【数学】2021届一轮复习人教版（文理通用）选修4-4第1讲坐标系作业 5页

对应学生用书[练案80理][练案69文]‎ 选修4－4　坐标系与参数方程 第一讲　坐标系 ‎1．(2018·江苏高考)在极坐标中，直线l的方程为ρsin(－θ)＝2，曲线C的方程为ρ＝4cosθ，求直线l被曲线C截得的弦长．‎ ‎[解析]　因为曲线C的极坐标方程为ρ＝4cosθ，‎ 所以曲线C是圆心为(2,0)，直径为4的圆，‎ 因为直线l的极坐标方程为ρsin(－θ)＝2，‎ 所以直线l过点(4,0)，倾斜角为，‎ 设A(4,0)，则A为直线l与圆C的一个交点．‎ 设另一个交点为B，则∠OAB＝.‎ 连接OB，因为OA为直径，所以∠OBA＝，‎ 所以AB＝4cos＝2.‎ 因此，直线l被曲线C截得的弦长为2.‎ ‎2．(2019·河南洛阳统考)已知圆O1和圆O2的极坐标方程分别为ρ＝2，ρ2－2ρcos(θ－)＝2.‎ ‎(1)将圆O1和圆O2的极坐标方程化为直角坐标方程；‎ ‎(2)求经过两圆交点的直线的极坐标方程．‎ ‎[解析]　(1)由ρ＝2知，ρ2＝4，所以x2＋y2＝4.‎ 因为ρ2－2ρcos(θ－)＝2，‎ 所以ρ2－2ρ(cosθcos＋sinθsin)＝2，‎ 所以x2＋y2－2x－2y－2＝0.‎ ‎(2)将两圆的直角坐标方程相减，得 经过两圆交点的直线方程为x＋y＝1.‎ 化为极坐标方程为ρcosθ＋ρsinθ＝1，‎ 即ρsin(θ＋)＝.‎ ‎3．(2019·山东省潍坊市模拟)在平面直角坐标系xOy中，曲线C的方程为(x－2)2＋(y＋1)2＝16，直线l的参数方程为(t为参数)，以坐标原点O为极点，x轴正半轴为极轴，建立极坐标系．‎ ‎(1)求直线l和曲线C的极坐标方程；‎ ‎(2)设直线l与曲线C交于A，B两点，求|AB|的值．‎ ‎[解析]　(1)由x＝y得y＝x，‎ 所以l的极坐标方程为θ＝(ρ∈R)，‎ 由(x－2)2＋(y＋1)2＝16得 x2＋y2－4x＋2y－3＝0，‎ 又因为x2＋y2＝ρ2，x＝ρcos θ，y＝ρsin θ，‎ 所以曲线C的极坐标方程为 ρ2－4ρcos θ＋2ρsin θ－3＝0.‎ ‎(2)将θ＝代入 ρ2－4ρcos θ＋2ρsin θ－3＝0，‎ 可得ρ2－6ρ＋ρ－3＝0，即ρ2－5ρ－3＝0，‎ 所以ρ1＋ρ2＝5，ρ1·ρ2＝－3，‎ 由极坐标几何意义得 ‎|AB|＝|ρ1－ρ2|＝＝＝.‎ ‎4．(2020·银川模拟)已知曲线C的参数方程为(α为参数)，以直角坐标系的原点O为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系．‎ ‎(1)求曲线C的极坐标方程；‎ ‎(2)设l1：θ＝，l2：θ＝，若l1，l2与曲线C相交于异于原点的两点A，B，求△AOB的面积．‎ ‎[解析]　(1)∵曲线C的参数方程为(α为参数)，‎ ‎∴曲线C的普通方程为(x－2)2＋(y－1)2＝5.‎ 将代入并化简得ρ＝4cosθ＋2sinθ，‎ ‎∴曲线C的极坐标方程为ρ＝4cosθ＋2sinθ.‎ ‎(2)在极坐标系中，曲线C：ρ＝4cosθ＋2sinθ，‎ ‎∴由 得|OA|＝2＋1.‎ 同理可得|OB|＝2＋.‎ 又∠AOB＝，‎ ‎∴S△AOB＝|OA|·|OB|sin∠AOB＝.‎ ‎∴△AOB的面积为.‎ ‎5．(2020·辽宁模拟)在平面直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为(t为参数)．在以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴的极坐标系中，曲线C的极坐标方程为ρ＝2cosθ.