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  • 2021-06-15 发布

【数学】2020届一轮复习(文理合用)第6章第7讲数学归纳法(理)作业

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对应学生用书[练案45理]‎ 第七讲 数学归纳法(理)‎ A组基础巩固 一、选择题 ‎1.记凸k边形的内角和为f(k),则凸k+1边形的内角和f(k+1)=f(k)+( B )‎ A.    B.π   ‎ C.π    D.2π ‎2.用数学归纳法证明命题“当n是正奇数时,xn+yn能被x+y整除”,在第二步时,正确的证法是( D )‎ A.假设n=k(k∈N+)时命题成立,证明n=k+1时命题成立 B.假设n=k(k是正奇数)时命题成立,证明n=k+1时命题成立 C.假设n=2k+1(k∈N+)时命题成立,证明n=k+1时命题成立 D.假设n=k(k是正奇数)时命题成立,证明n=k+2时命题成立 ‎[解析] 相邻两个正奇数相差2,故D选项正确.‎ ‎3.用数学归纳法证明“2n>n2+1对于n≥n0的正整数n都成立”时,第一步证明中的起始值n0应取( C )‎ A.2    B.3   ‎ C.5    D.6‎ ‎[解析] 当n=1时,21=2=12+1,‎ 当n=2时,22=4<22+1=5,‎ 当n=3时,23=8<32+1=10,‎ 当n=4时,24=16<42+1=17,‎ 当n=5时,25=32>52+1=26,‎ 当n=6时,26=64>62+1=37,故起始值n0应取5.‎ ‎4.用数学归纳法证明1+a+a2+…+an+1=(a≠1,n∈N*),在验证n=1时,等式左边的项是( C )‎ A.1    B.1+a C.1+a+a2    D.1+a+a2+a3‎ ‎5.用数学归纳证明12+22+32+…+(n-1)2+n2+(n-1)2+…+32+22+12=时,第二步证明由n=k到n=k+1时,左边应添加的式子是( B )‎ A.(k+1)2‎ B.(k+1)2+k2‎ C.(k+1)2+2k2‎ D.(k+1)[2(k+1)2+1]‎ ‎[解析] 观察已知等式知,由n=k到n=k+1时应添加的式子是(k+1)2+k2.故选B.‎ ‎6.(2018·河南驻马店名校联考)某个命题和正整数n有关,如果当n=k,k为正整数时命题成立,那么可推得当n=k+1时,命题也成立.现已知当n=7时命题不成立,那么可以推得( A )‎ A.当n=6时该命题不成立 B.当n=6时该命题成立 C.当n=8时该命题不成立 D.当n=8时该命题成立 ‎[解析] 由原命题与其逆否命题的真假性相同,得已知当n=7时命题不成立,那么可以推得当n=6时该命题不成立.‎ ‎7.设n为正整数,f(n)=1+++…+,经计算得f(2)=,f(4)>2,f(8)>,f(16)>3,f(32)>,观察上述结果,可推测出一般结论( C )‎ A.f(2n)>    B.f(n2)≥ C.f(2n)≥    D.以上都不对 ‎[解析] f(2)=,f(4)=f(22)>,‎ f(8)=f(23)>,f(16)=f(24)>,‎ f(32)=f(25)>,‎ 由此可推知f(2n)≥,故选C.‎ ‎8.对于不等式的过程中,由n=k推导n=k+1时,不等式的左边增加的式子是   .‎ ‎[解析] 不等式的左边增加的式子是+-=,故填.‎ ‎12.设数列{an}的前n项和为Sn,且对任意的自然数n都有(Sn-1)2=anSn,通过计算S1,S2,S3,猜想Sn=   .‎ ‎[解析] 由(S1-1)2=S,得S1=;‎ 由(S2-1)2=(S2-S1)S2,得S2=;‎ 由(S3-1)2=(S3-S2)S3,得 S3=.‎ 猜想Sn=.‎ 三、解答题 ‎13.求证:12-22+32-42+…+(2n-1)2-(2n)2=-n(2n+1)(n∈N*).‎ ‎[证明] ①n=1时,左边=12-22=-3,右边=-3,等式成立.‎ ‎②假设n=k时,等式成立,即 ‎12-22+32-42+…+(2k-1)2-(2k)2=-k(2k+1).