2019-2020学年湖南省郴州市湘南中学高一上学期期中数学试题（解析版） 11页

‎2019-2020学年湖南省郴州市湘南中学高一上学期期中数学试题 一、单选题 ‎1．设集合M={1，2，4，6，8},N={1，2，3，5，6，7},则MN中元素的个数为( )‎ A．2 B．3 C．5 D．7‎ ‎【答案】B ‎【解析】试题分析：.故选B.‎ ‎【考点】集合的运算.‎ ‎2．如图所示，可表示函数图象的是（ ）‎ A．① B．②③④ C．①③④ D．②‎ ‎【答案】C ‎【解析】利用函数的定义分别对四个图象进行判断即可.‎ ‎【详解】‎ 由函数的定义可知，对定义域内的任何一个变量x，存在唯一的一个变量y与x对应.‎ 则由定义可知①③④，满足函数的定义，但②不满足，因为图象②中，当x>0时，一个x对应着两个y，所以不满足函数取值的唯一性，所以能表示为函数图象的是①③④.‎ 故选：C.‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查了函数的定义以及函数图象的判断，要求学生了解：一对一，多对一是函数关系，一对多不是函数关系，属基础题.‎ ‎3．函数的定义域为（　　）‎ A．[，3）∪（3，+∞） B．（-∞，3）∪（3，+∞）‎ C．[，+∞） D．（3，+∞）‎ ‎【答案】A ‎【解析】根据幂函数的定义域与分母不为零列不等式组求解即可.‎ ‎【详解】‎ 因为函数，‎ 解得且；‎ 函数的定义域为, 故选A．‎ ‎【点睛】‎ 定义域的三种类型及求法：(1)已知函数的解析式，则构造使解析式有意义的不等式(组)求解；(2) 对实际问题：由实际意义及使解析式有意义构成的不等式(组)求解；(3) 若已知函数的定义域为，则函数的定义域由不等式求出.‎ ‎4．设a=log73，，c=30.7，则a，b，c的大小关系是（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】D ‎【解析】，，得解。‎ ‎【详解】‎ ‎，，，所以，故选D ‎【点睛】‎ 比较不同数的大小，找中间量作比较是一种常见的方法。‎ ‎5．幂函数在时是减函数，则实数m的值为　　‎ A．2或 B． C．2 D．或1‎ ‎【答案】B ‎【解析】由题意得，选B.‎ 点睛：已知函数的单调性确定参数的值或范围要注意以下两点：(1)若函数在区间上单调，则该函数在此区间的任意子区间上也是单调的；(2)分段函数的单调性，除注意各段的单调性外，还要注意衔接点的取值；（3）复合函数的单调性，不仅要注意内外函数单调性对应关系，而且要注意内外函数对应自变量取值范围.‎ ‎6．已知集合A={x|x<1}，B={x|}，则 A． B．‎ C． D．‎ ‎【答案】A ‎【解析】∵集合 ‎∴‎ ‎∵集合 ‎∴，‎ 故选A ‎7．下列四个函数中，在上为增函数的是（ ）．‎ A． B．‎ C． D．‎ ‎【答案】C ‎【解析】A，B可直接通过一次函数的单调性和二次函数的单调性进行判断；C利用以及平移的思路去判断；D根据的图象的对称性判断.‎ ‎【详解】‎ A．在上是减函数，不符合；‎ B．在上是减函数，在上是增函数，不符合；‎ C．可认为是向左平移一个单位所得，所以在上是增函数，符合；‎ D．图象关于轴对称，且在上是增函数，在上是减函数，不符合；‎ 故选：C.‎ ‎【点睛】‎ ‎（1）一次函数、反比例函数的单调性直接通过的正负判断；‎ ‎（2）二次函数的单调性判断要借助函数的对称轴和开口方向判断；‎ ‎（3）复杂函数的单调性判断还可以通过平移、翻折等变换以及图象进行判断.‎ ‎8．若指数函数在区间上的最大值和最小值之和为，则的值为（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】B ‎【解析】根据指数函数的单调性，知道其在上的最大值和最小值之和即为，代入即可解出答案。‎ ‎【详解】‎ 因为指数函数在区间上单调，且，‎ 即 解得，又 ‎ 所以 故选B ‎【点睛】‎ 本题考查指数函数的单调性，与指数函数的定义，需要注意的是解出的两个值中根据指数函数的定义一定要把负的舍去。属于基础题。‎ ‎9．已知偶函数在区间上单调递增，则满足的的取值范围为（）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】A ‎【解析】根据单调性，将函数值的大小关系转变为自变量间的大小关系，注意偶函数对应的函数的对称情况.‎ ‎【详解】‎ 因为偶函数是在上递增，则在递减，且；又因为，根据单调性和奇偶性有：，解得：,‎ 故选：A.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查利用函数单调性、奇偶性求解参数范围问题，难度一般.对于这种奇偶性和单调性的综合问题，除了可以直接分析问题，还可以借助图象来分析，也可以高效解决问题.‎ ‎10．已知函数，则方程的根的个数为（ ）‎ A．1 B．2 C．3 D．4‎ ‎【答案】D ‎【解析】画出函数图像,根据函数图像的交点个数即可判断方程零点的个数.‎ ‎【详解】‎ 方法一:函数 画出函数图像如下图所示:‎ 由图像可知时有4个交点.(图中有3个交点,当时,在右侧还有一个交点,所以交点个数一共有4个.)‎ 故选:D 方法二: ‎ 当时,,满足,解得 ‎ 当时, ,满足,解得 所以方程由4个根 故选:D ‎【点睛】‎ 本题考查了方程的根与函数图像的关系,利用图像法分析是常用方法,对于常见函数,也可以求出方程的根,属于基础题.‎ 二、填空题 ‎11． 