【数学】2021届一轮复习人教A版函数模型及应用作业 4页

第9节 函数模型及应用 ‎1．(2019·玉溪市模拟)如图，下面的四个容器高度都相同，将水从容器顶部一个孔中以相同的速度注入其中，注满为止．用下面对应的图象表示该容器中水面的高度h和时间t之间的关系，其中不正确的有(　　)‎ A．1个　　 B．2个　　　C．3个　　　D．4个 解析：A　[将水从容器顶部一个孔中以相同的速度注入其中，容器中水面的高度h和时间t之间的关系可以从高度随时间的变化率上反映出来，图①应该是匀速的，故下面的图象不正确，②中的变化率是越来越慢的，正确；③中的变化规律是逐渐变慢再变快，正确；④中的变化规律是逐渐变快再变慢，也正确，故只有①是错误的．故选A.]‎ ‎2．在某个物理实验中，测量得变量x和变量y的几组数据，如下表：‎ x ‎0.50‎ ‎0.99‎ ‎2.01‎ ‎3.98‎ y ‎－0.99‎ ‎0.01‎ ‎0.98‎ ‎2.00‎ 则对x，y最适合的拟合函数是(　　)‎ A．y＝2x B．y＝x2－1‎ C．y＝2x－2 D．y＝log2x 解析：D　[根据x＝0.50，y＝－0.99，代入计算，可以排除A；根据x＝2.01，y＝0.98，代入计算，可以排除B、C；将各数据代入函数y＝log2x，可知满足题意．故选D.]‎ ‎3．(2019·绵阳市模拟)某单位为鼓励职工节约用水，作出如下规定：每位职工每月用水不超过10立方米的，按每立方米3元收费；用水超过10立方米的，超过的部分按每立方米5元收费．某职工某月缴水费55元，则该职工这个月实际用水为(　　)‎ A．13立方米 B．14立方米 C．15立方米 D．16立方米 解析：C　[设该职工这个月实际用水为x立方米，‎ ‎∵每位职工每月用水不超过‎10立方米的，按每立方米3元收费，‎ ‎∴用水不超过‎10立方米的缴水费不超过30元．‎ ‎∵该职工这个月缴水费55元，‎ ‎∴该职工这个月实际用水超过‎10立方米，超过部分的水费＝(x－10)×5，∴由题意可列出一元一次方程式：30＋(x－10)×5＝55，解得x＝15.]‎ ‎4．当生物死亡后，其体内原有的碳14的含量大约每经过5 730年衰减为原来的一半，这个时间称为“半衰期”．当死亡生物体内的碳14含量不足死亡前的千分之一时，用一般的放射性探测器就测不到了．若某死亡生物体内的碳14用一般的放射性探测器探测不到，则它经过的“半衰期”个数至少是(　　 )‎ A．8 B．‎9 ‎‎ C．10 D．11‎ 解析：C　[设死亡生物体内原有的碳14含量为1，则经过n(n∈N*)个“半衰期”后的含量为n，由n＜得n≥10.所以，若探测不到碳14含量，则至少经过了10个“半衰期”．故选C.]‎ ‎5．某种新药服用x小时后血液中的残留量为y毫克，如图所示为函数y＝f(x)的图象，当血液中药物残留量不小于240毫克时，治疗有效．设某人上午8：00第一次服药，为保证疗效，则第二次服药最迟的时间应为(　　)‎ A．上午10：00 B．中午12：00‎ C．下午4：00 D．下午6：00‎ 解析：C　[当x∈[0,4]时，设y＝k1x，把(4,320)代入，‎ 得k1＝80，∴y＝80x.当x∈[4,20]时，设y＝k2x＋b.‎ 把(4,320)，(20,0)代入得 解得∴y＝400－20x.‎ ‎∴y＝f(x)＝由y≥240，‎ 得或∴3≤x≤8.‎ 故第二次服药最迟应在当日下午4：00.故选C.]‎ ‎6．某市出租车收费标准如下：起步价为8元，起步里程为‎3 km(不超过‎3 km按起步价付费)；超过‎3 km但不超过‎8 km时，超过部分按每千米2.15元收费；超过‎8 km时，超过部分按每千米2.85元收费，另每次乘坐需付燃油附加费1元．现某人乘坐一次出租车付费22.6元，则此次出租车行驶了________km.‎ 解析：设出租车行驶x km时，付费y元，‎ 则y＝ 由y＝22.6，解得x＝9.‎ 答案：9‎ ‎7．一个容器装有细沙a cm3，细沙从容器底下一个细微的小孔慢慢地匀速漏出，t min后剩余的细沙量为y＝ae－bt(cm3)，经过8‎ ‎ min后发现容器内还有一半的沙子，则再经过________min，容器中的沙子只有开始时的八分之一．‎ 解析：依题意有a·e－b×8＝a，∴b＝－，‎ ‎∴y＝a·e－·t 若容器中只有开始时的八分之一，‎ 则有a·e－·t＝a，解得t＝24，‎ 所以再经过的时间为24－8＝16 min.‎ 答案：16‎ ‎8．(2019·东城区二模)某种物质在时刻t (min)的浓度M (mg/L)与t的函数关系为M(t)＝art＋24(a，r为常数)．在t＝0 min和t＝1 min测得该物质的浓度分别为124 mg/L和64 mg/L，那么在t＝4 min时，该物质的浓度为________mg/L；若该物质的浓度小于24.001 mg/L，则最小的整数t的值为________．(参考数据：lg 2≈0.3010)‎ 解析：根据条件：ar0＋24＝124，ar＋24＝64，‎ ‎∴a＝100，r＝.∴M(t)＝100t＋24，‎ ‎∴M(4)＝1004＋24＝26.56.‎ 由100t＋24<24.001得t<(0.1)5，‎ ‎∴lg t1，BC＝2x，又AB＝y，AC＝y－1，‎ 在△ABC中，由余弦定理得，(y－1)2＝y2＋4x2－2y·2x·cos 60°，‎ 所以y＝(x>1)．‎ ‎(2)M＝30(2y－1)＋40x＝－30＋40x，其中x>1，‎ 设t＝x－1，则t>0，‎ 所以M＝－30＋40(t＋1)＝160t＋＋250≥2＋250＝490，‎ 当且仅当t＝时等号成立，此时x＝.‎ 所以当x＝时，修建中转站和道路的总造价M最低．‎