，故B正确；三月和十一月的平均最高气温都在10℃左右，基本相同，C正确；平均最高气温高于20℃的月份只有3个，D错误．‎ ‎3．(2019·云南昆明适应性检测)AQI(Air Quality Index，空气质量指数)是报告每日空气质量的参数，描述了空气清洁或污染的程度．AQI共分六级，从一级优(0～50)，二级良(51～100)，三级轻度污染(101～150)，四级中度污染(151～200)，直至五级重度污染(201～300)，六级严重污染(大于300)．如图是昆明市2018年4月份随机抽取10天的AQI茎叶图，利用该样本估计昆明市2019年4月份空气质量优的天数为(　C　)‎ A．3　　　 B．4　　　‎ C．12　　　 D．21‎ ‎[解析]　由茎叶图知10天中有4天空气质量为优，所以空气质量为优的频率为＝，所以估计昆明市2019年4月份空气质量为优的天数为30×＝12，故选C．‎ ‎4．某校100名学生的数学测试成绩的频率分布直方图如图所示，分数不低于a为优秀，如果优秀的人数为20人，则a的估计值是(　C　)‎ A．130　　　 B．140　　　‎ C．133　　　 D．137‎ ‎[解析]　由题意可知，分数在140～150分的有10人，在130～140分的有15人，因为优秀的人数为20人，故取130～140分数段的后10人，故＝，得a≈133，a的估计值为133.‎ ‎5．一组数据的平均数是4.8，方差是3.6，若将这组数据中的每一个数据都加上60，得到一组新数据，则所得新数据的平均数和方差分别是(　D　)‎ A．55.2,3.6　　　 B．55.2,56.4‎ C．64.8,63.6　　　 D．64.8,3.6‎ ‎[解析]　每一个数据都加上60时，平均数也加上60，而方差不变．‎ ‎6．(2019·济南模拟)某老师任教高三A班、高三B班两个班，两个班各有50个学生，如图反映的是两个班在某学期5次数学测试中的班级平均分，根据图表，下列结论不正确的是(　C　)‎ A．A班的数学成绩平均水平高于B班 B．B班的数学成绩没有A班稳定 C．下次考试B班的数学成绩平均分要高于A班 D．在第1次考试中，A，B两个班的总平均分为98分 ‎[解析]　A班的数学成绩平均值为＝101(分)，B班的数学成绩平均值为＝99.2(分)，即A正确；A班平均成绩的方差为×(0＋9＋0＋1＋16)＝5.2，B班平均成绩的方差为×(4.22＋0.64＋3.22＋5.82＋0.64)＝12.56，即B正确；在第1次考试中，A，B两个班的总平均分为＝98(分)，即D正确；无法根据图表知下次考试成绩的情况，C不正确，故选C．‎ ‎7．(2019·九江模拟)甲、乙两人在淘宝网各开一家网店，直销同一厂家的同一种产品，厂家为考察两人的销售业绩，随机选了10天，统计两店销售量，得到如图所示的茎叶图，由图知(　D　)‎ A．甲网店的极差大于乙网店的极差 B．甲网店的中位数是46‎ C．乙网店的众数是42‎ D．甲网店的销售业绩好 ‎[解析]　甲网店极差为58－6＝52，乙网店极差为58－5＝53，A错；甲网店中位数为44，B错；乙网店的众数是13，C错；甲网店平均数甲＝(6＋11＋12＋32＋43＋47＋45＋51＋58＋51)＝35.6，乙网店平均数为乙＝(5＋7＋13＋13＋13＋22＋34＋42＋42＋58)＝24.9.所以甲网店的业绩好．‎ ‎8．(2019·浙江台州)对某小区100户居民的月均用水量进行统计，得到样本的频率分布直方图如图，则估计此样本的众数、中位数分别为(　B　)‎ A．2.25,2.5　　　 B．2.25,2.02‎ C．2,2.5　　　 D．