2020届二轮复习计数原理学案（全国通用） 16页

计数原理 ‎1　两个计数原理的灵活应用 计数问题是数学中的重要研究对象，除了分类加法计数原理和分步乘法计数原理的理论支持，对于较复杂的计数问题要针对其问题特点，灵活的运用列举法、列表法、树形图法等方法来帮助解决，使问题的解决更加实用、直观.下面通过典例来说明.1.列举法 例1　某公司电脑采购员计划用不超过300元的资金购买单价分别为20元、40元的鼠标和键盘，根据需要，鼠标至少买5个，键盘至少买3个，则不同的选购方式共有(　　)‎ A.7种 B.8种 C.9种 D.10种 解析　依据选购鼠标和键盘的不同个数分类列举求解.‎ 若买5个鼠标，则可买键盘3、4、5个；‎ 若买6个鼠标，则可买键盘3、4个；‎ 若买7个鼠标，则可买键盘3、4个；‎ 若买8个鼠标，则可买键盘3个；‎ 若买9个鼠标，则可买键盘3个.‎ 根据分类加法计数原理，不同的选购方式共有3＋2＋2＋1＋1＝9种.故选C.‎ 答案　C 点评　本题背景中的数量不少，要找出关键数字，通过恰当分类和列举可得.列举看似简单，但在解决问题中显示出其实用性，并且我们还可以通过列举的方法去寻求问题中的规律.‎ ‎2.树形图法 例2　甲、乙、丙三人传球，从甲开始传出，并记为第一次，经过5次传球，球恰好回到甲手中，则不同的传球方法的种数是(　　)‎ A.6 B.8 C.10 D.15‎ 解析　本题数字不大，可用树形图法，结果一目了然.‎ 如图，易知选C.‎ 答案　C 点评　应用两个计数原理时，如果涉及的问题较抽象，且数量不太多时，可以用树状结构直观体现.‎ ‎3.列表法 例3　四个人各写一张贺年卡，放在一起，然后每个人取一张不是自己写的贺年卡，共有多少种不同的取法？‎ 解　把四个人分别编号①、②、③、④，他们写的4张贺年卡的各种方法全部列举出来，如下表：‎ 四个人 取贺年卡的方法 ‎①‎ ‎2‎ ‎2‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎3‎ ‎3‎ ‎4‎ ‎4‎ ‎4‎ ‎②‎ ‎1‎ ‎3‎ ‎4‎ ‎1‎ ‎4‎ ‎4‎ ‎1‎ ‎3‎ ‎3‎ ‎③‎ ‎4‎ ‎4‎ ‎1‎ ‎4‎ ‎1‎ ‎2‎ ‎2‎ ‎1‎ ‎2‎ ‎④‎ ‎3‎ ‎1‎ ‎3‎ ‎2‎ ‎2‎ ‎1‎ ‎3‎ ‎2‎ ‎1‎ 方法编号 ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎4‎ ‎5‎ ‎6‎ ‎7‎ ‎8‎ ‎9‎ 由表格可知，共有9种不同的方法.‎ 点评　本题是一个错排问题，难以直接运用两个计数原理计算.借助表格，把各种情况一一列出，使问题直观解决.‎ ‎4.直接法 例4　已知某容器中，H有3种同位素，Cl有2种同位素，Na有3种同位素，O有4种同位素，请问共可组成多少种HCl和NaOH?‎ 解　因为HCl分子由两种元素构成，所以分两步完成：‎ 第1步，选择氢元素，共有3种；‎ 第2步，选择氯元素，共有2种.‎ 由分步乘法计数原理得出有6种HCl.‎ 同理，对于NaOH而言，分三步完成：‎ 第1步，选择钠元素，有3种选法；‎ 第2步，选择氧元素，有4种选法；‎ 第3步，选择氢元素，有3种选法.‎ 由分步乘法计数原理知，‎ 共有NaOH种数为3×4×3＝36.‎ 点评　当问题情景中的规律明显，已符合分类加法计数原理或分步乘法计数原理中的某一类型时，可直接应用公式计算结果，但此法的关键是分清是“分类”还是“分步”问题.‎ ‎2　排列、组合的破解之术 排列、组合，说它难吧，其实挺简单的，就是分析事件的逻辑步骤，然后用乘法原理、加法 原理计算就可.说简单吧，排列、组合却是同学们(包括很多学习很好的同学)最没把握的事情，同样难度的几道题，做顺了，三下五除二，几分钟内解决问题；做不顺，则如一团乱麻，很长时间也理不顺思路.下面谈谈破解常见排列、组合模型的常用方法！‎ 一、特殊元素——优先法 对于有特殊要求的元素的排列、组合问题，一般应对有特殊要求的元素优先考虑.‎ 例1　将数字1,2,3,4,5,6排成一列，记第i个数为ai(i＝1,2，…，6)，若a1≠1，a3≠3，a5≠5，a1