- 115.50 KB
- 2021-06-15 发布
- 1、本文档由用户上传,淘文库整理发布,可阅读全部内容。
- 2、本文档内容版权归属内容提供方,所产生的收益全部归内容提供方所有。如果您对本文有版权争议,请立即联系网站客服。
- 3、本文档由用户上传,本站不保证质量和数量令人满意,可能有诸多瑕疵,付费之前,请仔细阅读内容确认后进行付费下载。
- 网站客服QQ:403074932
福建省平和一中、南靖一中等五校2019-2020学年高二上学期期中联考数学试题
一、选择题(本大题共12小题,共60.0分)
1. 已知曲线方程为,P为曲线上任意一点,A,B为曲线的焦点,则( )
A. B.
C. D.
2. 抛物线y=4x2的焦点坐标是( )
A. B. C. D.
3. 2017年3月2日至16日,全国两会在北京召开,甲、乙两市近5年与会代表名额数统计如图所示,设甲、乙的数据平均数分别为,,中位数分别为y1,y2,则( )
A. , B. ,
C. , D. ,
4. 双曲线-=1的渐近线方程为( )
A. B. C. D.
5. 下列对一组数据的分析,不正确的说法是( )
A. 数据极差越小,样本数据分布越集中、稳定
B. 数据平均数越小,样本数据分布越集中、稳定
C. 数据标准差越小,样本数据分布越集中、稳定
D. 数据方差越小,样本数据分布越集中、稳定
6. “m>n>0”是“方程”表示焦点在y轴上的椭圆”的( )
A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分也不必要
7. 过抛物线y2=4x的焦点作直线交抛物线于A(x1,y1),B(x2,y2)两点,如果x1+x2=6,那么|AB|=( )
A. 10 B. 9 C. 8 D. 6
8. 从装有5个红球和3个白球的口袋内任取3个球,那么下列各对事件中,互斥而不对立的是( )
A. 恰有一个红球与恰有两个红球 B. 至少有一个红球与都是白球
C. 至少有一个红球与至少有个白球 D. 至少有一个红球与都是红球
9. 过A(2,-1)的直线l与抛物线y2=4x相交于C,D两点,若A为CD中点,则直线l的方程是( )
A. B. C. D.
10. 古希腊雅典学派算学家欧道克萨斯提出了“黄金分割”的理论,利用尺规作图可画出己知线段的黄金分割点,具体方法如下:(l)取线段AB=2,过点B作AB的垂线,并用圆规在垂线上截取BC=AB,连接AC;(2)以C为圆心,BC为半径画弧,交AC于点D;(3)以A为圆心,以AD为半径画弧,交AB于点E.则点E即为线段AB的黄金分割点.若在线段AB上随机取一点F,则使得BE≤AF≤AE的概率约为( )
(参考数据:2.236)
A. B. C. D.
1. 已知双曲线的右焦点与抛物线y2=12x的焦点重合,则该双曲线的焦点到其渐近线的距离等于
A. B. C. 3 D. 5
2. 已知双曲线C:的左、右焦点分别为F1、F2,过F1的直线与C的两条渐近线分别交于A,B两点.若,,则C的离心率为( )
A. B. C. D. 2
二、填空题(本大题共4小题,共20.0分)
3. 设命题p:∃n∈N,n2>2n,则¬p为______.
4. P为椭圆上一点,F1、F2为左右焦点,若∠F1PF2=60°,则△F1PF2的面积为______.
5. 过双曲线-=1右焦点F作一条直线,当直线斜率为2时,直线与双曲线左、右两支各有一个交点;当直线斜率为3时,直线与双曲线右支有两个不同交点,则双曲线离心率的取值范围是______ .
6. 以下四个关于圆锥曲线的命题:
(1)直角坐标系内,到点(-1,2)和到直线2x+3y-4=0距离相等的点的轨迹是抛物线;
(2)设A,B为两个定点,若|PA|-|PB|=2,则动点P的轨迹为双曲线;
(3)方程2x2-4x+2=0的两根可分别作椭圆和双曲线的离心率;
(4)若直线mx+ny=4和⊙O:x2+y2=4没有交点,则过点P(m,n)的直线与椭圆=1的交点个数为2.
其中真命题的序号为______.(写出所有真命题的序号)
三、解答题(本大题共6小题,共70.0分)
7. 已知命题p:(x-3)(x+2)<0,命题q:>0,若命题p∨q为真命题,命题p∧q为假命题,求实数x的取值范围.
8.
某地区有小学21所,中学14所,大学7所.现采用分层抽样的方法从这些学校中抽取6所学校,对学生进行视力检查.
