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- 2021-06-15 发布
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2020-2021 学年高二数学上册同步练习:圆的一般方程
一、单选题
1.圆的方程为 22 2100xyxy ,则圆心坐标为( )
A. (1, 1) B. 1( , 1)2 C. ( 1,2 ) D. 1( , 1)2
【答案】D
【解析】将 配方,化为圆的标准方程可得
2
21145 1110244xy
,
即可看出圆的圆心为 .
故选 D.
2.若方程 2220x y a 表示圆,则实数 a 的取值范围为( )
A. 0a B. 0a C. 0a D. 0a
【答案】A
【解析】由题 222x y a ,则 20a解得 0a
故选 A
3.以 3,1A , 2,2B 为直径的圆的方程是( )
A. 22 80xyxy B. 22 90xyxy
C. 22 80xyxy D. 22 90xyxy
【答案】A
【解析】设圆的标准方程为 222()()xaybr ,
由题意得圆心 ( , )O a b 为 A , B 的中点,
根据中点坐标公式可得 321
22a , 121
22b ,
又
22(3 2)( 1 2)||34
222
ABr ,所以圆的标准方程为:
221 1 17( ) ( )2 2 2xy ,化简整理得 ,
故选 A.
4.若直线 2 4 0m x n y 始终平分圆 224240xyxy 的周长,则 m 、 n 的关系是( )
A. 20mn B. 20mn C. 40mn D. 40mn
【答案】A
【解析】 标准方程为 22(2)(1)9xy ,圆心为 (2, 1) ,
∵直线 始终平分圆 的周长,
∴ 22(1)40mn ,即 .
故选 A.
5.圆 C: 22+4+2+2=0xyxy 的半径是( )
A. 3 B. 3 C. 2 D. 2
【答案】A
【解析】因为 22222+4+2+2=0(2)(1)(3)xyxyxy ,所以该圆的半径为 .
故选 A
6.曲线方程 22 40xyExy 表示一个圆的充要条件为( )
A. 15E B. 15E C. 2 15E D. 2 15E
【答案】C
【解析】表示圆的充要条件是 22 1440E ,即 .
故选 C.
7.当圆 22:4220Cxyxmym 的面积最小时, 的取值是( )
A. 4 B.3 C. 2 D. 1
【答案】D
【解析】由圆 ,
化为标准方程为: 2 2 2( 2) ( ) 2 4x y m m m ,
可得: 222 24 (1)3 3rmmm
可得当 1m 时, 2r 最小,即圆的面积最小,
故选 D.
8.若曲线 222:24540Cxyaxaya 上所有的点均在第二象限内,则 a 的取值范围为( )
A. ,2 B. ,1 C. 2, D. 1,
【答案】C
【解析】由曲线方程可知:曲线 C 是圆心为 ,2aa ,半径为 2 的圆
曲线 上所有的点均在第二象限内
2
22
a
a
,解得: 2a
a 的取值范围是
故选
9.点 P ,Q 在圆 22 430xykxy 上 k R ,且点 , 关于直线 20xy对称,则该圆的半
径为( )
A. 3 B. 2 C.1 D. 22
【答案】B
【解析】点 , 在圆 上 ,且点 , 关于直线 对称
可知直线 经过圆心
圆心坐标为 ,22
k
代入直线方程可得 220 2
k
解得 2k
所以圆的方程为 222430xyxy
化成标准方程为 22122xy
所以圆的半径为 2r
故选 B
10.在平面直角坐标系 xOy 中, 2,0A ,点 在圆 22:4460C xyxy 上运动,则向量OA 与 OP
的夹角的取值范围是( )
A. 5,12 12
B. 7,12 12
C. 57,12 12
D. 7 11,12 12
【答案】D
【解析】圆 C 的方程: 224 4 6 0x y x y 可以化为 22( 2) ( 2) 2xy ,
圆心 2 ,2C ,半径 2r ,
画出图象:
由图可知:向量 OA 与 OP 的夹角为 A O P ,
当 P 运动到 OP 与圆 相切的 1P 位置时, 最小,
当 运动到 与圆 相切的 2P 位置时, 最大,
又由图可得 1
1
321,sin4||2 22
PCAOCPOC OC
,
126POC P OC ,
1
37
4 6 12AOP ,
2
311
4612AOP .
向量 与 的夹角的取值范围是
故选 D.
11.已知圆 过点 4,6 , 2, 2 , 5,5 ,点 ,MN在圆 上,则 CMN 面积的最大值为( )
A.100 B.25 C.50 D. 25
2
【答案】D
【解析】设圆 C 的方程为 22 0xyDxEyF ,将 4,6,2,2,5,5 代入可得,
52460
8220
50550
DEF
DEF
DEF
,解得 2, 4, 20D E F .
故圆 的一般方程为 2224200xyxy ,即 221225xy ,
故 C M N 的面积 11125 sin55sin5512222SCMCNMCNMCN .
CMN 面积的最大值为 25
2 .
故选 D .
12.若 210xy ,则
2
y
x
的取值范围为( )
A. 33[ , ] 33 B. 33(,][,) 33
C. 11( , ] [ , )22 D. 11[ , ] 22
【答案】D
【解析】因为 ,所以 21 yx
所以 2210xyx
如图,此方程表示的是圆心在原点,半径为 1 的半圆
的几何意义是点 ,xy与点 2,0 连线的斜率
如图, 0,1 , 0, 1AB , 2,0P
1 0 1
0 2 2PAk
, 1 0 1
0 2 2PBk
所以
2
y
x
的取值范围为 11[ , ] 22
故选 D
二、填空题
13.已知圆 M 的方程是 226 16 0x x y ,则该圆的半径是___________.
