2020届二轮复习不等式选讲学案（全国通用） 20页

不等式选讲 柯西不等式  定理 1 对任意实数 ， ， ， ，有 当且仅当 时，等号成立．  定理 2 设 ， 是两个向量，则 t当且仅当 是零向量，或存在实数 ，使 时，等号成立．不等式 称为二维形式的 柯西不等式，不等式 称为柯西不等式的向量形式．  一般形式的柯西不等式 设 ， ， ， 与 ， ， ， 是两组实数，则有 ，当且仅当 或存在一个实数 ，使 得 时，等号成立． 排序不等式 定理 设 ， 和 ， 都是实数，如果 ， ，那么 ，此式当且仅当 （或 ）时取“ ”号． 定理 （排序不等式）设有两个有序实数组 及 ，则（顺序和） （乱序和） 逆序和 쳌 ． 伯努利不等式 定理（伯努利不等式）任何正整数 ，对任意实数 쳌 ，有 ． 当 或 时，等号成立，而对任意正整数 和任意实数 쳌 ， ，有严格不 等式： ．伯努利不等式可以推广到实数幂：如果 쳌 ，那么若 t 或 ，有 ；若 tt ，有 t ． 精选例题 不等式选讲 1. 已知 为三角形的内角，则函数 sin sin 的值域是 ． 【答案】 【分析】 易知 sin ， sin sin sin sin sin sin sin sin 当且仅当 sin sin sin ， 即 sin 时， 有最小值 ， 所以函数 的值域时 ． 2. 若正数 ， 满足 ，则 的最小值是 ． 【答案】 【分析】 因为 ， ， ，所以 ， 当且仅当 ，即 ， 时，等号成立，故 的最小值是 ． 3. 若不等式 쳌 ʹ 对满足 ʹ 的一切实数 ， ʹ ， 恒成立，则实数 的取值范围是 ． 【答案】 或 t 쳌 【分析】 由柯西不等式，得 ʹ t ʹ ． 由题意，只需 쳌 ，解得 或 t 쳌 ． 4. 若 ൏ ൏ ，则函数 ʹ 쳌 的最大值是 ，此时 ． 【答案】 ； 【分析】 因为 ൏ ൏ ， 所以 ʹ 쳌 쳌 t 쳌 当且仅当 쳌 ，即 ， 函数 ʹ 쳌 取最大值 ． 5. 设 ， ， ，若 ，则 ． 【答案】 【分析】 因为 ，所以 h 等号成立的条件是 ． 6. 设 ʹ ，则函数 ʹ 的最小值为 ． 【答案】 7. 已知 ，且 ，则 min ， max ． 【答案】 ； 【分析】 设 ，题意即求 的取值范围． 因为 ， 所以 쳌 쳌 ， 所以 tt ． 事实上，可以取 ， 符合题意， 所以 的最小值为 ． 可以取 ， 符合题意， 所以 的最大值为 ． 8. 已知 ʹ ，且满足 ʹ ，则 ʹ 的最大值为 ． 【答案】 9. 若实数 ， ， 满足 ，则 的最大值为 ． 【答案】 【分析】 由柯西不等式得 t ，所以 쳌 t t ，所以 的最大值为 ． 10. 边长为 ， ， 的三边，其面积为 ，外接圆半径为 ，若 ， ，则 与 的大小关系是 ． 【答案】 ൏ 【分析】 ，即 ， ， ， 又 ， t ． 等号成立时， ，但此时 ，矛盾． 故等号不成立，即 ൏ ． 11. 已知实数 ʹ 满足 ʹ ，且 ʹ ，求 ʹ 的最小值． 【解】 ʹ ʹ ʹ ʹ ʹ ʹ ʹ 当且仅当 ʹ ʹ ， 即 ， ʹ 时，等号成立， 所以当 ， ʹ 时， ʹ 取得最小值 ． 12. 已知圆锥的底面半径为 ，高为 ，当圆锥的内接圆柱的高 为何值时，圆柱的体积最大， 并求出这个最大的体积． 【解】 设圆柱的底面半径为 ．