设全集U=R，集合A={x|x<0），B={x|x>1}，则AU(uB)=_____________.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】 则 ‎ 即答案为 ‎ ‎12．已知f(2x)＝x＋3，若f(a)＝5，则a＝________．‎ ‎【答案】4‎ ‎【解析】令a＝2x，则f（a）＝x+3＝5，从而得出x的值，进而得出a的值．‎ ‎【详解】‎ 令a＝2x，则f（a）＝f（2x）＝x+3＝5，‎ ‎∴x＝2，∴a＝22＝4．‎ 故答案为4．‎ ‎【点睛】‎ 本题考查了函数值的计算，属于基础题．‎ ‎13．已知在上是增函数，且，则使成立的的取值范围是______．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】根据函数为增函数，，则，利用单调性可解.‎ ‎【详解】‎ 函数为增函数，,‎ 则,即，‎ 所以，即；‎ 故答案为：‎ ‎【点睛】‎ 本题考查利用函数单调性解不等式，属于基础题.‎ ‎14．已知函数是奇函数，当时，，则当时，_____‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】设，求出的表达式，再利用奇函数的定义得出函数在上的解析式.‎ ‎【详解】‎ 设，则，‎ 因为当时，，所以，‎ 又因为函数是奇函数，所以，‎ 所以时，，故答案为：.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查求奇函数的解析式，一般利用对称转移法求解，解题时要熟悉这种方法求函数解析式的基本步骤，考查运算求解能力，属于中等题.‎ ‎15．不等式的解集为________．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】不等式可化为：，然后用对数函数的单调性结合函数的定义域可求解.‎ ‎【详解】‎ 由，有，‎ 根据对数函数的单调性有：‎ ‎，即.‎ 故答案为：.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查利用对数函数的单调性解对数不等式，注意对数函数的定义域，属于基础题.‎ 三、解答题 ‎16．已知函数.‎ ‎（1）求函数的定义域；‎ ‎（2）求及的值．‎ ‎【答案】（1）的定义域为；（2）；‎ ‎【解析】试题分析：（1）由，且即可得定义域；‎ ‎（2）将和6代入解析式即可得值.‎ 试题解析：‎ ‎（1）解：依题意，，且，‎ 故，且，即函数的定义域为.‎ ‎（2），‎ ‎.‎ ‎17．已知f（x）是二次函数，且f（-1）=4，f（0）=1，f（3）=4．‎ ‎（1）求f（x）的解析式．‎ ‎（2）若x∈[-1，5]，求函数f（x）的值域．‎ ‎【答案】（1）‎ ‎（2）‎ ‎【解析】（1）设二次函数 ，将三个点代入解方程组即可。‎ ‎（2）判断函数在区间上的单调性，即可求出其值域。‎ ‎【详解】‎ ‎（1）设二次函数为 ，将三个点代入有 ‎ 解得，‎ 所以函数 ‎（2）函数，开口向上，对称轴 ，‎ 即函数在 单调递减，在单调递增 所以，即 ‎【点睛】‎ 本题考查二次函数的解析式，与定区间上的值域，属于基础题。‎ ‎18．（本大题满分12分）已知集合，；‎ ‎（1）若，求；‎ ‎（2）若，求实数的取值范围．‎ ‎【答案】（1）；（2）‎ ‎【解析】试题分析：（1）因为所以很容易求出集合，又已知集合，利用集合的基本运算即可求出;‎ ‎（2）本题考察的是集合的运算，，所以需要考虑和不为空集两种情况，再结合集合的基本运算即可求出实数的取值范围．‎ 试题解析：（1） ‎ ‎（2） ‎ 当时， ‎ 当时， ‎ 综上所述： ‎ ‎【考点】集合的运算 ‎【易错点睛】凡是遇到集合的运算（并、交、补）问题，应注意对集合元素属性的识别，如集合是函数的值域，是数集，求出值域可以使之简化；集合是点集，表示函数上所有点的集合．集合表示使函数解析式有意义的的取值范围，是定义域；所以在做题时要看清楚间隔号之前表示的是什么含义．‎ ‎19．已知函数．‎ ‎（1）证明：是奇函数；‎ ‎（2）用函数单调性的定义证明：在上是增函数．‎ ‎【答案】(1) 证明见解析 (2)证明见解析 ‎【解析】(1)由奇函数的定义，求出，然后证明即可. (2)用定义法证明函数单调性的步骤为：任取，作差，变形，判号，下结论.‎ ‎【详解】‎ 证明：（1）函数的定义域为，‎ ‎，‎ ‎∴是奇函数；‎ ‎（2）设，则：‎ ‎，‎ ‎∵；‎ ‎∴，，‎ ‎∴，‎ ‎∴，‎ ‎∴在上是增函数．‎ ‎【点睛】‎ 本题考查函数奇偶性和单调性的证明，属于基础题.‎ ‎20．已知且满足不等式.‎ ‎(1)求实数a的取值范围；‎ ‎(2)在(1)的基础上求不等式的解集；‎ ‎(3)若函数在区间上有最小值为，求实数a的值.‎ ‎【答案】（1）；（2）；（3）‎ ‎【解析】（1）借助指数函数的单调性解不等式即可得出范围；‎ ‎（2）由（1）的结论判断出对数函数的单调性，再根据单调性解不等式；‎ ‎（3）由对数函数的单调性得函数的最值，再求取值．‎ ‎【详解】‎ ‎（1）由已知得：且，‎ 所以，即：a的范围是；‎ ‎（2）因为，所以，由不等式得：‎ 解得：，‎ ‎∴不等式的解集是；‎ ‎（3）因为，所以函数在区间上递减，‎ 当时，y有最小值，则．‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查利用函数的单调性解不等式，属于基础题．‎