(Ⅰ)求应从小学、中学、大学中分别抽取的学校数目;
(Ⅱ)若从抽取的6所学校中随即抽取2所学校作进一步数据分析;
①列出所有可能抽取的结果;
②求抽取的2所学校没有大学的概率.
1. 已知椭圆的右焦点为F(1,0),且椭圆上的点到点F的最大距离为3,O为坐标原点.
(Ⅰ)求椭圆C的标准方程;
(Ⅱ)过右焦点F倾斜角为60°的直线与椭圆C交于M、N两点,求弦长|MN|
2. 某市政府为了引导居民合理用水,决定全面实施阶梯水价,阶梯水价原则上以住宅(一套住宅为一户)的月用水量为基准定价:若用水量不超过12吨时,按4元/吨计算水费;若用水量超过12吨且不超过14吨时,超过12吨部分按6.60元/吨计算水费;若用水量超过14吨时,超过14吨部分按7.80元/吨计算水费.为了了解全市居民月用水量的分布情况,通过抽样,获得了100户居民的月用水量(单位:吨),将数据按照[0,2],(2,4],…,(14,16]分成8组,制成了如图1所示的频率分布直方图.
(Ⅰ)试估计100户居民用水价格的平均数和中位数;
(Ⅱ)如图2是该市居民李某2017年1~6月份的月用水费y(元)与月份x的散点图,其拟合的线性回归方程是=2x+33.若李某2017年1~7月份水费总支出为294.6元,试估计李某7月份的水费.
3. 已知抛物线C的准线方程为x=-.
(Ⅰ)求抛物线C的标准方程;
(Ⅱ)
若过点P(t,0)的直线l与抛物线C相交于A、B两点,且以AB为直径的圆过原点O,求证t为常数,并求出此常数.
1. 如图,椭圆E:=1(a>b>0)的左、右顶点分别为A、B,离心率e=,长轴与短轴的长度之和为10.
(Ⅰ)求椭圆E的标准方程;
(Ⅱ)在椭圆E上任取点P(与A、B两点不重合),直线PA交y轴于点C,直线PB交y轴于点D,证明:为定值.
答案和解析
1.【答案】B
【解析】解:曲线方程为,P为曲线上任意一点,A,B为曲线的焦点,
根据椭圆的定义的应用,|PA|+|PB|=2a=8.
故选:B.
直接利用椭圆的方程和椭圆的定义的应用求出结果.
本题考查的知识要点:椭圆的方程的应用和定义的应用,主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力,属于基础题型.
2.【答案】C
【解析】解:抛物线y=4x2的标准方程为 x2=y,p=,开口向上,焦点在y轴的正半轴上,
故焦点坐标为(0,),
故选:C.
把抛物线y=4x2的方程化为标准形式,确定开口方向和p值,即可得到焦点坐标.
本题考查抛物线的标准方程,以及简单性质的应用;把抛物线y=4x2的方程化为标准形式,是解题的关键.
3.【答案】B
【解析】解:由茎叶图知甲的最高分为27,最低分为13,则==17.8,中位数y1=14;
由茎叶图知乙的最高分为22,最低分为10,则==15.4,中位数y2=14,
所以>,y1=y2.
故选:B.
根据茎叶图分别判断甲、乙的最高分和最低分,利用平均数公式及中位数的定义分别求出甲、乙的平均数与中位数,可得答案.
本题考查了利用茎叶图求数据的平均数与中位数.
4.【答案】C
【解析】解:根据题意,双曲线-=1的焦点在x轴上,
且a==2,b=,
则其渐近线方程y=±x;
故选:C.
根据题意,由双曲线的标准方程分析可得该双曲线的焦点位置以及a、b的值,由双曲线的渐近线方程计算可得答案.
本题考查双曲线的几何性质,关键是掌握双曲线的渐近线方程的计算公式.
5.【答案】B
【解析】【分析】
本题考查极差、平均数、标准差、方差的意义,属于基础题.
根据极差、平均数、标准差、方差的意义即可判断.
【解答】
解:极差反映了最大值与最小值差的情况,极差越小,数据越集中.
方差、标准差是用来衡量一组数据波动大小的量,方差标准差越大,表明这组数据偏离平均数越大,即波动越大,数据越不稳定.方差较小的数据波动较小,稳定程度高.
平均数越小,说明数据整体上偏小,不能反映数据稳定与否.
故选:B.
6.【答案】C
【解析】解:若m>n>0,则方程表示焦点在y轴上的椭圆;
反之,若方程表示焦点在y轴上的椭圆,则m>n>0,
∴“m>n>0”是“方程”表示焦点在y轴上的椭圆”的充要条件.