‎ ‎(1)若曲线C关于直线l对称，求a的值；‎ ‎(2)若A，B为曲线C上的两点，且∠AOB＝，求|OA|＋|OB|的最大值．‎ ‎[解析]　(1)由直线l的参数方程(t为参数)，消去参数t得直线l的普通方程为x＋2y－‎2a－1＝0.‎ 由ρ2＝x2＋y2，ρcosθ＝x，得曲线C的直角坐标方程为x2＋y2－2x＝0，‎ 即(x－1)2＋y2＝1，是一个圆，‎ 因为曲线C关于直线l对称，所以圆心(1,0)在直线x＋2y－‎2a－1＝0上，‎ 所以a＝0.‎ ‎(2)由点A，B在曲线ρ＝2cosθ上，且∠AOB＝，‎ 不妨设A(ρ1，α)，B(ρ2，α－)，‎ 则|OA|＋|OB|＝2cosα＋2cos(α－)＝3cosα＋sinα＝2sin(α＋)≤2，当sin(α＋)＝1，即α＝时取等号，‎ 所以|OA|＋|OB|的最大值为2.‎ ‎6．(2020·湖南模拟)在直角坐标系xOy中，圆C的参数方程为(t为参数)，以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线l的极坐标方程是2ρsin(α＋)＝2，曲线C1的极坐标方程为θ＝α0，其中α0满足tanα0＝2.‎ ‎(1)求圆C的极坐标方程；‎ ‎(2)若曲线C1与圆C的交点为O，P，与直线l的交点为Q，求线段PQ的长．‎ ‎[解析]　(1)圆C的普通方程为(x－1)2＋y2＝1，即x2＋y2－2x＝0，‎ 将x＝ρcosθ，x2＋y2＝ρ2代入并化简得圆C的极坐标方程为ρ＝2cosθ.‎ ‎(2)设点P的极坐标为(ρ1，θ1)，‎ 则有解得 设点Q的极坐标为(ρ2，θ2)，‎ 则有 解得 由于θ1＝θ2，所以|PQ|＝|ρ1－ρ2|＝，所以线段PQ的长为.‎ ‎7．(2019·广东省肇庆市统测)在直角坐标系xOy中，直线l1：x＝2，曲线C：(φ为参数)．以O为极点，x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，点M的极坐标为(3，)．‎ ‎(1)求直线l1和曲线C的极坐标方程；‎ ‎(2)在极坐标系中，已知射线l2：θ＝α(0<α<)与l1，C的公共点分别为A，B，且|OA|·|OB|＝8，求△MOB的面积．‎ ‎[解析]　(1)∵，‎ ‎∴直线：x＝2的极坐标方程是ρcos θ＝2，‎ 曲线C的普通方程为x2＋(y－2)2＝4，即x2＋y2－4y＝0.‎ 所以曲线C的极坐标方程为ρ＝4sin θ.‎ ‎(2)将θ＝α分别代入ρcos θ＝2，ρ＝4sin θ得：‎ ‎|OA|＝ρA＝，|OB|＝ρB＝4sin α.‎ ‎∴|OA|·|OB|＝8tan α＝8，∴tan α＝.‎ ‎∵0<α<，∴α＝.‎ ‎∴|OB|＝2，|OM|＝3，∠MOB＝.‎ 所以S△MOB＝|OM||OB|sin ∠MOB ‎＝×3×2×＝.‎ 即△AOB的面积为.‎ ‎8．(2020·山西太原阶段测评)在平面直角坐标系xOy中，以坐标原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系．曲线C1的极坐标方程为ρ＝3sin θ，曲线C2的参数方程为(t∈R)．‎ ‎(1)写出曲线C1的直角坐标方程与曲线C2的普通方程；‎ ‎(2)若射线θ＝α，α∈(0，)与曲线C1，C2分别交于A，B两点(不是原点)，求的最大值．‎ ‎[解析]　(1)C1：ρ2＝3ρsin θ⇒x2＋y2－3y＝0，‎ C2：x＋y－2＝0.‎ ‎(2)C2的极坐标方程为ρ＝，‎ ‎∴|OA|＝3sin α，|OB|＝，‎ ＝(sin2α＋sin αcos α)‎ ‎＝(sin 2α－cos 2α＋1)‎ ‎＝sin(2α－)＋，‎ 当2α－＝，即α＝时，‎ 取得最大值.‎