如图所示，由相似三角形的性质可得 쳌 ， 因为 쳌 ， 所以 圆柱 π π 쳌 ൏ ൏ ． 又 π 쳌 π 쳌 쳌 t π π h当且仅当 쳌 쳌 ，即 时，等号成立， 所以当 时， 圆柱 取得最大值 π ． 13. 已知 ， ， ，求证： ． 【解】 构造两组数： ， ， ； ， ， ． 由柯西不等式，得 ，即 ， 所以 ． 当且仅当 时，等号成立． 14. 已知 ，且 ，求证： ． 【解】 原命题即已知 ，且 ，证明： h先想办法去掉根号． 因为 t ，所以 t ，于是 原不等式 而根据均值不等式，上述不等式显然成立，于是原命题得证． 15. 是 香䁨 内一点， ， ʹ ， 是 到三边 ， ， 的距离， 是 香䁨 外接圆半径，证 明： ʹ t ． 【解】 由柯西不等式，得 ʹ ʹ t ʹ ， 设 为 香䁨 的面积，则 ʹ ，所以 ʹ t t 当且仅当 香䁨 是正三角形时，等号成立． 所以原不等式成立． 16. 设 ， ， ， 是正实数，且满足 ൏ ．证明： 쳌 쳌 쳌 쳌 t ． 【解】 设 쳌 ，则 h原不等式 쳌 쳌 쳌 由均值不等式可得 쳌 … 쳌 h 将以上 个式子相乘即得题中欲证不等式． 17. 已知关于 的不等式 쳌 t 对 恒成立，求实数 的取值范围． 必做题 【解】 由于 ，所以 ，当且仅当 ，即 时取得等号，所以 쳌 t ，解得 쳌 tt ，所以实数 的取 值范围为 쳌 ． 18. 若 ʹ ，求 ʹ 的最小值及最小值点． 【解】 由柯西不等式 ʹ ʹ ，得 ʹ ， 所以 ʹ ． 当且仅当 ʹ 时，等号成立． 为求最小值点，需解方程组 ʹ ʹ ʹ 因此，当 ， ʹ 时， ʹ 取得最小值， 最小值为 ，最小值点为 ． 19. 设 ，求证： ൏ ． 【解】 根据柯西不等式，有 ൏ ， 于是 ൏ ． 20. 求函数 쳌 쳌 的最大值． 【解】 由函数解析式知 的定义域为 ，且 ． 又 变形得 쳌 쳌 取 ， ， 쳌 ， 쳌 ． 所以由公式可得到 쳌 쳌 t 쳌 쳌 h再由 ，得 쳌 쳌 ，解得 符合 tt ，所以当 时， 取得最大值 ． 柯西不等式 1. 函数 ʹ 쳌 쳌 的最大值为 ． 【答案】 【分析】 ʹ 쳌 쳌 t 쳌 쳌 ． 当且仅当 时，等号成立． 2. 设 都是正实数， ， ，则 与 的大 小 ． 【答案】 t【分析】 由柯西不等式，得 t ． 3. 四个正数之和为 ，平方和为 ，则这四个数中最大的那个数的最大值是 ． 【答案】 【分析】 设 ， ， ， 由柯西不等式，得 ， 即 쳌 쳌 ． 化简得 쳌 쳌 t ，解得 ൏ t ． 当且仅当 쳌 时，等号成立，此时 最大，最大值为 ． 4. 边长为 ， ， 的三角形，其面积 ，且外接圆半径 ．若令 ， ．则 ， 的大小关系是 ． 【答案】 【分析】 因为 ，所以 ．所以 h 当且仅当 时，上式等号成立． 5. 设实数 ， ʹ 满足 ʹ t ，则 ʹ 的最大值为 ． 【答案】 【分析】 因为 ʹ ʹ t ʹ t 等号显然能取到．所以 ʹ 的最大值为 ． 6. 设任意实数 ，要使 log log log log 恒成立，则 的最大值是 ． 【答案】 【分析】 要使 log log log log 恒成立， 即使 lg lg쳌lg lg lg쳌lg lg lg쳌lg lg lg쳌lg 恒成立． 