故选:C.
由椭圆的标准方程结合充分必要条件的判定得答案.
本题考查椭圆的标准方程,考查充分必要条件的判定方法,是基础题.
7.【答案】C
【解析】解:由题意,p=2,故抛物线的准线方程是x=-1,
∵抛物线 y2=4x 的焦点作直线交抛物线于A(x1,y1)B(x2,y2)两点
∴|AB|=x1+x2+2,
又x1+x2=6
∴∴|AB|=x1+x2+2=8
故选:C.
抛物线 y2=4x 的焦点作直线交抛物线于A(x1,y1)B(x2,y2)两点,故|AB|=x1+x2+2,由此易得弦长值.
本题考查抛物线的简单性质,解题的关键是理解到焦点的距离与到准线的距离相等,由此关系将求弦长的问题转化为求点到线的距离问题,大大降低了解题难度.
8.【答案】A
【解析】【分析】
本题考查互斥事件、对立事件的定义等基础知识,是基础题.
利用互斥事件、对立事件的定义直接求解.
【解答】
解:从装有5个红球和3个白球的口袋内任取3个球,
在A中,恰有一个红球与恰有两个红球既不能同时发生,也不能同时不发生,是互斥而不对立事件,故A正确;
在B中,至少有一个红球与都是白球是对立事件,故B错误;
在C中,至少有一个红球与至少有个白球能同时发生,不是互斥事件,故C错误;
在D中,至少有一个红球与都是红球能同时发生,不是互斥事件,故D错误.
故选:A.
9.【答案】A
【解析】【分析】
本题考查直线与抛物线的综合问题,解决本题的关键在于灵活利用点差法,属于中等题.
设点C(x1,y1)、D(x2,y2),先利用中点坐标公式得出,然后将C、D两点坐标代入抛物线的标准方程,并将两式作差,可求出直线l的斜率,然后由直线l过点A,利用点斜式可得出直线l的方程.
【解答】
解:设点C(x1,y1)、D(x2,y2),由于点A(2,-1)为线段CD的中点,
则,所以,
将点C、D的坐标分别代入抛物线的方程得,
将上述两个等式相减得,即(y1-y2)(y1+y2)=4(x1-x2),
所以,-2(y1-y2)=4(x1-x2),则直线l的斜率为,
因此,直线l的方程为y+1=-2(x-2),即2x+y-3=0
.
故选:A.
10.【答案】A
【解析】解:由勾股定理可得:AC=,
由图可知:BC=CD=1,
AD=AE=≈1.236,BE≈2-1.236=0.764,
则:0.764≤AF≤1.236,
由几何概型中的线段型,可得:
使得BE≤AF≤AE的概率约为=0.236,
故选:A.
由勾股定理可得:AC=,由图易得:0.764≤AF≤1.236,
由几何概型中的线段型,可得:使得BE≤AF≤AE的概率约为=0.236,得解.
本题考查了勾股定理、几何概型中的线段型,属简单题.
11.【答案】A
【解析】【分析】
确定抛物线y2=12x的焦点坐标,从而可得双曲线的一条渐近线方程,利用点到直线的距离公式,即可求双曲线的焦点到其渐近线的距离.
本题考查抛物线的性质,考查时却显得性质,确定双曲线的渐近线方程是关键.
【解答】
解:抛物线y2=12x的焦点坐标为(3,0)
∵双曲线的右焦点与抛物线y2=12x的焦点重合
∴4+b2=9
∴b2=5
∴双曲线的一条渐近线方程为,即
∴双曲线的焦点到其渐近线的距离等于
故选:A.
12.【答案】D
【解析】解:如图,∵,,∴OA⊥F1B,
则F1B:y=(x+c),
联立,解得B(,),
则+=c2,
整理得:b2=3a2,∴c2-a2=3a2,即4a2=c2,
∴=4,e==2.
故选:D.
由题意画出图形,结合已知可得F1B⊥OA,写出F1B的方程,与y=x联立求得B点坐标,再由斜边的中线等于斜边的一半求解.
本题考查双曲线的简单性质,考查数形结合的解题思想方法,考查计算能力,是中档题.
13.【答案】∀n∈N,n2≤2n
【解析】解:命题是特称命题,则命题的否定是“∀n∈N,n2≤2n”,
故答案为:“∀n∈N,n2≤2n”
根据特称命题的否定是全称命题进行求解即可.
本题主要考查含有量词的命题的否定,根据特称命题的否定是全称命题是解决本题的关键.比较基础.
