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- 2021-06-15 发布
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课时作业41 直线、平面平行的判定和性质
[基础达标]
一、选择题
1.已知α∥β,a⊂α,B∈β,则在β内过点B的所有直线中( )
A.不一定存在与a平行的直线
B.只有两条与a平行的直线
C.存在无数条与a平行的直线
D.存在唯一一条与a平行的直线
解析:因为a与点B确定一个平面,该平面与β的交线即为符合条件的直线.
答案:D
2.[2019·河南开封模拟]在空间中,a,b是两条不同的直线,α,β是两个不同的平面,则下列命题中的真命题是( )
A.若a∥α,b∥α,则a∥b B.若a⊂α,b⊂β,α⊥β,则a⊥b
C.若a∥α,a∥b,则b∥α D.若α∥β,a⊂α,则a∥β
解析:对于A,若a∥α,b∥α,则a,b可能平行,可能相交,可能异面,故A是假命题;对于B,设α∩β=m,若a,b均与m平行,则a∥b,故B是假命题;对于C,b∥α或b在平面α内,故C是假命题;对于D,若α∥β,a⊂α,则a与β没有公共点,则a∥β,故D是真命题.故选D.
答案:D
3.[2019·石家庄模拟]过三棱柱ABC-A1B1C1的任意两条棱的中点作直线,其中与平面ABB1A1平行的直线共有( )
A.4条 B.6条
C.8条 D.12条
解析:
如图,H,G,F,I是相应线段的中点,
故符合条件的直线只能出现在平面HGFI中,
有FI,FG,GH,HI,HF,GI共6条直线,故选B.
答案:B
4.[2019·山东聊城模拟]下列四个正方体中,A,B,C为所在棱的中点,则能得出平面ABC∥平面DEF的是( )
解析:在B中,如图,连接MN,PN,
∵A,B,C为正方体所在棱的中点,
∴AB∥MN,AC∥PN,
∵MN∥DE,PN∥EF,
∴AB∥DE,AC∥EF,
∵AB∩AC=A,DE∩EF=E,
AB、AC⊂平面ABC,DE、EF⊂平面DEF,
∴平面ABC∥平面DEF.故选B.
答案:B
5.[北京卷]设α,β是两个不同的平面,m是直线且m⊂α,“m∥β”是“α∥β”的( )
A.充分而不必要条件
B.必要而不充分条件
C.充分必要条件
D.既不充分也不必要条件
解析:当m∥β时,过m的平面α与β可能平行也可能相交,因而m∥βα∥β;当α∥β时,α内任一直线与β平行,因为m⊂α,所以m∥β.综上知,“m∥β”是“α∥β”的必要而不充分条件.
答案:B
二、填空题
6.已知平面α∥平面β,P是α,β外一点,过P点的两条直线AC,BD分别交α于A,B,交β于C,D,且PA=6,AC=9,AB
=8,则CD的长为________.
解析:若P在α,β的同侧,由于平面α∥平面β,故AB∥CD,则==,可求得CD=20;若P在α,β之间,则==,可求得CD=4.
答案:20或4
7.[2019·广州高三调研]正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为2,点M为CC1的中点,点N为线段DD1上靠近D1的三等分点,平面BMN交AA1于点Q,则线段AQ的长为________.
解析:如图所示,在线段DD1上靠近点D处取一点T,使得DT=,因为N是线段DD1上靠近D1的三等分点,故D1N=,故NT=2--=1,因为M为CC1的中点,故CM=1,连接TC,由NT∥CM,且CM=NT=1,知四边形CMNT为平行四边形,故CT∥MN,同理在AA1上靠近A处取一点Q′,使得AQ′=,连接BQ′,TQ′,则有BQ′∥CT∥MN,故BQ′与MN共面,即Q′与Q重合,故AQ=.
答案:
8.
[2019·福建泉州模拟]如图,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,O为底面ABCD的中心,P是DD1的中点,设Q是CC1上的点,当点Q________时,平面D1BQ∥平面PAO.