令 lg 쳌 lg lg 쳌 lg lg 쳌 lg ，而 ，则 ， 即使得 ＞ ＞ ＞ 恒成立， 即 t 的最小值． 根据柯西不等式可知 所以 的最大值是 ． 7. 设 ，且 ， ，则 的最小值为 ． 【答案】 【分析】 本题考查柯西不等式的应用． 【解】 根据柯西不等式，得 t ，当且仅当 时等号成立， 化简即得 ． 8. 对于 ，当非零实数 满足 쳌 쳌 且使 最大时， 쳌 的最小值为 ． 【答案】 쳌 【分析】 本题需要先消元，得到 的表达式，然后考虑取到最大时的情况，最终求得 式子的最小值． 【解】 由 쳌 쳌 ，得 쳌 쳌 h由柯西不等式，得 쳌 쳌 当且仅当 쳌 ，即 ， 时取等号． 从而 쳌 쳌 쳌 쳌 ， 所以，当 ， ， 时， 쳌 取得最小值 쳌 ． 9. 若 ʹ ，且 ， ʹ ， ʹ ，则 ʹ的值为 ． 【答案】 【分析】 根据已知条件得 ʹ ʹ 故 ʹ ʹ ，解得 ． 10. 个互不相同的正奇数与 个互不相同的正偶数的总和为 ，则 的最大值 是 ． 【答案】 【分析】 因为 쳌 ， 所以 ， ，则 쳌 t 쳌 쳌 t 与 应当尽量接近，经检验， ， 时取得等号． 所以 的最大值为 ． 11. 设 ，且 ，求 的最大值与最小值． 【解】 利用柯西不等式得 t ， 即 t ， t ， 쳌 t t ， 当且仅当 时等号成立． 又 ， ， ． 当 쳌 ， 쳌 时， 有最小值 쳌 ； 当 ， 时， 有最大值 ． 12. 求三个实数 ， ʹ ， ，使得它们同时满足下列方程： ʹ ， ʹ 쳌 ʹ ． 【解】 将两个方程相加，得 ʹ 又第一个方程可变形为 ʹ 由 及柯西不等式，得 ʹ ʹ ，即 ， 即柯西不等式中的等号成立， 所以 ʹ ，故 ， ʹ ， ． 13. 已知 为锐角， ，求证 t cos sin ． 【解】 设 cos sin ， cossin ， cos cos sin sin t cos sin cos sin t cos sin ． 14. 求函数 ʹ 쳌 的最大值． 【解】 因为 쳌 쳌 t 쳌 h所以 ʹ 쳌 t ． 等号成立的条件当且仅当 쳌 ，即 ， ʹ 的最大值为 ． 15. 已知： ʹ ，求 ʹ 的最小值． 【解】 ʹ ʹ ， ʹ ， 当且仅当 ʹ ，即 ʹ 时等号成立． 又 ʹ ，得 ， ʹ ， 故当 ， ʹ 时， ʹ 的最小值为 ． 16. 设 ， ， 为正数，且 ，求证 ． 【解】 h当且仅当 时取等号． 17. 设 ，且满足 ，证明： ． 【解】 左边 h 故原命题成立． 18. 设 为正实数，运用柯西不等式证明： ． 【解】 由柯西不等式，得 个 ， 于是 ，当且仅当 时等号成立． 即 ． 再由柯西不等式，得 ，当且仅 当 时等号成立， 于是 ． 综上可知原不等式成立． 19. 设实数 ， ， 满足条件 ，求 的最大值． 【解】 由柯西不等式，得 ， 于是 ． 故 쳌 쳌 t 쳌 ． 于是 的最大值为 ， 当且仅当 时取到最大值． 20. 设 ʹ ，且 ʹ ，求证： ʹ ʹ ． 【解】 由柯西不等式，得 ʹ ʹ ʹ ʹ ʹ ʹ ． 当且仅当 ʹ 时，等号成立． 所以原不等式成立． 排序不等式 1. 已知 ， ， 都是正数，则 ． 【答案】 【分析】 设 ，所以 ． 由排序原理，知 ，得 ． 2. 设 ， ， 都是正数，求证： t ． 【解】 由题意不妨设 ． 