2.5,2.25‎ ‎[解析]　由图可知，前五组的频率依次为0.04,0.08，0.15，0.22,0.25，因此前五组的频数依次为4,8,15,22,25，根据众数的定义，众数应是出现次数最多的数，故在第五组，用组中值表示该组的值，即为2.25，由中位数的定义，应是第50个数与第51个数的算术平均数，而前四组的频数和为4＋8＋15＋22＝49，是第五组中第1个数与第二个数的算术平均数，对照选项，中位数是2.02最合理，故选B．‎ 二、填空题 ‎9．(2019·贵州黔东南州)近年呼吁高校招生改革的呼声越来越高，在赞成高校招生改革的市民中按年龄分组，得到本频率分布直方图如图，其中年龄在[30,40)岁的有2500人，年龄在[20,30)岁的有1200人，则m的值为__0.012___.‎ ‎[解析]　由题意得，年龄在范围[30,40)岁的频率为0.025×10＝0.25，则赞成高校招生改革的市民有＝10000人，因为年龄在范围[20,30)岁的有1200人，则m＝＝0.012.‎ ‎10．(2017·济南一模)2017年2月20日，摩拜单车在某市推出“做文明骑士，周一摩拜单车免费骑”活动，为了解单车使用情况，记者随机抽取了五个投放区域，统计了半小时内被骑走的单车数量，绘制了如图所示的茎叶图，则该组数据的方差为__4___.‎ ‎[解析]　由茎叶图得，该组数据分别是87,89,90,91,93，平均数是 ＝ 90，故方差s2＝×(9＋1＋0＋1＋9)＝4.‎ 三、解答题 ‎11．(2019·安徽省安师大附中)某校高三期中考试后，数学教师对本次全部数学成绩按120进行分层抽样，随机抽取了20名学生的成绩为样本，成绩用茎叶图记录如图所示，但部分数据不小心丢失，同时得到如下表所示的频率分布表：‎ 分数段(分)‎ ‎[50,70)‎ ‎[70,90)‎ ‎[90,110)‎ ‎[110,130)‎ ‎[130,150)‎ 总计 频数 b 频率 a ‎0.25‎ ‎(1)求表中a，b的值及成绩在[90,110)范围内的样本数，并估计这次考试全校高三学生数学成绩的及格率(成绩在[90,150]内为及格)；‎ ‎(2)若从茎叶图中成绩在[100,130)范围内的样本中一次性抽取两个，求取出两个样本数字之差的绝对值小于或等于10的概率．‎ ‎[解析]　(1)由茎叶图知成绩在[50,70)范围内的有2人，在[110,130)范围内的有3人，‎ ‎∴a＝0.1，b＝3.‎ ‎∵成绩在[90,110)范围内的频率为1－0.1－0.25－0.25＝0.4，‎ ‎∴成绩在[90,110)范围内的样本数为20×0.4＝8，‎ 估计这次考试全校高三学生数学成绩的及格率为 p＝1－0.1－0.25＝0.65.‎ ‎(2)一切可能的结果组成的基本事件空间为 Ω＝{(100,102)，(100,106)，(100,106)，(100,116)，(100,118)，(100,128)，(102,106)，(102,106)，(102,116)，(102,118)，(102,128)，(106,106)，(106,116)，(106,118)，(106,128)，(106,116)，(106,118)，(106,128)，(116,118)，(116,128)，(118,128)}，共21个基本事件，‎ 设事件A＝“取出的两个样本中数字之差小于等于10”，‎ 则A＝{(100,102)，(100,106)，(100,106)，(102,106)，(102,106)，(106,106)，(106,116)，(106,116)，(116,118)，(118,128)}，共10个基本事件，‎ ‎∴P(A)＝.‎ ‎12．(2019·四川模拟)我国是世界上严重缺水的国家，某市为了制定合理的节水方案，对居民用水情况进行了调查，通过抽样，获得了某年100位居民每人的月均用水量(单位：吨)，将数据按照[0,0.5)，[0.5,1)，…，[4,4.5]分成9组，制成了如图所示的频率分布直方图．