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  • 2021-06-15 发布

2020-2021学年高二数学上册同步练习:圆的一般方程

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2020-2021 学年高二数学上册同步练习:圆的一般方程 一、单选题 1.圆的方程为 22 2100xyxy ,则圆心坐标为( ) A. (1, 1) B. 1( , 1)2  C. ( 1,2 ) D. 1( , 1)2 【答案】D 【解析】将 配方,化为圆的标准方程可得   2 21145 1110244xy , 即可看出圆的圆心为 . 故选 D. 2.若方程 2220x y a   表示圆,则实数 a 的取值范围为( ) A. 0a  B. 0a  C. 0a  D. 0a  【答案】A 【解析】由题 222x y a   ,则 20a解得 0a  故选 A 3.以  3,1A  ,  2,2B  为直径的圆的方程是( ) A. 22 80xyxy B. 22 90xyxy C. 22 80xyxy D. 22 90xyxy 【答案】A 【解析】设圆的标准方程为 222()()xaybr , 由题意得圆心 ( , )O a b 为 A , B 的中点, 根据中点坐标公式可得 321 22a , 121 22b , 又 22(3 2)( 1 2)||34 222 ABr    ,所以圆的标准方程为: 221 1 17( ) ( )2 2 2xy    ,化简整理得 , 故选 A. 4.若直线 2 4 0m x n y   始终平分圆 224240xyxy 的周长,则 m 、 n 的关系是( ) A. 20mn   B. 20mn   C. 40mn   D. 40mn   【答案】A 【解析】 标准方程为 22(2)(1)9xy ,圆心为 (2, 1) , ∵直线 始终平分圆 的周长, ∴ 22(1)40mn ,即 . 故选 A. 5.圆 C: 22+4+2+2=0xyxy  的半径是( ) A. 3 B. 3 C. 2 D. 2 【答案】A 【解析】因为 22222+4+2+2=0(2)(1)(3)xyxyxy ,所以该圆的半径为 . 故选 A 6.曲线方程 22 40xyExy 表示一个圆的充要条件为( ) A. 15E  B. 15E  C. 2 15E  D. 2 15E  【答案】C 【解析】表示圆的充要条件是  22 1440E  ,即 . 故选 C. 7.当圆 22:4220Cxyxmym 的面积最小时, 的取值是( ) A. 4 B.3 C. 2 D. 1 【答案】D 【解析】由圆 , 化为标准方程为: 2 2 2( 2) ( ) 2 4x y m m m      , 可得: 222 24 (1)3 3rmmm   可得当 1m  时, 2r 最小,即圆的面积最小, 故选 D. 8.若曲线 222:24540Cxyaxaya 上所有的点均在第二象限内,则 a 的取值范围为( ) A.  ,2  B.  ,1  C.  2,  D. 1,  【答案】C 【解析】由曲线方程可知:曲线 C 是圆心为  ,2aa ,半径为 2 的圆 曲线 上所有的点均在第二象限内 2 22 a a      ,解得: 2a  a 的取值范围是 故选 9.点 P ,Q 在圆 22 430xykxy 上  k  R ,且点 , 关于直线 20xy对称,则该圆的半 径为( ) A. 3 B. 2 C.1 D. 22 【答案】B 【解析】点 , 在圆 上 ,且点 , 关于直线 对称 可知直线 经过圆心 圆心坐标为 ,22 k 代入直线方程可得 220 2 k 解得 2k  所以圆的方程为 222430xyxy 化成标准方程为   22122xy 所以圆的半径为 2r  故选 B 10.在平面直角坐标系 xOy 中,  2,0A  ,点 在圆 22:4460C xyxy 上运动,则向量OA 与 OP 的夹角的取值范围是( ) A. 5,12 12   B. 7,12 12   C. 57,12 12   D. 7 11,12 12   【答案】D 【解析】圆 C 的方程: 224 4 6 0x y x y     可以化为 22( 2) ( 2) 2xy    , 圆心  2 ,2C ,半径 2r  , 画出图象: 由图可知:向量 OA 与 OP 的夹角为 A O P , 当 P 运动到 OP 与圆 相切的 1P 位置时, 最小, 当 运动到 与圆 相切的 2P 位置时, 最大, 又由图可得 1 1 321,sin4||2 22 PCAOCPOC OC  ,  126POC P OC     , 1 37 4 6 12AOP       , 2 311 4612AOP  . 向量 与 的夹角的取值范围是 故选 D. 11.已知圆 过点     4,6 , 2, 2 , 5,5 ,点 ,MN在圆 上,则 CMN 面积的最大值为( ) A.100 B.25 C.50 D. 25 2 【答案】D 【解析】设圆 C 的方程为 22 0xyDxEyF ,将      4,6,2,2,5,5 代入可得, 52460 8220 50550 DEF DEF DEF      ,解得 2, 4, 20D E F      . 故圆 的一般方程为 2224200xyxy ,即    221225xy , 故 C M N 的面积 11125 sin55sin5512222SCMCNMCNMCN . CMN 面积的最大值为 25 2 . 故选 D . 12.