14.【答案】
【解析】解:由椭圆方程可知,a=5,b=3,∴c=4
∵P点在椭圆上,F1、F2为椭圆的左右焦点,
∴|PF1|+|PF2|=2a=10,|F1F2|=2c=8
在△PF1F2中,cos∠F1PF2=
=
===cos60°=
∴72-4|PF1||PF2|=2|PF1||PF2|,∴|PF1||PF2|=12
又∵在△F1PF2中,=|PF1||PF2|sin∠F1PF2
∴=×12sin60°=3
故答案为3
先利用椭圆定义求出|PF1|+|PF2|和|F1F2|的值,因为知道焦点三角形的顶角,利用余弦定理求出|PF1||PF2|的值,再代入三角形的面积公式即可.
本题主要考查椭圆中焦点三角形的面积的求法,关键是应用椭圆的定义和余弦定理转化.
15.【答案】(,)
【解析】解:由题意可得双曲线的渐近线斜率2<<3,
∵===,
∴<e<,
∴双曲线离心率的取值范围为(,).
故答案为:(,).
先确定双曲线的渐近线斜率2<<3,再根据=,即可求得双曲线离心率的取值范围.
本题考查双曲线的性质,考查学生分析解决问题的能力,解题的关键是利用=,属于中档题
16.【答案】(4)
【解析】解:对于(1),因为点(-1,2)在直线2x+3y-4=0上,∴到点(-1,2)和到直线2x+3y-4=0距离相等的点的轨迹是过定点与此直线垂直的直线,不是抛物线,
故(1)错;
对于(2),中当|PA|-|PB|=2<|AB|时是双曲线的一支;当|PA|-|PB|=2>|AB|时,没有轨迹图形;当2=|AB|时,表示一条射线,∴(2)错;
对于(3),∵方程2x2-4x+2=0有两相等实根为1、不可以分别作为椭圆和双曲线的离心率,故(3
)错误;
对于(4),由题意圆心(0,0)到直线mx-ny=4的距离d=>2=r,
即m2+n2<4,点(m,n)在以原点为圆心,2为半径的圆内,
与椭圆的交点个数为2.故(4)正确.
故答案为:(4).
(1),定点(-1,2)在定直线2x+3y-4=0上,到定点(-1,2)的距离与到定直线2x+3y-4=0的距离相等的点的轨迹不是抛物线.
(2),利用双曲线的定义,即可得出结论.
(3),求出方程的两根即可得到答案.
(4),根据直线与圆没有交点得到圆心到直线的距离大于半径列出不等式,化简后得到m2+n2<4说明P在⊙O的圆内,根据椭圆方程得到短半轴为2,而圆的半径也为2,所以点P在椭圆内部,所以过P的直线与椭圆有两个交点.
本题考查了有关圆锥曲线的命题真假的判定,属于中档题.
17.【答案】(本小题满分12分)
解:当命题p为真命题时:(x-3)(x+2)<0,即-2<x<3;…(2分)
当命题q为真命题时:,即x>5; …(4分)
又p∨q为真命题,p∧q为假命题,
∴命题p、q一真一假,即p真q假或p假q真; …(6分)
当p真q假时,则,∴-2<x<3,…(8分)
当p假q真时,则,∴x>5,…(10分)
∴综上所述,实数x的取值范围为(-2,3)∪(5,+∞). …(12分)
【解析】若命题p∨q为真命题,命题p∧q为假命题,则命题p、q一真一假,即p真q假或p假q真,进而得到实数x的取值范围.
本题以命题的真假判断与应用为载体,考查了不等式的解法,复合命题,难度中档.
18.【答案】解:(Ⅰ)学校总数为21+14+7=42,分层抽样的比例为6÷42=,
利用分层抽样得:
应从小学、中学、大学中分别抽取的学校数目为:
,14×,7×=1,
∴应从小学、中学、大学中分别抽取的学校数目为3,2,1所.
(Ⅱ)①在抽取的6所学校中,3所小学分别记为a1,a2,a3,
2所中学分别记为b1,b2,1所大学记为c,
则应抽取的2所学校的所有结果有15种,分别为:
{a1,a2},{a1,a3},{a1,b1},{a1,b2},{a1,c},{a2,a3},{a2,b1},{a2,b2},
{a2,c},{a3,b1},{a3,b2},{a3,c},{b1,b2},{b1,c},{b2,c}.
②设“抽取的2所学校没有大学”为事件A,则A包含的基本事件有10种,
∴抽取的2所学校没有大学的概率P(A)=.
【解析】(Ⅰ)学校总数为42,分层抽样的比例为,利用分层抽样能求出应从小学、中学、大学中分别抽取的学校数目.