由不等式的性质，知 ， ， 根据排序原理，得 t h 又由不等式的性质，知 ，且 ． 再根据排序原理，得 t 由 及不等式的传递性，得 t ． 两边同除以 ，得证原不等式成立． 3. 已知两组数 tttt ， tttt ，其中 ， ， ， ， ， ， ， ， ， ，将 重新排列记为 ，计算 ； ； 的值．并探求 的最大值和 最小值． 【解】 ． ． ． 另外： ． ． 猜想： 的最大值为其顺序和 ，最小值为其反序和 ． 4. 设 是 个互不相同的正整数，求证： t ． 【解】 设 是 的一个排列，且满足 ൏ ൏ ൏ ， 因为 是互不相同的正整数，故 ． 又因为 ， 故由排序不等式，得 h 5. 某班学生要开联欢会，需要买价格不同的礼品 件， 件及 件，现在选择商店中单价为 元， 元和 元的礼品，则至少要花多少钱？最多要花多少钱？ 【解】 由排序原理可知， 花钱最少为 （元）， 花钱最多为 （元）． 6. 正实数 的任一排列为 ，求证： ． 【解】 取两组数 ； ，设 ൏ ttt ，则 ， 其反序和为 ， 原不等式的左边为乱序和，由排序原理，乱序和 反序和有 ， 故原不等式成立． 7. 设 为正数 的某一排列，求证： ． 【解】 不妨设 ൏ ttt ，则 ． 是 的一个排列， 故由排序原理：反序和 t 乱序和得， t ， 即 ． 8. 在 香䁨 中，求证： π t 香䁨 ൏ π ． 【解】 不妨设 tt ，于是 t香t䁨 ，由排序不等式，得 香 䁨 香 䁨 ， 香 䁨 香 䁨 ， 香 䁨 香 䁨 ． 上述三式相加，得 香 䁨 香 䁨 π ， 所以 香䁨 π h又由 ൏ 쳌 ， ൏ 쳌 ， ൏ 쳌 ，有 ൏ 쳌 䁨 쳌 香 쳌 香 䁨 쳌 䁨 쳌 香 香 쳌 䁨 π 쳌 π 쳌 香 π 쳌 䁨 π 쳌 香 䁨 h得 香䁨 ൏ π h由 式得原不等式成立． 9. ， ， 都是正数，求证： 쳌 쳌 쳌 （ 是任意正数）． 【解】 设 ， 只需证 h 由不等式的性质，知 ， 又 ， 由排序原理，得 h 又由不等式单调性，知 ， ． 所以由排序原理，得 h 由 可得不等式 成立． 所以原不等式成立． 10. 设 ， t t ． 【解】 不妨设 ，于是 ， ， 应用排序不等式，得 t ， t ， 以上两个同向不等式相加再除以 ，即得原式中第一个不等式． 再考虑数组 及 ， 仿上可证得第二个不等式． 11. 设锐角三角形 香䁨 的三边长分别为 ， ， ，求证： cos cos香 cos䁨t ． 【解】 不妨设 t香t䁨t ，由三角形的性质，知 tt ． 由余弦函数的单调性，知 coscos香cos䁨 ． 由排序原理，得 cos cos香 cos䁨 cos cos香 cos䁨 ， cos cos香 cos䁨tcos香 cos䁨 cos ， cos cos香 cos䁨tcos䁨 cos cos香 ， 以上三式相加，得 cos cos香 cos䁨 t cos cos香 cos䁨 ． 因为 cos cos香 cos䁨t ． 故有 cos cos香 cos䁨t ． 伯努利不等式 1. 已知 ， ， ， 是正数，求证： ． 【解】 记 ， ． （1）当 时不等式成立． （2）假设当 时，不等式成立，即 ． 则当 时，不妨设 ttt ， ． t ， 令 ，则 ．由贝努利不等式得 因此 ． 由（1）（2）可知原不等式成立． 