‎ ‎(1)求直方图中a的值；‎ ‎(2)设该市有30万居民，估计全市居民中月均用水量不低于3吨的人数，说明理由；‎ ‎(3)估计居民月均用水量的中位数．‎ ‎[解析]　(1)由频率分布直方图，可知：月均用水量在[0,0.5)的频率为0.08×0.5＝0.04.‎ 同理，在[0.5,1)，[1.5,2)，[2,2.5)，[3,3.5)，[3.5,4)，[4,4.5)组的频率分别为0.08,0.21,0.25,0.06,0.04,0.02.由1－ (0.04＋0.08＋0.21＋0.25＋0.06＋0.04＋0.02)＝0.5×a＋0.5×a，‎ 解得a＝0. 30.‎ ‎(2)由(1)，100位居民月均用水量不低于3吨的频率为0.06＋0.04＋0.02＝0.12.‎ 由以上样本的频率分布，可以估计30万居民中月均用水量不低于3吨的人数为300000×0.12＝ 36000.‎ ‎(3)设中位数为x吨．‎ 因为前5组的频率之和为0.04＋0.08＋0.15＋0.21＋0.25＝0.73>0.5，‎ 而前4组的频率之和为0.04＋0.08＋0.15＋0.21＝0.48<0.5，‎ 所以2≤x<2.5.‎ 由0.50×(x－2)＝0.5－0.48，解得x＝2.04.‎ 故可估计居民月均用水量的中位数为2.04吨．‎ B组能力提升 ‎1．(2019·昆明模拟)一组数据共有7个数，其中有10,2,5,2,4,2，还有一个数没记清，已知这组数的平均数、中位数、众数依次成等差数列，则这个数的所有可能值的和为(　D　)‎ A．3　　　 B．17　　　‎ C．－11　　　 D．9‎ ‎[解析]　设没记清的这个数是x，则这7个数的平均数为，众数为2，若x≤2，则中位数为2，此时x＝－11；若20，b>0，所以a＋b＝4，则＋＝(a＋b)(＋)＝(1＋4＋＋)≥(1＋4＋2)＝×9＝，故选C．‎ ‎5．(2019·江西新余)“一带一路”是“丝绸之路经济带”和“21世纪海上丝绸之路”的简称．某市为了了解人们对“一带一路”的认知程度，对不同年龄和不同职业的人举办了一次“一带一路”知识竞赛，满分为100分(90分及以上为认知程度高)．现从参赛者中抽取了x人，按年龄分成5组，第一组：[20,25)，第二组：[25,30)，第三组：[30,35)，第四组：[35,40)，第五组：[40,45)，得到如图所示的频率分布直方图，已知第一组有6人．‎ ‎(1)求x；‎ ‎(2)求抽取的x人的年龄的中位数(结果保留整数)；‎ ‎(3)从该市大学生、军人、医务人员、工人、个体户五种人中用分层抽样的方法依次抽取6人，42人，36人，24人，12人，分别记为1～5组，从这5个按年龄分的组和5个按职业分的组中每组各选派1人参加知识竞赛，分别代表相应组的成绩，年龄组中1～5组的成绩分别为93,96,97,94,90，职业组中1～5组的成绩分别为93,98,94,95,90.‎ ‎①分别求5个年龄组和5个职业组成绩的平均数和方差；‎ ‎②以上述数据为依据，评价5个年龄组和5个职业组相对“一带一路”的认知程度，并谈谈你的感想．‎ ‎[解析]　(1)根据频率分布直方图得第一组的频率为0.01×5＝0.05，∴＝0.05，∴x＝120.‎ ‎(2)设中位数为a，则0.01×5＋0.07×5＋(a－30)×0.06＝0.5，‎ ‎∴a＝≈32，则中位数为32.‎ ‎(3)①5个年龄组成绩的平均数＝×(93＋96＋97＋94＋90)＝94，方差为s＝×[(－1)2＋22＋32＋02＋(－4)2]＝6.‎ ‎5个职业组成绩的平均数＝×(93＋98＋94＋95＋90)＝94，方差为s＝×[(－1)2＋42＋02＋12＋(－4)2]＝6.8.‎ ‎②从平均数来看两组的认知程度相同，从方差来看年龄组的认知程度更稳定．感想合理即可．‎