2019届二轮复习规范答题示例3　数列的通项与求和问题学案（全国通用） 2页

规范答题示例3　数列的通项与求和问题 典例3　(12分)下表是一个由n2个正数组成的数表，用aij表示第i行第j个数(i，j∈N*)．已知数表中第一列各数从上到下依次构成等差数列，每一行各数从左到右依次构成等比数列，且公比都相等．且a11＝1，a31＋a61＝9，a35＝48.‎ a11　a12　a13　…　a1n a21　a22　a23　…　a2n a31　a32　a33　…　a3n ‎　　　　　　　　　　　　　　　…　…　 …　…　…‎ an1　an2　an3　…　ann ‎(1)求an1和a4n；‎ ‎(2)设bn＝＋(－1)n·an1(n∈N*)，求数列{bn}的前n项和Sn.‎ 审题路线图　―→ 规 范 解 答·分 步 得 分 构 建 答 题 模 板 解　(1)设第1列依次组成的等差数列的公差为d，设每一行依次组成的等比数列的公比为q.依题意a31＋a61＝(1＋2d)＋(1＋5d)＝9，∴d＝1，‎ ‎∴an1＝a11＋(n－1)d＝1＋(n－1)×1＝n(n∈N*)，3分 ‎∵a31＝a11＋2d＝3，∴a35＝a31·q4＝3q4＝48，‎ ‎∵q>0，∴q＝2，又∵a41＝4，‎ ‎∴a4n＝a41qn－1＝4×2n－1＝2n＋1(n∈N*).6分 ‎(2)∵bn＝＋(－1)nan1＝＋(－1)n·n7分 ‎＝＋(－1)n·n＝－＋(－1)n·n，‎ ‎∴Sn＝＋＋＋…＋＋[－1＋2－3＋4－5＋…＋(－1)nn]，10分 当n为偶数时，Sn＝1－＋，11分 当n为奇数时，Sn＝1－＋－n ‎＝1－－＝－.12分 第一步　‎ 找关系：根据已知条件确定数列的项之间的关系.‎ 第二步　‎ 求通项：根据等差或等比数列的通项公式或利用累加、累乘法求数列的通项公式.‎ 第三步　‎ 定方法：根据数列表达式的结构特征确定求和方法(常用的有公式法、裂项相消法、错位相减法、分组法等).‎ 第四步　‎ 写步骤.‎ 第五步　‎ 再反思：检查求和过程中各项的符号有无错误，用特殊项估算结果.‎ 评分细则　(1)求出d给1分，求an1时写出公式结果错误给1分；求q时没写q>0扣1分；‎ ‎(2)bn写出正确结果给1分，正确进行裂项再给1分；‎ ‎(3)缺少对bn的变形直接计算Sn，只要结论正确不扣分；‎ ‎(4)当n为奇数时，求Sn中间过程缺一步不扣分．‎ 跟踪演练3　(2018·全国Ⅰ)已知数列{an}满足a1＝1，nan＋1＝2(n＋1)an.设bn＝.‎ ‎(1)求b1，b2，b3；‎ ‎(2)判断数列{bn}是否为等比数列，并说明理由；‎ ‎(3)求{an}的通项公式．‎ 解　(1)由条件可得an＋1＝an，‎ 将n＝1代入得，a2＝4a1，而a1＝1，所以a2＝4.‎ 将n＝2代入得，a3＝3a2，所以a3＝12.‎ 从而b1＝1，b2＝2，b3＝4.‎ ‎(2){bn}是首项为1，公比为2的等比数列．‎ 由条件可得＝，即bn＋1＝2bn，‎ 又b1＝1，所以{bn}是首项为1，公比为2的等比数列．‎ ‎(3)由(2)可得＝2n－1，‎ 所以an＝n·2n－1.‎