① 与C重合
② 与C1重合
③ 为CC1的三等分点
④ 为CC1的中点
解析:在正方体ABCD-A1B1C1D1中,
∵O为底面ABCD的中心,P是DD1的中点,
∴PO∥BD1,
当点Q为CC1的中点时,
连接PQ,则PQ綊AB,∴四边形ABQP是平行四边形,
∴AP∥BQ,
∵AP∩PO=P,BQ∩BD1=B,
AP、PO⊂平面PAO,BQ、BD1⊂平面D1BQ,
∴平面D1BQ∥平面PAO.故选④.
答案:④
三、解答题
9.
[2019·安徽合肥一中模拟]如图,四棱锥P-ABCD中,E为AD的中点,PE⊥平面ABCD,底面ABCD为梯形,AB∥CD,AB=2DC=2,AC∩BD=F,且△PAD与△ABD均为正三角形,G为△PAD重心.
(1)求证:GF∥平面PDC;
(2)求三棱锥G-PCD的体积.
解析:(1)证明:连接AG交PD于H,连接CH.
由四边形ABCD是梯形,AB∥CD,且AB=2DC,知=,
又G为△PAD的重心,∴=,
在△ACH中,==,
故GF∥HC.
又HC⊂平面PDC,GF⊄平面PDC,
∴GF∥平面PDC.
(2)由AB=2,△PAD,△ABD为正三角形,E为AD中点得PE=3,
由(1)知GF∥平面PDC,又PE⊥平面ABCD,
∴VG-PCD=VF-PCD=VP-CDF=·PE·S△CDF,
由四边形ABCD是梯形,AB∥CD,且AB=2DC=2,△ABD为正三角形,
知DF=BD=,∠CDF=∠ABD=60°,
∴S△CDF=CD·DF·sin∠CDF=,
∴VP-CDF=PE·S△CDF=,
∴三棱锥G-PCD的体积为.
10.
[2019·江西临川二中月考]如图,在矩形ABCD中,AB=1,AD=2,PA⊥平面ABCD,E,F分别为AD,PA的中点,点Q是BC上一个动点.
(1)当Q是BC中点时,求证:平面BEF∥平面PDQ;
(2)当BD⊥FQ时,求的值.
解析:(1)证明:∵E,Q分别是矩形ABCD的对边AD,BC的中点,
∴ED=BQ,ED∥BQ,
∴四边形BEDQ是平行四边形,
∴BE∥DQ.
又BE⊄平面PDQ,DQ⊂平面PDQ,
∴BE∥平面PDQ.
∵F是PA的中点,E是AD的中点,
∴EF∥PD,
∵EF⊄平面PDQ,PD⊂平面PDQ,
∴EF∥平面PDQ,
∵BE∩EF=E,BE、EF⊂平面BEF,
∴平面BEF∥平面PDQ.
(2)连接AQ.
∵PA⊥平面ABCD,BD⊂平面ABCD,
∴PA⊥BD.
∵BD⊥FQ,PA∩FQ=F,PA、FQ⊂平面PAQ,
∴BD⊥平面PAQ,
∵AQ⊂平面PAQ,
∴AQ⊥BD,
在矩形ABCD中,由AQ⊥BD得△AQB∽△DBA,
∴=,
∴AB2=AD·BQ,
又AB=1,AD=2,
∴BQ=,则QC=,
∴=.
[能力挑战]
11.如图,在四棱锥P-ABCD中,PD⊥平面ABCD,底面ABCD为矩形,PD=DC=4,AD=2,E为PC的中点.
(1)求三棱锥A-PDE的体积;
(2)AC边上是否存在一点M,使得PA∥平面EDM?若存在,求出AM的长;若不存在,请说明理由.
解析:(1)因为PD⊥平面ABCD,所以PD⊥AD.
又因为ABCD是矩形,所以AD⊥CD.
因为PD∩CD=D,所以AD⊥平面PCD,
所以AD是三棱锥A-PDE的高.
因为E为PC的中点,且PD=DC=4,
所以S△PDE=S△PDC=×=4.
又AD=2,所以VA-PDE=AD·S△PDE=×2×4=.
(2)取AC中点M,连接EM,DM,
因为E为PC的中点,M是AC的中点,
所以EM∥PA.
又因为EM⊂平面EDM,PA⊄平面EDM,所以PA∥平面EDM.
所以AM=AC=.
即在AC边上存在一点M,使得PA∥平面EDM,AM的长为.