山西省太原市实验中学2019-2020学年高二12月月考数学（文）试卷 含答案 14页

文数试题 一．选择题（每题 4 分，共 10 小题） 1．命题“∃x0∈R， ”的否定形式是（　　） A．∃x0∈R， B．∃x0∈R， C．∀x∈R，x2＝1 D．∀x∈R，x2≠1 2．如果命题“￢（p 或 q）”为假命题，则（　　） A．p、q 均为真命题 B．p、q 均为假命题 C．p、q 中至少有一个为真命题 D．p、q 中至多有一个为真命题 3．已知直线 x﹣ y﹣ ＝0 经过椭圆 C： + ＝1（a＞b＞0）的焦点和顶点，则椭圆 C 的离心率为（　　） A． B． C． D． 4．“方程 ＝1 表示的曲线为椭圆”是“2＜m＜6”的（　　） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 5．椭圆 ＝1 的离心率为 ，则 k 的值为（　　） A．﹣21 B．21 C．﹣ 或 21 D． 或 21 6．设命题 P：∀n∈N，n2≤2n，则￢P 为（　　） A．∃n∈N，n2≤2n B．∀n∈N，n2＞2n C．∃n∈N，n2＞2n D．∃n∈N，n2＝2n 7．已知经过椭圆 ＝1 的右焦点 F2 的直线交椭圆于 A，B 两点，F1 是椭圆的左焦点， 则△AF1B 的周长为（　　） A．10 B．20 C．30 D．40 8．命题 p：∀x∈R，x2+1＞0，命题 q：∃θ∈R，sin2θ+cos2θ＝1.5，则下列命题中真命题是（　　） A．p∧q B．￢p∧q C．￢p∨q D．p∧（￢q） 9．“m＝2”是“椭圆 +y2＝1 离心率为 ”的（　　） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分又不必要条件 10．有下列四个命题： ①“若 x+y＝0，则 x，y 互为相反数”的逆命题； ②“全等三角形的面积相等”的否命题； ③“若 q≤1，则 x2+2x+q＝0 有实根”的逆否命题； ④“直角三角形有两个角是锐角”的逆命题； 其中真命题为（　　） A．①② B．②③ C．①③ D．③④ 二．填空题（每题 3 分，共 4 小题） 11．已知 P 是椭圆 ＝1 上的一点，F1，F2 是椭圆的两个焦点，当∠F1PF2＝ 时，则△ PF1F2 的面积为　 　． 12．直线 l1：ax+2y﹣10＝0 与直线 l2：2x+（a+3）y+5＝0 平行的充要条件是　 　． 13．在平面直角坐标系 xOy 中，圆 C 的方程为 x2+y2﹣8x+15＝0，若直线 y＝kx﹣2 上至少存 在一点，使得以该点为圆心，1 为半径的圆与圆 C 有公共点，则 k 的最大值是　 　． 14．已知平面 α 截球 O 的球面所得圆的面积为 π，O 到 α 的距离为 3，则球 O 的表面积为　 　． 三．解答题（共 5 小题） 15．（8 分）已知 : , :直线 与直线 平行,求 证: 是 的充要条件. p 0a = q 1 : 2 1 0l x ay− − = 2 : 2 2 1 0l x ay− − = p q 16．（8 分）已知以点 C 为圆心的圆经过点 A（﹣1，0）和 B（3，4），且圆心在直线 x+3y﹣15 ＝0 上． （Ⅰ）求圆 C 的方程； （Ⅱ）设点 P 在圆 C 上，求△PAB 的面积的最大值． 17．（8 分）设命题 p：实数 x 满足 x 2﹣3ax+2a2＜0，其中 a＞0，命题 q：实数 x 满足 ． （1）若 a＝3 且 p∧q 为真，求实数 x 的取值范围； （2）若￢p 是￢q 的必要不充分条件，求实数 a 的取值范围． 18．