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- 2021-06-15 发布
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第二讲 基本初等函数、函数与方程及函数的应用
考点一 指数函数、对数函数及幂函数
1．指数与对数式的运算公式
2．指数函数、对数函数的图象和性质
指数函数y＝ax(a>0，a≠1)与对数函数y＝logax(a>0，a≠1)的图象和性质，分01两种情况：当a>1时，两函数在定义域内都为增函数，当0b>c B．b>a>c
C．c>b>a D．c>a>b
[解析] 由已知得c＝log23，∵log23>log2e>1，b＝ln2<1，∴c>a>b，故选D.
[答案] D
3．(2018·山东潍坊一模)若函数f(x)＝ax－a－x(a>0且a≠1)在R上为减函数，则函数y＝loga(|x|－1)的图象可以是( )
[解析] 因函数f(x)＝ax－a－x(a>0且a≠1)在R上为减函数，故01或x<－1}，x>1时函数y＝loga(|x|－1)的图象可以通过函数y＝logax的图象向右平移1个单位得到，故选D.
[答案] D
4．(2018·江西九江七校联考)若函数f(x)＝log2(x2－ax－3a)在区间(－∞，－2]上是减函数，则实数a的取值范围是________．
[解析] 由题意得x2－ax－3a>0在区间(－∞，－2]上恒成立且函数y＝x2－ax－3a在(－∞，－2]上递减，则≥－2且(－2)2－(－2)a－3a>0，解得实数a的取值范围是[－4,4)．
[答案] [－4,4)
[快速审题] 看到指数式、对数式，想到指数、对数的运算性质；看到指数函数、对数函数、幂函数，想到它们的图象和性质．
基本初等函数的图象与性质的应用技巧
(1)对数函数与指数函数的单调性都取决于其底数的取值，当底数a的值不确定时，要注意分a>1和01时，两函数在定义域内都为增函数；当00和α<0两种情况的不同．
考点二 函数的零点
1．函数的零点及其与方程根的关系
对于函数f(x)，使f(x)＝0的实数x叫做函数f(x)的零点．函数F(x)＝f(x)－g(x)的零点就是方程f(x)＝g(x)的根，即函数y＝f(x)的图象与函数y＝g(x)的图象交点的横坐标．
2．零点存在性定理
如果函数y＝f(x)在区间[a，b]上的图象是连续不断的一条曲线，并且有f(a)·f(b)<0，那么函数y＝f(x)在区间(a，b)内有零点，即存在c∈(a，b)，使得f(c)＝0，这个c也就是方程f(x)＝0的根．角
[解析] 当x≤0时，
由f(x)＝0，即x2＋2017x－2018＝0，
得(x－1)(x＋2018)＝0，
解得x＝1(舍去)或x＝－2018；
当x>0时，设g(x)＝x－2，h(x)＝lnx，如图，分别作出两个函数的图象，
由图可知，两函数图象有两个交点，所以函数f(x)在x>0时有两个零点．
综上，函数f(x)有3个零点，故选C.
[答案] C
[快速审题] 看到函数的零点，想到求方程的根或转化为函数图象的交点．
[解析] 在平面直角坐标系中作出函数y＝f(x)的图象，如图，而函数y＝mx－恒过定点，设过点与函数y＝lnx的图象相切的直线为l1，切点坐标为
(x0，lnx0)．因为y＝lnx的导函数y′＝，所以图中y＝lnx的切线l1的斜率为k＝，则＝，解得x0＝，所以k＝.又图中l2的斜率为，故当方程f(x)＝mx－恰有四个不相等的实数根时，实数m的取值范围是.
[答案]
[探究追问] 将例2中“方程f(x)＝mx－恰有四个不相等的实数根”改为“方程f(x)＝m恰有三个不相等的实数根”，结果如何？
[解析] 在平面直角坐标系中作出函数y＝f(x)的图象，如图．函数y＝m恒过定点，设过点与函数y＝1－x2的图象相切的直线为l1，设切点坐标为(x0,1－x)，因为y＝1－x2(x≤1)的导函数y′＝－2x0，所以切线l1斜率k＝－2x0，则－2x0＝，解得x0＝或x0＝2(舍)．所以直线l1的斜率为－1，结合图可知，当方程f(x)＝m恰有三个不相等的实根时，实数m的取值范围是(－1,0)．
[答案] (－1,0)
(1)判断函数零点个数的3种方法
(2)利用函数零点的情况求参数值(或范围)的3种方法
[对点训练]
1．[角度1]已知函数f(x)＝－log2x.在下列区间中，包含f(x)零点的区间是
( )
A．(0,1) B．(1,2)
C．(2,4) D．(4，＋∞)
[解析] 易知f(x)是单调递减函数．∵f(1)＝6－log21＝6>0，f(2)＝3－log22＝2>0，f(4)＝－log24＝－2<0，∴选项中包含f(x)零点的区间是(2,4)．
[答案] C
[解析] f(x)＝k有三个不同的实数根，即函数y＝f(x)的图象与函数y＝k的图象有三个交点，如图所示．
当－10，函数f(x)＝
若关于x的方程f(x)＝ax恰有2个互异的实数解，则a的取值范围是________．
[解析] 设g(x)＝f(x)－ax＝
方程f(x)＝ax恰有2个互异的实数解即函数y＝g(x)有两个零点，即y＝g(x)的图象与x轴有2个交点，满足条件的y＝g(x)的图象有以下两种情况：
情况一：
则∴40时，F(x)＝x[x＋(a－1)]，
∵函数F(x)有2个零点，∴1－a>0，∴a<1，故选C.