‎ 当n=k+1时,12-22+32-42+…+(2k-1)2-(2k)2+(2k+1)2-(2k+2)2=-k(2k+1)+(2k+1)2-(2k+2)2=-k(2k+1)-(4k+3)=-(2k2+5k+3)=-(k+1)[2(k+1)+1],所以n=k+1时,等式也成立.‎ 由①②得,等式对任何n∈N*都成立.‎ ‎14.设n∈N*,n>1,求证:1+++…+>.‎ ‎[解析] 解法一:(用数学归纳法证明)‎ ‎①当n=2时,不等式左边=1+>=右边.‎ ‎②假设n=k(k>1,k∈N*)时,不等式成立,‎ 即1+++…+>,‎ 那么当n=k+1时,‎ 有1+++…++>+=>==.‎ 所以当n=k+1时,不等式也成立.‎ 由①②可知对任意n∈N*,n>1,‎ ‎1+++…+>均成立.‎ 解法二:(构造数列法)‎ 记an=1+++…+-,‎ 则a2=1+-=1->0,‎ 且当n≥2时an+1-an=-+ ‎==>0,‎ ‎∴当n>1时{an}是递增数列,‎ ‎∴当n>1时an>0,即1++…+>.‎ B组能力提升 ‎1.(2018·河南中原名校质量考评)已知f(n)=12+22+32+…+(2n)2,则f(k+1)与f(k)的关系是( A )‎ A.f(k+1)=f(k)+(2k+1)2+(2k+2)2‎ B.f(k+1)=f(k)+(k+1)2‎ C.f(k+1)=f(k)+(2k+2)2‎ D.f(k+1)=f(k)+(2k+1)2‎ ‎[解析] f(k+1)=12+22+32+…+(2k)2+(2k+1)2+(2k+2)2=f(k)+(2k+1)2+(2k+2)2.故选A.‎ ‎2.用数学归纳法证明不等式1+++…+>(n∈N*)成立,其初始值至少应取( B )‎ A.7    B.8   ‎ C.9    D.10‎ ‎[解析] ∵左边=1+++…+=2-,代入验证可知n的最小值为8.故选B.‎ ‎3.若k棱柱有f(k)个对角面,则k+1棱柱的对角面的个数为( B )‎ A.2f(k)    B.f(k)+k-1‎ C.f(k)+k    D.f(k)+2‎ ‎[解析] 增加一条棱与前面k条棱中不相邻的棱作对角面,有k-2个,同时,一个侧面变成了对角面,故共增加了k-2+1=k-1个对角面.故选B.‎ ‎4.(2018·辽宁葫芦岛期末)在数列{an}中,a1=,且Sn=n(2n-1)an,通过求a2,a3,a4,猜想an的表达式为( C )‎ A.    B. C.    D. ‎[解析] 由a1=,Sn=n(2n-1)an,‎ 得S2=2(2×2-1)a2,‎ 即a1+a2=6a2,‎ ‎∴a2=a1==.‎ ‎ 又S3=3(2×3-1)a3,得a3==,同理得a4=,…,猜想an=.‎ ‎5.数列{an}满足Sn=2n-an(n∈N*).‎ ‎(1)计算a1,a2,a3,a4,并由此猜想通项公式an;‎ ‎(2)用数学归纳法证明(1)中的猜想.‎ ‎[解析] (1)当n=1时,a1=S1=2-a1,∴a1=1.‎ 当n=2时,a1+a2=S2=2×2-a2,∴a2=.‎ 当n=3时,a1+a2+a3=S3=2×3-a3,∴a3=.‎ 当n=4时,a1+a2+a3+a4=S4=2×4-a4,‎ ‎∴a4=.由此猜想an=(n∈N*).‎ ‎(2)证明:①当n=1时,左边=a1=1,‎ 右边==1,左边=右边,结论成立.‎ ‎②假设n=k(k≥1且k∈N*)时,结论成立,‎ 即ak=,那么当n=k+1时,‎ ak+1=Sk+1-Sk=2(k+1)-ak+1-2k+ak=2+ak-ak+1,‎ ‎∴2ak+1=2+ak,∴ak+1===,‎ 这表明n=k+1时,结论成立,‎ 由①②知猜想an=(n∈N*)成立.‎ 注本题不用“归纳——猜想——证明”的方法也可求出数列通项,‎ ‎∵Sn=2n-an,‎ ‎∴Sn+1=2(n+1)-an+1,‎ 两式相减得an+1=2-an+1+an,即an+1=an+1,‎ ‎∴an+1-2=(an-2),又S1=a1=2-a1,∴a1=1,‎ ‎∴{an-2}是首项为-1,公比为的等比数列,‎ ‎∴an-2=-,∴an=2-.‎