(Ⅱ)①在抽取的6所学校中,3所小学分别记为a1,a2,a3,2所中学分别记为b1,b2,1所大学记为c,利用列举法能求出应抽取的2所学校的所有结果.
②设“抽取的2所学校没有大学”为事件A,则A包含的基本事件有10种,由此能求出抽取的2所学校没有大学的概率.
本题考查概率的求法,考查分层抽样、列举法、古典概型等基础知识,考查运算求解能力,是基础题.
19.【答案】解:(Ⅰ
)由题意得,
所以,
所以椭圆的标准方程是.
(Ⅱ)由题意得,直线MN的方程为,
方程联立得到,5x2-8x=0,
,
.
所以弦长|MN|为:.
【解析】(Ⅰ)利用已知条件列出a,b,c的方程组,然后求椭圆C的标准方程;
(Ⅱ)求出过右焦点F倾斜角为60°的直线方程与椭圆C的方程联立,求出M、N两点的坐标,利用弦长公式求弦长|MN|.
本题考查椭圆的简单性质以及椭圆的标准方程的求法,直线与椭圆的位置关系的综合应用,弦长公式的应用,是中档题.
20.【答案】解:(Ⅰ)可估计全市居民用水价格的平均数为
=(1×0.02+3×0.04+5×0.08+7×0.1+9×0.13+11×0.08+13×0.03+15×0.02)×2=7.96;
由于前4组的频率之和为0.04+0.08+0.16+0.2=0.48,
前5组的频率之和为0.04+0.08+0.16+0.2+0.26=0.74,
所以中位数在第5组中;
设中位数为t吨,则有(t-8)×0.13=0.02,
所以,
即所求的中位数为吨;
(Ⅱ) 设李某2017年1~6月份的月用水费y(元)与月份x的对应点为(xi,yi)(i=1,2,3,4,5,6),
它们的平均值分别为,,
则,
又点在直线上,所以,
因此y1+y2+…+y6=240,
所以7月份的水费为294.6-240=54.6元.
【解析】(Ⅰ)根据频率分布直方图求得平均数,根据中位数的两边频率相等,由此求出中位数的值;
(Ⅱ)根据回归直线过样本中心点,利用回归方程求出、,再计算对应的7月份水费.
本题考查了线性回归直线方程的应用问题,也考查了频率分布直方图的应用问题,是基础题.
21.【答案】解:(Ⅰ)由准线方程为可设抛物线C的方程y2=2px,(p>0).
求得p=,…(2分)
故所求的抛物线C的方程为:y2=x; …(4分)
(Ⅱ)证明:依题意可设过P的直线l方程为:x=my+t(m∈R),…(6分)
设A(x1,y1),B(x2,y2)
由得:y2=my+t,
依题意可知△>0恒成立,且y1•y2=-t,…(8分)
原点O落在以AB为直径的圆上.
令=0即x1x2+y1y2=(y1•y2)2+y1•y2=(-t)2-t=0.…(10分)
解得:t=1,t=0即t为常数,∴原题得证. …(12分)
(说明:直线l方程也可设为:y=k(x-t),但需加入对斜率不存在情况的讨论,否则扣1分)
【解析】(Ⅰ)直接利用抛物线的准线方程,求解抛物线C的标准方程即可;
(Ⅱ)设出直线方程与抛物线联立,转化原点O落在以AB为直径的圆上,得到=0
,求出t的值即可证明结果.
本题考抛物线的标准方程的求法,直线与椭抛物线的位置关系,抛物线方程的综合应用,考查分析问题解决问题的能力.
22.【答案】解:(Ⅰ)由题可知e==,2a+2b=10,解得a=3,b=2.
故椭圆E的标准方程为E:+=1
证明(Ⅱ):设P(x0,y0),直线PA交y轴于点C(0,y1),直线PB交y轴于点D(0,y2).
则+=1,即=4.
易知与同向,故•=y1y2.
因为A(-3,0),B(3,0),
所以得直线PA的方程为=,令x=0,则y1=;
直线PB的方程为为=,令x=0,则y2=
所以故•=y1y2==4,为定值.
【解析】(Ⅰ)由e==,2a+2b=10,解得a=3,b=2.,进而得到椭圆方程;
(Ⅱ)设P(x0,y0),直线PA交y轴于点C(0,y1),直线PB交y轴于点D(0,y2),求得直线PA,PB的方程,分别求出y1,y2,再根据向量的数量积即可证明
本题考查椭圆的方程的求法,注意运用联立直线求交点,考查向量的数量积的坐标表示,考查化简整理的运算能力,属于中档题.