【数学】2020届一轮复习（文理合用）第6章第7讲数学归纳法（理）作业 7页

对应学生用书[练案45理]‎ 第七讲　数学归纳法(理)‎ A组基础巩固 一、选择题 ‎1．记凸k边形的内角和为f(k)，则凸k＋1边形的内角和f(k＋1)＝f(k)＋(　B　)‎ A．　　　 B．π　　　‎ C．π　　　 D．2π ‎2．用数学归纳法证明命题“当n是正奇数时，xn＋yn能被x＋y整除”，在第二步时，正确的证法是(　D　)‎ A．假设n＝k(k∈N＋)时命题成立，证明n＝k＋1时命题成立 B．假设n＝k(k是正奇数)时命题成立，证明n＝k＋1时命题成立 C．假设n＝2k＋1(k∈N＋)时命题成立，证明n＝k＋1时命题成立 D．假设n＝k(k是正奇数)时命题成立，证明n＝k＋2时命题成立 ‎[解析]　相邻两个正奇数相差2，故D选项正确．‎ ‎3．用数学归纳法证明“2n>n2＋1对于n≥n0的正整数n都成立”时，第一步证明中的起始值n0应取(　C　)‎ A．2　　　 B．3　　　‎ C．5　　　 D．6‎ ‎[解析]　当n＝1时，21＝2＝12＋1，‎ 当n＝2时，22＝4<22＋1＝5，‎ 当n＝3时，23＝8<32＋1＝10，‎ 当n＝4时，24＝16<42＋1＝17，‎ 当n＝5时，25＝32>52＋1＝26，‎ 当n＝6时，26＝64>62＋1＝37，故起始值n0应取5.‎ ‎4．用数学归纳法证明1＋a＋a2＋…＋an＋1＝(a≠1，n∈N*)，在验证n＝1时，等式左边的项是(　C　)‎ A．1　　　 B．1＋a C．1＋a＋a2　　　 D．1＋a＋a2＋a3‎ ‎5．用数学归纳证明12＋22＋32＋…＋(n－1)2＋n2＋(n－1)2＋…＋32＋22＋12＝时，第二步证明由n＝k到n＝k＋1时，左边应添加的式子是(　B　)‎ A．(k＋1)2‎ B．(k＋1)2＋k2‎ C．(k＋1)2＋2k2‎ D．(k＋1)[2(k＋1)2＋1]‎ ‎[解析]　观察已知等式知，由n＝k到n＝k＋1时应添加的式子是(k＋1)2＋k2.故选B．‎ ‎6．(2018·河南驻马店名校联考)某个命题和正整数n有关，如果当n＝k，k为正整数时命题成立，那么可推得当n＝k＋1时，命题也成立．现已知当n＝7时命题不成立，那么可以推得(　A　)‎ A．当n＝6时该命题不成立 B．当n＝6时该命题成立 C．当n＝8时该命题不成立 D．当n＝8时该命题成立 ‎[解析]　由原命题与其逆否命题的真假性相同，得已知当n＝7时命题不成立，那么可以推得当n＝6时该命题不成立．‎ ‎7．设n为正整数，f(n)＝1＋＋＋…＋，经计算得f(2)＝，f(4)>2，f(8)>，f(16)>3，f(32)>，观察上述结果，可推测出一般结论(　C　)‎ A．f(2n)>　　　 B．f(n2)≥ C．f(2n)≥　　　 D．以上都不对 ‎[解析]　f(2)＝，f(4)＝f(22)>，‎ f(8)＝f(23)>，f(16)＝f(24)>，‎ f(32)＝f(25)>，‎ 由此可推知f(2n)≥，故选C．‎ ‎8．对于不等式的过程中，由n＝k推导n＝k＋1时，不等式的左边增加的式子是　 　.‎ ‎[解析]　不等式的左边增加的式子是＋－＝，故填.‎ ‎12．设数列{an}的前n项和为Sn，且对任意的自然数n都有(Sn－1)2＝anSn，通过计算S1，S2，S3，猜想Sn＝　 　.‎ ‎[解析]　由(S1－1)2＝S，得S1＝；‎ 由(S2－1)2＝(S2－S1)S2，得S2＝；‎ 由(S3－1)2＝(S3－S2)S3，得 S3＝.‎ 猜想Sn＝.‎ 三、解答题 ‎13．求证：12－22＋32－42＋…＋(2n－1)2－(2n)2＝－n(2n＋1)(n∈N*)．‎ ‎[证明]　①n＝1时，左边＝12－22＝－3，右边＝－3，等式成立．‎ ‎②假设n＝k时，等式成立，即 ‎12－22＋32－42＋…＋(2k－1)2－(2k)2＝－k(2k＋1)．