【数学】2020届一轮复习人教B版（理）16解三角形及应用作业 8页

天天练 16　解三角形及应用 小题狂练⑯ 小题是基础　练小题　提分快 一、选择题 ‎1．[2019·长沙模拟]已知△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若A＝，B＝，a＝1，则b＝(　　)‎ A．2 B．1‎ C. D. 答案：D 解析：由正弦定理得b＝＝＝.‎ ‎2．[2018·全国卷Ⅲ]△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c.若△ABC的面积为，则C＝(　　)‎ A. B. C. D. 答案：C 解析：∵S＝absin C＝＝＝abcos C，∴ sin C＝cos C，即tan C＝1.‎ ‎∵ C∈(0，π)，∴ C＝.‎ 故选C.‎ ‎3．在△ABC中，已知C＝，b＝4，△ABC的面积为2，则c＝(　　)‎ A．2 B. C．2 D．2 答案：D 解析：由S＝absinC＝‎2a×＝2，解得a＝2，由余弦定理得c2＝a2＋b2－2abcosC＝12，故c＝2.‎ ‎4．[2019·广东广雅中学、江西南昌二中联合测试]已知a，b，c 为△ABC的三个角A，B，C所对的边，若3bcosC＝c(1－3cosB)，则sinCsinA＝(　　)‎ A．2：3 B．4：3‎ C．3：1 D．3：2‎ 答案：C 解析：由正弦定理得3sinBcosC＝sinC－3sinCcosB,3sin(B＋C)＝sinC,3sinA＝sinC，所以sinC：sinA＝3：1.故选C.‎ ‎5．[2019·成都摸底测试]在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且B＝‎2C,2bcosC－2ccosB＝a，则角A的大小为(　　)‎ A. B. C. D. 答案：A 解析：由正弦定理得2sinBcosC－2sinCcosB＝sinA＝sin(B＋C)＝sinBcosC＋cosBsinC，∴sinBcosC＝3sinCcosB，∴sin2CcosC＝3sinCcos‎2C，∴2cos‎2C＝3(cos‎2C－sin‎2C)，求得tan‎2C＝.∵B＝‎2C，∴C为锐角，∴tanC＝，∴C＝，B＝，A＝.故选A.‎ ‎6．[2019·甘肃西北师范大学附属中学诊断]在△ABC中，内角A，B，C的对边分别是a，b，c，其面积S＝，则C的大小是(　　)‎ A．30° B．90°‎ C．45° D．135°‎ 答案：C 解析：由题意及余弦定理得S＝＝＝absinC，故tanC＝1，而C∈(0，π)，因此C＝45°.故选C.‎ ‎7．[2019·安徽皖江名校大联考]在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c.若a＝c＝＋，且∠A＝75°，则b＝(　　)‎ A．2 B．4－2 C．4＋2 D.－ 答案：A 解析：在△ABC中，由a＝c知△ABC为等腰三角形，所以b＝‎2c·cosA＝2×(＋)×＝2.故选A.‎ ‎8．如图，测量河对岸的塔高AB时可以选与塔底B 在同一水平面内的两个测点C与D，测得∠BCD＝15°，∠BDC＝30°，CD＝‎30 m，并在点C测得塔顶A的仰角为60°，则塔高AB等于(　　)‎ A．‎5 m B．‎15 m C．‎5 m D．‎15 m 答案：D 解析：在△BCD中，∠CBD＝180°－15°－30°＝135°.‎ 由正弦定理得＝，解得BC＝15(m)．‎ 在Rt△ABC中，‎ AB＝BCtan∠ACB＝15×＝15(m)．‎ 二、非选择题 ‎9．[2019·湖南长沙模拟]△ABC的周长等于2(sinA＋sinB＋sinC)，则其外接圆半径等于________．‎ 答案：1‎ 解析：设外接圆半径为R，已知2(sinA＋sinB＋sinC)＝a＋b＋c，得＝2①.根据正弦定理知a＋b＋c＝2RsinA＋2Rsinb＋2Rsinc，代入①式得2R＝2，即R＝1.‎ ‎10．[2019·上海杨浦区模拟]若△ABC中，a＋b＝4，C＝30°，则△ABC面积的最大值是____________．‎ 答案：1‎ 解析：在△ABC中，∵C＝30°，a＋b＝4，∴△ABC的面积S＝ab·sinC＝ab·sin30°＝ab≤×2＝×4＝1，当且仅当a＝b＝2时取等号．因此△ABC面积的最大值是1.‎ ‎11．[2019·上海长宁、嘉定区模拟]在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c.若(a＋b＋c)(a－b＋c)＝ac，则B＝________.‎ 答案： 解析：因为(a＋b＋c)(a－b＋c)＝ac，整理得a2＋c2－b2＝－ac ‎，所以＝－，即cosB＝－又B∈(0，π)，所以B＝.‎ ‎12．[2019·贵阳监测]△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且满足a＝4，asinB＝bcosA，则△ABC面积的最大值是________．‎ 答案：4 解析：由正弦定理可得sinAsinB＝sinBcosA，得sinA＝cosA，则tanA＝，所以在△ABC中，A＝.又a2＝b2＋c2－2bccosA＝b2＋c2－bc≥2bc－bc＝bc，所以bc≤16(当且仅当b＝c时取等号)．所以S△ABC＝bcsinA≤×16×＝4，所以△ABC面积的最大值为4.‎ 课时测评⑯ 综合提能力　课时练　赢高分 一、选择题 ‎1．[2019·河北联考]△ABC中，内角A，B，C对应的边分别为a，b，c，c＝‎2a，bsinB－asinA＝asinC，则sinB的值为(　　)‎ A．