若 210xy   ,则 2 y x  的取值范围为( ) A. 33[ , ] 33 B. 33(,][,) 33 C. 11( , ] [ , )22    D. 11[ , ] 22 【答案】D 【解析】因为 ,所以 21 yx   所以  2210xyx 如图,此方程表示的是圆心在原点,半径为 1 的半圆 的几何意义是点  ,xy与点 2,0 连线的斜率 如图,    0,1 , 0, 1AB ,  2,0P 1 0 1 0 2 2PAk    , 1 0 1 0 2 2PBk  所以 2 y x  的取值范围为 11[ , ] 22 故选 D 二、填空题 13.已知圆 M 的方程是 226 16 0x x y    ,则该圆的半径是___________. 【答案】5 【解析】依题意得   2 2235xy   ,故圆的半径是 5 . 故填 5 14.若方程 22245xyaxya 表示圆,则实数 a 的取值范围是__________. 【答案】 (,4)(1,) 【解析】方程 表示圆,则 2416200aa ,即 2 5 4 0aa   , 解得 4a <- 或 1a  ,实数 的取值范围是 , 故填 . 15.若 32,0,1, 4a  ,则方程 222 2210xyaxayaa 表示的圆的个数为______. 【答案】1 【解析】方程 即方程 2 223()124 axyaaa , 可以表示以 ( 2 a , )a 为圆心、半径为 231 4aa 的圆. 当 2a  时,圆心(1,2) 、半径为 0,不表示圆. 当 0a  时,圆心(0,0) 、半径为 1,表示一个圆. 当 1a  时,圆心 1( 2 , 1) 、 23104aa   ,不表示圆. 当 3 4a  时,圆心 3( 8 , 3 )4 、 ,不表示圆. 综上可得,所给的方程表示的圆的个数为 1, 故填 1. 16.已知直线 : 4 0l x y    与圆 22:2610Cxymxy ,若直线 l 将圆 C 分割成面积相等的两部 分,则 m  ______. 【答案】7 【解析】已知圆 , 即:   22238xmym ,圆心是  ,3m , 直线 将圆 分割成面积相等的两部分, 即直线经过圆的圆心,则 3 4 0m    , 解得: 7m  . 故填 7. 17.对任意实数 m ,圆 2224620xymxmym 恒过定点,则其坐标为______. 【答案】  1,1 、 17,55   【解析】由 由得   2222320mxyxy ,故 22 230 20 xy xy    ,解得 1 1 x y    或 1 5 7 5 x y     . 故填 、 . 18.曲线 2233xy与 2 28yxx 的四个交点所在圆的方程是________. 【答案】 22(4)(2)49xy 【解析】 , ,故  2 22342 48 3x y yxx    , 化简整理得到: 228 4 29 0x y x y     ,即 . 故填 . 三、解答题 19.下列方程能否表示圆?若能表示圆,求出圆心坐标和半径. (1) 222 7 5 0x y x    ; (2) 22670xxyyxy ; (3) 2224100xyxy ; (4) 222240xyx . 【解析】(1)因为 2x 与 2y 项的系数不相等,所以不能表示圆. (2)方程中含有 xy 项,故不能表示圆. (3)因为    22244100 ,故不能表示圆. (4) 222240xyx 可化为   2 211xy   ,故方程表示以  1,0 为圆心,1 为半径的圆. 20.已知圆的方程是 222 2(1)45280xymxmymm (1)求此圆的圆心坐标和半径; (2)求证:不论 m 为何实数,方程表示圆的圆心在同一直线上的等圆 . 【解析】(1)圆的方程  222 2145280xymxmymm , 可化为    2 2129xmym , ∴圆心坐标为  1,2mm ,半径为 3 . (2)证明:设圆心为  ,xy , 由(1)可知, 1 2 xm ym    ,则 22xy, ∴不论 为何实数,该圆的圆心恒在直线 2 2 0xy   上, 由(1)可得,圆的半径为定值 3, 故不论 为何实数,方程表示圆的圆心在同一直线上的等圆. 21.分别根据下列条件,求圆的方程. (1)过点 ( 4,0)A  , (0,2)B 和原点; (2)与两坐标轴均相切,且圆心在直线 2350xy 上. 【解析】(1)设圆的方程为 22 0x y Dx Ey F     , 由题意, 0 4 2 0 16 4 0 F EF DF          ,解得 0 2 4 F E D      , 故所求圆的方程为 22420xyxy . (2)由圆心在直线 2 3 5 0xy   上,设圆心的坐标为 25( , )3 aa  , 因为圆与两坐标轴均相切,所以 25| | | | 3 aa  , 解得 5a  或 1a  . 当 时,圆心为(5,5) ,半径为 5,则圆的方程为 22(5)(5)25xy ; 当 时,圆心为 ( 1,1) ,半径为 1,则圆的方程为 22(1)(1)1xy ; 故所求圆的方程为 或 . 22.已知 22:120CxyDxEy 关于直线 2 4 0xy   对称,且圆心在 y 轴上. (1)求 C 的标准方程; (2)已知动点 M 在直线 10y  上,过点 引圆 C 的两条切线 MA 、 MB ,切点分别为 A , B .记四 边形 M A C B 的面积为 S ,求 的最小值; 【解析】(1)由题意知, 圆心 ,22 DEC  在直线 上,即 402 D E , 又因为圆心 在 轴上,所以 02 D, 由以上两式得: 0D  , 4E  , 所以 224120xyy . 故 的标准方程为  22 216xy . (2)如图, 的圆心为  0,2 ,半径 4r  , 因为 、 是 的两条切线, 所以CA MA ,CBMB , 故 222 16MA MB MC r MC     又因为 224416ACMSSMAMC△ , 根据平面几何知识,要使 S 最小,只要 MC 最小即可. 易知,当点 M 坐标为  0 ,10 时, min 8MC  . 此时 min 46416163S  .