‎ 当n＝k＋1时，12－22＋32－42＋…＋(2k－1)2－(2k)2＋(2k＋1)2－(2k＋2)2＝－k(2k＋1)＋(2k＋1)2－(2k＋2)2＝－k(2k＋1)－(4k＋3)＝－(2k2＋5k＋3)＝－(k＋1)[2(k＋1)＋1]，所以n＝k＋1时，等式也成立．‎ 由①②得，等式对任何n∈N*都成立．‎ ‎14．设n∈N*，n>1，求证：1＋＋＋…＋>.‎ ‎[解析]　解法一：(用数学归纳法证明)‎ ‎①当n＝2时，不等式左边＝1＋>＝右边．‎ ‎②假设n＝k(k>1，k∈N*)时，不等式成立，‎ 即1＋＋＋…＋>，‎ 那么当n＝k＋1时，‎ 有1＋＋＋…＋＋>＋＝>＝＝.‎ 所以当n＝k＋1时，不等式也成立．‎ 由①②可知对任意n∈N*，n>1，‎ ‎1＋＋＋…＋>均成立．‎ 解法二：(构造数列法)‎ 记an＝1＋＋＋…＋－，‎ 则a2＝1＋－＝1－>0，‎ 且当n≥2时an＋1－an＝－＋ ‎＝＝>0，‎ ‎∴当n>1时{an}是递增数列，‎ ‎∴当n>1时an>0，即1＋＋…＋>.‎ B组能力提升 ‎1．(2018·河南中原名校质量考评)已知f(n)＝12＋22＋32＋…＋(2n)2，则f(k＋1)与f(k)的关系是(　A　)‎ A．f(k＋1)＝f(k)＋(2k＋1)2＋(2k＋2)2‎ B．f(k＋1)＝f(k)＋(k＋1)2‎ C．f(k＋1)＝f(k)＋(2k＋2)2‎ D．f(k＋1)＝f(k)＋(2k＋1)2‎ ‎[解析]　f(k＋1)＝12＋22＋32＋…＋(2k)2＋(2k＋1)2＋(2k＋2)2＝f(k)＋(2k＋1)2＋(2k＋2)2.故选A．‎ ‎2．用数学归纳法证明不等式1＋＋＋…＋>(n∈N*)成立，其初始值至少应取(　B　)‎ A．7　　　 B．8　　　‎ C．9　　　 D．10‎ ‎[解析]　∵左边＝1＋＋＋…＋＝2－，代入验证可知n的最小值为8.故选B．‎ ‎3．若k棱柱有f(k)个对角面，则k＋1棱柱的对角面的个数为(　B　)‎ A．2f(k)　　　 B．f(k)＋k－1‎ C．f(k)＋k　　　 D．f(k)＋2‎ ‎[解析]　增加一条棱与前面k条棱中不相邻的棱作对角面，有k－2个，同时，一个侧面变成了对角面，故共增加了k－2＋1＝k－1个对角面．故选B．‎ ‎4．(2018·辽宁葫芦岛期末)在数列{an}中，a1＝，且Sn＝n(2n－1)an，通过求a2，a3，a4，猜想an的表达式为(　C　)‎ A．　　　 B． C．　　　 D． ‎[解析]　由a1＝，Sn＝n(2n－1)an，‎ 得S2＝2(2×2－1)a2，‎ 即a1＋a2＝6a2，‎ ‎∴a2＝a1＝＝.‎ ‎ 又S3＝3(2×3－1)a3，得a3＝＝，同理得a4＝，…，猜想an＝.‎ ‎5．数列{an}满足Sn＝2n－an(n∈N*)．‎ ‎(1)计算a1，a2，a3，a4，并由此猜想通项公式an；‎ ‎(2)用数学归纳法证明(1)中的猜想．‎ ‎[解析]　(1)当n＝1时，a1＝S1＝2－a1，∴a1＝1.‎ 当n＝2时，a1＋a2＝S2＝2×2－a2，∴a2＝.‎ 当n＝3时，a1＋a2＋a3＝S3＝2×3－a3，∴a3＝.‎ 当n＝4时，a1＋a2＋a3＋a4＝S4＝2×4－a4，‎ ‎∴a4＝.由此猜想an＝(n∈N*)．‎ ‎(2)证明：①当n＝1时，左边＝a1＝1，‎ 右边＝＝1，左边＝右边，结论成立．‎ ‎②假设n＝k(k≥1且k∈N*)时，结论成立，‎ 即ak＝，那么当n＝k＋1时，‎ ak＋1＝Sk＋1－Sk＝2(k＋1)－ak＋1－2k＋ak＝2＋ak－ak＋1，‎ ‎∴2ak＋1＝2＋ak，∴ak＋1＝＝＝，‎ 这表明n＝k＋1时，结论成立，‎ 由①②知猜想an＝(n∈N*)成立．‎ 注本题不用“归纳——猜想——证明”的方法也可求出数列通项，‎ ‎∵Sn＝2n－an，‎ ‎∴Sn＋1＝2(n＋1)－an＋1，‎ 两式相减得an＋1＝2－an＋1＋an，即an＋1＝an＋1，‎ ‎∴an＋1－2＝(an－2)，又S1＝a1＝2－a1，∴a1＝1，‎ ‎∴{an－2}是首项为－1，公比为的等比数列，‎ ‎∴an－2＝－，∴an＝2－.‎