－　　 B. C. D. 答案：C 解析：由正弦定理，得b2－a2＝ac，又c＝‎2a，所以b2＝‎2a2，所以cosB＝＝，所以sinB＝.‎ ‎2．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若＝，(b＋c＋a)(b＋c－a)＝3bc，则△ABC的形状为(　　)‎ A．直角三角形 B．等腰非等边三角形 C．等边三角形 D．钝角三角形 答案：C 解析：∵＝，∴＝，∴b＝c.‎ 又(b＋c＋a)(b＋c－a)＝3bc，∴b2＋c2－a2＝bc，‎ ‎∴cosA＝＝＝.‎ ‎∵A∈(0，π)，∴A＝，∴△ABC是等边三角形．‎ ‎3．[2019·赣州模拟]在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且满足2acosA＝bcosC＋ccosB，b＋c＝4，则a的最小值为(　　)‎ A．2 B．2 C．3 D．2 答案：A 解析：由题意及正弦定理得2sinAcosA＝sinBcosC＋sinCcosB＝sinA，故cosA＝，由余弦定理得cosA＝＝＝，‎ 所以a2＝16－3bc≥16－3×2＝4(当且仅当b＝c＝2时，等号成立)，所以a的最小值为2.故选A.‎ ‎4．[2019·天津河东区模拟]在△ABC中，b＝5，B＝，tanA＝2，则a的值是(　　)‎ A．10 B．2 C. D. 答案：B 解析：∵在△ABC中，tanA＝＝2，sin‎2A＋cos‎2A＝1，‎ ‎∴sinA＝.由b＝5，B＝及正弦定理可得＝，解得a＝2.故选B.‎ ‎5．已知△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若cosC＝，bcosA＋acosB＝2，则△ABC的外接圆的面积为(　　)‎ A．4π B．8π C．9π D．36π 答案：C 解析：因为bcosA＋acosB＝2，所以由余弦定理可得，b×‎ ＋a×＝2，整理解得c＝2，又cosC＝，可得sinC＝＝.设△ABC的外接圆的半径为R，则2R＝＝6，所以R＝3，所以△ABC的外接圆的面积S＝πR2＝9π.‎ ‎6．已知△ABC的一个内角为120°，A，B，C所对的边分别为a，b，c，且满足a＝b＋4，c＝b－4，则△ABC中最小角的余弦值为(　　)‎ A. B. C. D. 答案：C 解析：因为a＝b＋4，且c＝b－4，所以A>B>C，则A＝120°，由余弦定理a2＝b2＋c2－2bccosA，得(b＋4)2＝b2＋(b－4)2－2b×(b－4)×，得b＝10，所以a＝14，c＝6，cosC＝＝，故选C.‎ ‎7．[2019·广东佛山教学质量检测]在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c.若a＝5，B＝，cosA＝，则△ABC的面积S＝(　　)‎ A. B．10‎ C．10 D．20 答案：C 解析：由cosA＝得sinA＝，由正弦定理得＝⇒b＝7，又sinC＝sin(A＋B)＝，‎ 所以△ABC的面积S＝×5×7×＝10.‎ ‎8．[2019·河南联考]在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c.若A＝，＝2sinAsinB，且b＝6，则c＝(　　)‎ A．2 B．3‎ C．4 D．6‎ 答案：C 解析：由余弦定理得a2＝b2＋c2－2bc×＝b2＋c2－bc，又＝2sinAsinB，由正弦定理可得‎3c2＝2ab·，即a2＋b2－‎4c2＝0，‎ 则b2＋c2－bc＋b2－‎4c2＝0，又b＝6，∴c2＋‎2c－24＝0，解得c＝4，c＝－6(舍)．故选C.‎ 二、非选择题 ‎9．已知△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若a，b是方程x2－2x＋2＝0的两个根，且2cos(A＋B)＝1，则c＝________.‎ 答案： 解析：因为a，b是方程x2－2x＋2＝0的两个根，所以a＋b＝2，ab＝2，又2cos(A＋B)＝1，所以cosC＝－，由余弦定理得，c2＝a2＋b2－2abcosC＝(a＋b)2－ab＝10，得c＝.‎ ‎10．[2019·郑州模拟]如图，一栋建筑物AB的高为(30－10)米，在该建筑物的正东方向有一个通信塔CD，在它们之间的点M(B，M，D三点共线)处测得楼顶A，塔顶C的仰角分别是15°和60°，在楼顶A处测得塔顶C的仰角是30°，则通信塔CD的高为________米．‎ 答案：60‎ 解析：在Rt△ABM中，AM＝＝＝＝20，过点A作AN⊥CD于点N，在Rt△ACN中，因为∠CAN＝30°，所以∠ACN＝60°，又在Rt△CMD中，∠CMD＝60°，所以∠MCD＝30°，所以∠ACM＝30°，在△AMC中，∠AMC＝105°，所以＝＝，所以AC＝60＋20，所以CN＝30＋10，所以CD＝DN＋CN＝AB＋CN＝30－10＋30＋10＝60.‎ ‎11．[2018·全国卷Ⅰ]在平面四边形ABCD中，∠ADC＝90°，∠A＝45°，AB＝2，BD＝5.‎ ‎(1)求cos∠ADB；‎ ‎(2)若DC＝2，求BC.‎ 解析：(1)在△ABD中，由正弦定理得＝，‎ 即＝，所以sin∠ADB＝.‎ 由题设知，∠ADB<90°，所以cos∠ADB＝ ＝.‎ ‎(2)由题设及(1)知，cos∠BDC＝sin∠ADB＝.‎ 在△BCD中，由余弦定理得BC2＝BD2＋DC2－2BD·DC·cos∠BDC＝25＋8－2×5×2×＝25，‎ 所以BC＝5.‎