（10 分）已知椭圆 经过两点（0，1）， ． （Ⅰ）求椭圆 E 的方程； （Ⅱ）若直线 l：x﹣y﹣1＝0 交椭圆 E 于两个不同的点 A，B，O 是坐标原点，求△AOB 的 面积 S． 19．（10 分）如图，在直三棱柱 ABC﹣A1B1C1 中，D，E 分别为 BC，AC 的中点，AB＝BC． 求证：（1）A1B1∥平面 DEC1； （2）BE⊥C1E． 文数 参考答案与试题解析 一．选择题（共 12 小题） 1．命题“∃x0∈R， ”的否定形式是（　　） A．∃x0∈R， B．∃x0∈R， C．∀x∈R，x2＝1 D．∀x∈R，x2≠1 【分析】直接利用特称命题的否定是全称命题写出结果即可． 【解答】解：因为特称命题的否定是全称命题，所以，命题“∃x0∈R， ”的否定形式 是：∀x∈R，x2≠1． 故选：D． 【点评】本题考查命题的否定，特称命题与全称命题的否定关系，是基础题． 2．如果命题“￢（p 或 q）”为假命题，则（　　） A．p、q 均为真命题 B．p、q 均为假命题 C．p、q 中至少有一个为真命题 D．p、q 中至多有一个为真命题 【分析】¬（p 或 q）为假命题 既 p 或 q 是真命题，由复合命题的真假值来判断． 【解答】解：¬（p 或 q）为假命题， 则 p 或 q 为真命题 所以 p，q 至少有一个为真命题． 故选：C． 【点评】本题主要考查复合命题的真假，是基础题． 3．已知直线 x﹣ y﹣ ＝0 经过椭圆 C： + ＝1（a＞b＞0）的焦点和顶点，则椭圆 C 的离心率为（　　） A． B． C． D． 【分析】求出直线与 x，y 轴的交点，得到椭圆的焦点和顶点，然后求解椭圆的离心率． 【解答】解：直线 x﹣ y﹣ ＝0 经过椭圆 C： + ＝1（a＞b＞0）的焦点和顶点， 可得椭圆的一个焦点坐标（ ，0），一个顶点坐标（0，﹣1）， 所以 c＝ ，b＝1，则 a＝ ， 所以 e＝ ＝ ． 故选：B． 【点评】本题考查椭圆的简单性质的应用，考查计算能力． 4．“方程 ＝1 表示的曲线为椭圆”是“2＜m＜6”的（　　） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【分析】先求“方程 ＝1 表示的曲线为椭圆”的充要条件，为“m∈（2，4）∪ （4，6）”， 再由集合 A＝（2，4）∪（4，6），集合 B＝（2，6）的包含关系得解． 【解答】解：“方程 ＝1 表示的曲线为椭圆”的充要条件为 ， 解得：m∈（2，4）∪（4，6）， 设集合 A＝（2，4）∪（4，6），集合 B＝（2，6）， 因为 A⊊B， 所以“方程 ＝1 表示的曲线为椭圆”是“2＜m＜6”的充分不必要条件， 故选：A． 【点评】本题考查了椭圆的性质及充分、必要条件，及集合的包含关系，属简单题． 5．椭圆 ＝1 的离心率为 ，则 k 的值为（　　） A．﹣21 B．21 C．﹣ 或 21 D． 或 21 【分析】依题意，需对椭圆的焦点在 x 轴与在 y 轴分类讨论，从而可求得 k 的值． 【解答】解：若 a2＝9，b2＝4+k，则 c＝ ， 由 ＝ ，即 ＝ 得 k＝﹣ ； 若 a2＝4+k，b2＝9，则 c＝ ， 由 ＝ ，即 ＝ ，解得 k＝21． 故选：C． 【点评】本题考查椭圆的简单性质，对椭圆的焦点在 x 轴，y 轴分类讨论是关键，考查推理 运算能力，属于中档题． 6．设命题 P：∀n∈N，n2≤2n，则￢P 为（　　） A．∃n∈N，n2≤2n B．∀n∈N，n2＞2n C．∃n∈N，n2＞2n D．∃n∈N，n2＝2n 【分析】利用全称命题的否定是特称命题，写出结果即可． 【解答】解：因为全称命题的否定是特称命题，所以，命题 P：∀n∈N，n2≤2n，则￢P 为： ∃n∈N，n2＞2n． 故选：C． 