[答案] C
5．(2018·湖南十三校二模)函数f(x)＝lnx＋ex(e为自然对数的底数)的零点所在的区间是( )
A. B.
C．(1，e) D．(e，＋∞)
[解析]
[答案] A
6．(2018·河南郑州模拟)已知函数f(x)＝x2＋m与函数g(x)＝－ln－3x的图象上至少存在一对关于x轴对称的点，则实数m的取值范围是( )
A. B.
C. D．[2－ln2,2]
[解析] 由已知，得方程x2＋m＝ln＋3x，∴m＝－lnx＋3x－x2在上有解．
设h(x)＝－lnx＋3x－x2，
求导，得h′(x)＝－＋3－2x＝－
＝－
∵≤x≤2，
令h′(x)＝0，解得x＝或x＝1.
当h′(x)>0时，0时，f(2)＝4a＋4a＋1＝8a＋1，f(－3)＝3a＋1.∴f(2)>f(－3)，即f(x)max＝f(2)＝8a＋1＝4，∴a＝；当a<0时，f(x)max＝f(－1)＝a－2a＋1＝－a＋1＝4，∴a＝－3.综上所述，a＝或a＝－3.
[答案] 或－3
9．某租赁公司拥有汽车100辆．当每辆车的月租金为3000元时，可全部租出．当每辆车的月租金每增加50元时，未出租的车将会增加一辆．租出的车每辆每月需要维护费150元，未租出的车每辆每月需要维护费50元，要使租赁公司的月收益最大，则每辆车的月租金应定为________元．
[解析] 设每辆车的月租金为x(x>3000)元，则租赁公司月收益为y＝·(x－150)－×50，整理得y＝－＋162x－21000＝－(x－4050)2＋307050.
所以当x＝4050时，y取最大值为307050，即当每辆车的月租金定为4050元时，租赁公司的月收益最大为307050元．
[答案] 4050
三、解答题
10．(2018·唐山一中期末)已知函数f(x)＝ex－e－x(x∈R，且e为自然对数的底数)．
(1)判断函数f(x)的单调性与奇偶性；
(2)是否存在实数t，使不等式f(x－t)＋f(x2－t2)≥0对一切x∈R都成立？若存在，求出t；若不存在，请说明理由．
[解] (1)∵f(x)＝ex－x，
∴f′(x)＝ex＋x，
∴f′(x)>0对任意x∈R都成立，
∴f(x)在R上是增函数．
又∵f(x)的定义域为R，且f(－x)＝e－x－ex＝－f(x)，
∴f(x)是奇函数．
(2)存在．由(1)知f(x)在R上是增函数和奇函数，则
f(x－t)＋f(x2－t2)≥0对一切x∈R都成立，
⇔f(x2－t2)≥f(t－x)对一切x∈R都成立，
⇔x2－t2≥t－x对一切x∈R都成立，
⇔t2＋t≤x2＋x＝2－对一切x∈R都成立，
⇔t2＋t≤(x2＋x)min＝－⇔t2＋t＋
＝2≤0，
又2≥0，∴2＝0，
∴t＝－.
∴存在t＝－，使不等式f(x－t)＋f(x2－t2)≥0对一切x∈R都成立．
11．(2018·江西三校联考)食品安全问题越来越引起人们的重视，农药、化肥的滥用给人民群众的健康带来一定的危害，为了给消费者带来放心的蔬菜，某农村合作社每年投入200万元，搭建甲、乙两个无公害蔬菜大棚，每个大棚至少要投入20万元，其中甲大棚种西红柿，乙大棚种黄瓜，根据以往的种菜经验，发现种西红柿的年收入P(单位：万元)、种黄瓜的年收入Q(单位：万元)与投入a(单位：万元)满足P＝80＋4，Q＝a＋120，设甲大棚的投入为x(单位：万元)，每年两个大棚的总收益为f(x)(单位：万元)．
(1)求f(50)的值；
(2)试问如何安排甲、乙两个大棚的投入，才能使总收益f(x)最大？
[解] (1)依题意f(x)＝80＋4＋(200－x)＋120＝－x＋4＋250，其中
所以20≤x≤180.
故f(50)＝－×50＋4＋250＝277.5.
(2)由(1)知f(x)＝－x＋4＋250(20≤x≤180)，
令＝t，则2≤t≤6，
y＝－t2＋4t＋250＝－(t－8)2＋282，
因此当t＝8时，函数取得最大值282，此时x＝128，
故投入甲大棚128万元，乙大棚72万元时，总收益最大，最大总收益是282万元．
12．(2018·江西吉安一中摸底)已知函数f(x)＝
若关于x的方程[f(x)]2＋f(x)＋t＝0有三个不同的实数根，求实数t的取值范围．
[解] 原问题等价于[f(x)]2＋f(x)＝－t有三个不同的实数根，
即直线y＝－t与y＝[f(x)]2＋f(x)的图象有三个不同的交点．
当x≥0时，y＝[f(x)]2＋f(x)＝e2x＋ex为增函数，在x＝0处取得最小值2，其图象与直线y＝－t最多只有一个交点．
当x<0时，y＝[f(x)]2＋f(x)＝[lg(－x)]2＋lg(－x)，根据复合函数的单调性，其在(－∞，0)上先减后增，最小值为－.
所以要使函数的图象有三个不同的交点，只需－t≥2，解得t≤－2.
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