【答案】5
【解析】依题意得 2 2235xy ,故圆的半径是 5 .
故填 5
14.若方程 22245xyaxya 表示圆,则实数 a 的取值范围是__________.
【答案】 (,4)(1,)
【解析】方程 表示圆,则 2416200aa ,即 2 5 4 0aa ,
解得 4a <- 或 1a ,实数 的取值范围是 ,
故填 .
15.若 32,0,1, 4a
,则方程 222 2210xyaxayaa 表示的圆的个数为______.
【答案】1
【解析】方程 即方程
2
223()124
axyaaa
,
可以表示以 ( 2
a , )a 为圆心、半径为 231 4aa 的圆.
当 2a 时,圆心(1,2) 、半径为 0,不表示圆.
当 0a 时,圆心(0,0) 、半径为 1,表示一个圆.
当 1a 时,圆心 1( 2 , 1) 、 23104aa ,不表示圆.
当 3
4a 时,圆心 3( 8 , 3 )4 、 ,不表示圆.
综上可得,所给的方程表示的圆的个数为 1,
故填 1.
16.已知直线 : 4 0l x y 与圆 22:2610Cxymxy ,若直线 l 将圆 C 分割成面积相等的两部
分,则 m ______.
【答案】7
【解析】已知圆 ,
即: 22238xmym ,圆心是 ,3m ,
直线 将圆 分割成面积相等的两部分,
即直线经过圆的圆心,则 3 4 0m ,
解得: 7m .
故填 7.
17.对任意实数 m ,圆 2224620xymxmym 恒过定点,则其坐标为______.
【答案】 1,1 、 17,55
【解析】由 由得 2222320mxyxy ,故
22
230
20
xy
xy
,解得
1
1
x
y
或
1
5
7
5
x
y
.
故填 、 .
18.曲线 2233xy与 2 28yxx 的四个交点所在圆的方程是________.
【答案】 22(4)(2)49xy
【解析】 , ,故 2 22342 48 3x y yxx ,
化简整理得到: 228 4 29 0x y x y ,即 .
故填 .
三、解答题
19.下列方程能否表示圆?若能表示圆,求出圆心坐标和半径.
(1) 222 7 5 0x y x ;
(2) 22670xxyyxy ;
(3) 2224100xyxy ;
(4) 222240xyx .
【解析】(1)因为 2x 与 2y 项的系数不相等,所以不能表示圆.
(2)方程中含有 xy 项,故不能表示圆.
(3)因为 22244100 ,故不能表示圆.
(4) 222240xyx 可化为 2 211xy ,故方程表示以 1,0 为圆心,1 为半径的圆.
20.已知圆的方程是 222 2(1)45280xymxmymm
(1)求此圆的圆心坐标和半径;
(2)求证:不论 m 为何实数,方程表示圆的圆心在同一直线上的等圆 .
【解析】(1)圆的方程 222 2145280xymxmymm ,
可化为 2 2129xmym ,
∴圆心坐标为 1,2mm ,半径为 3 .
(2)证明:设圆心为 ,xy ,
由(1)可知,
1
2
xm
ym
,则 22xy,
∴不论 为何实数,该圆的圆心恒在直线 2 2 0xy 上,
由(1)可得,圆的半径为定值 3,
故不论 为何实数,方程表示圆的圆心在同一直线上的等圆.
21.分别根据下列条件,求圆的方程.
(1)过点 ( 4,0)A , (0,2)B 和原点;
(2)与两坐标轴均相切,且圆心在直线 2350xy 上.
【解析】(1)设圆的方程为 22 0x y Dx Ey F ,
由题意,
0
4 2 0
16 4 0
F
EF
DF
,解得
0
2
4
F
E
D
,
故所求圆的方程为 22420xyxy .
(2)由圆心在直线 2 3 5 0xy 上,设圆心的坐标为 25( , )3
aa ,
因为圆与两坐标轴均相切,所以 25| | | | 3
aa ,
解得 5a 或 1a .
当 时,圆心为(5,5) ,半径为 5,则圆的方程为 22(5)(5)25xy ;
当 时,圆心为 ( 1,1) ,半径为 1,则圆的方程为 22(1)(1)1xy ;
故所求圆的方程为 或 .
22.已知 22:120CxyDxEy 关于直线 2 4 0xy 对称,且圆心在 y 轴上.
(1)求 C 的标准方程;
(2)已知动点 M 在直线 10y 上,过点 引圆 C 的两条切线 MA 、 MB ,切点分别为 A , B .记四
边形 M A C B 的面积为 S ,求 的最小值;
【解析】(1)由题意知,
圆心 ,22
DEC
在直线 上,即 402
D E ,
又因为圆心 在 轴上,所以 02
D,
由以上两式得: 0D , 4E ,
所以 224120xyy .
故 的标准方程为 22 216xy .
(2)如图, 的圆心为 0,2 ,半径 4r ,
因为 、 是 的两条切线,
所以CA MA ,CBMB ,
故 222 16MA MB MC r MC
又因为 224416ACMSSMAMC△ ,
根据平面几何知识,要使 S 最小,只要 MC 最小即可.
易知,当点 M 坐标为 0 ,10 时, min 8MC .
此时 min 46416163S .