2. 已知 ， ， ， 是正数， 是不小于 的自然数，求证： ． 【解】 设 ，令 ，则 ． 由于 ， ，得 ， 쳌 ． 由贝努利不等式得 ． 当且仅当 时，等号成立．将上述不等式中 从 到 取值相加得 ， 即 ，亦即 ， 即 ， 即 ， 当且仅当 时等号成立． 3. 设 ， ʹ ，求证： ൏ ， ʹ ൏ ʹ ． 【解】 先证 ൏ ，因 ，故 ． 由贝努利不等式得 쳌 쳌 쳌 ， 即 쳌 쳌 ， 故 쳌 쳌 쳌 ， 此即表明 ൏ ． 再证 ʹ ൏ ʹ ，仍由贝努利不等式可得 쳌 쳌 ， 即 ， ， ， 此即表明 ʹ ൏ ʹ ． 课后练习 1. 已知 ， 为实数，且 ， ，则 的最小值为 ． 2. 设 ʹ ʹ ，则 쳌 ʹ 쳌 的最小值是 ． 3. 如果圆柱轴截面的周长 为定值，则体积的最大值为 ． 4. 以下三个命题：① 若 쳌 ൏ ，则 ൏ ；② 若 ，则 쳌 t 쳌 ；③ 若 ൏ ， ʹ ，则 ʹ ൏ ，其中正确命题的序号是 ． 5. 若 logʹ 쳌 ，则 ʹ 的最小值是 6. 函数 ʹ 쳌 쳌 的最大值为 ． 7. 在等式 的分母上的三个括号中各填入一个正整数，使得该等式成立，则 所填三个正整数的和的最小值是 ． 8. 三个实数 ， ʹ ， 满足 ʹ ， ʹ 쳌 ʹ ，则 ʹ ． 9. 已知 ʹ ，则 ʹ 的最小值为 ． 10. 设函数 쳌 ． (1)画出函数 ʹ 的图像； (2)若不等式 t 的解集非空，求 的取值范围． 11. 已知 ，且 ． (1)求证： t ． (2)求证： ൏ ． 12. 设 ，且满足 ，求证： ． 13. 已知 t ， ʹ t ，试求 쳌 ʹ ʹ 쳌 的最大值． 14. 设 ，且 ，求证： 쳌 쳌 쳌 ． 15. 已知 ，且满足 ，利用柯西不等式求 的 最大值． 16. 设 ， ，求 的最小值． 17. 设 ʹ ，且 ʹ ，求证： ʹ ． 18. 利用柯西不等式证明： ． 19. 求函数 ʹ 쳌 的最大值． 20. 已知 ， ， 为正数，求证： ． 21. 已知 ， ， 为正数，用排序不等式证明： ． 22. 设 ʹ ，求函数 ʹ 的最大值． 不等式选讲-出门考 姓名 成绩 1. 设 ， ， ， ʹ 且满足 ， ʹ ，求 ʹ 的最大值为 ． 2. 已知 ，有不等式 ， ， ，由此可以推广为 ，则 ． 3. 已知 ， ， ， ， ， ， ʹ ， ʹ ， ʹ ， ʹ ， ʹ ， ʹ 是 ， ， ， ， ， 的任一排列，则 ʹ ʹ ʹ ʹ ʹ ʹ 不会超过 ． 4. 已知点 是边长为 的等边三角形内一点，它到三边的距离分别为 、 ʹ 、 ，则 、 ʹ 、 所满足的关系式为 ， ʹ 的最小值是 ． 5. 已知 ， 香 ， 䁨 是三角形三个内角的弧度数，则 香 䁨 的最小值是 ． 6. 已知实数 ， ， ， 满足 ， ，试求 的最值． 7. 若 π ，求函数 cos sin 最大值． 8. 设实数 ， ， 满足 ，求证： ． 9. 已知实数 ， ʹ 满足 ʹ ，求证： 쳌ʹʹ ʹ ． 10. 已知 、 、 且 ，求 的最大值． 11. 已知正数 ， ， 满足 ，证明： ． 12. 设 ，且 ，求 쳌 的最小值． 13. 求函数 ʹ 쳌 쳌 的最小值． 14. 已知实数 ， ， ， 满足 ，求证： 쳌 쳌 쳌 쳌 ． 15. 已知 ൏ ൏ ，求证： 쳌 ．