【点评】本题考查命题的否定，特称命题与全称命题的否定关系，是基础题． 7．已知经过椭圆 ＝1 的右焦点 F2 的直线交椭圆于 A，B 两点，F1 是椭圆的左焦点， 则△AF1B 的周长为（　　） A．10 B．20 C．30 D．40 【分析】△AF1B 为焦点三角形，周长等于两个长轴长，再根据椭圆方程，即可求出△AF1B 的周长． 【解答】解：∵F1，F2 为椭圆 + ＝1 的两个焦点， ∴|AF1|+|AF2|＝10，|BF1|+|BF2|＝10， ∴△AF1B 的周长为|AB|+|AF2|+|BF2|＝|AF1|+|AF2|+|BF1|+|BF2|＝10+10＝20． 故选：B． 【点评】本题主要考查了椭圆的定义的应用，做题时要善于发现规律，进行转化． 8．命题 p：∀x∈R，x2+1＞0，命题 q：∃θ∈R，sin2θ+cos2θ＝1.5，则下列命题中真命题是（　　） A．p∧q B．￢p∧q C．￢p∨q D．p∧（￢q） 【分析】由于命题 p：∀x∈R，x2+1＞0，为真命题，而命题 q：∃θ∈R，sin2θ+cos2θ＝1.5 为 假命题再根据复合命题的真假判定，一一验证选项即可得正确结果． 【解答】解：命题 p：由于对已知∀x∈R，x2≥0，则 x2+1≥1＞0， 则命题 p：∀x∈R，x2+1＞0，为真命题，￢p 为假命题； 命题 q：由于对∀θ∈R，sin2θ+cos2θ＝1， 则命题 q：∃θ∈R，sin2θ+cos2θ＝1.5 为假命题，￢q 为真命题． 则 p∧q、￢p∧q、￢p∨q 为假命题，p∧（￢q）为真命题． 故选：D． 【点评】本题考查的知识点是复合命题的真假判定，解决的办法是先判断组成复合命题的 简单命题的真假， 再根据真值表进行判断．复合命题的真值表： p q p∧q p∨q ￢p 真 真 真 真 假 真 假 假 真 假 假 真 假 真 真 假 假 假 假 真 9．“m＝2”是“椭圆 +y2＝1 离心率为 ”的（　　） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分又不必要条件 【分析】椭圆 +y2＝1 离心率为 ，可得：m＞1 时， ＝ ，或 0＜m＜1 时， ＝ ，解得 m 即可判断出结论． 【解答】解：椭圆 +y2＝1 离心率为 ，可得：m＞1 时， ＝ ，或 0＜m＜1 时， ＝ ， 解得 m＝2 或 ． ∴“m＝2”是“椭圆 +y2＝1 离心率为 ”的充分不必要条件． 故选：A． 【点评】本题考查了椭圆的标准方程及其性质、简易逻辑的判定方法，考查了推理能力与 计算能力，属于基础题． 10．有下列四个命题： ①“若 x+y＝0，则 x，y 互为相反数”的逆命题； ②“全等三角形的面积相等”的否命题； ③“若 q≤1，则 x2+2x+q＝0 有实根”的逆否命题； ④“直角三角形有两个角是锐角”的逆命题； 其中真命题为（　　） A．①② B．②③ C．①③ D．③④ 【分析】利用四种命题关系写出四个命题，然后判断真假即可． 【解答】解：①“若 x+y＝0，则 x，y 互为相反数”的逆命题：“若 x，y 互为相反数，则 x+y＝0”逆命题正确； ②“全等三角形的面积相等”的否命题：“不全等三角形的面积不相等”，三角形的命题 公式可知只有三角形的底边与高的乘积相等命题相等，所以否命题不正确； ③“若 q≤1，则 x2+2x+q＝0 有实根”的逆否命题：“x2+2x+q＝0 没有实根，则 q＞1”， 因为 x2+2x+q＝0 没有实根，所以 4﹣4q＜0 可得 q＞1，所以逆否命题正确； ④“直角三角形有两个角是锐角”的逆命题：两个角是锐角的三角形是直角三角形，显然 不正确． 正确命题有①③． 故选：C． 【点评】本题考查四种命题的关系，命题的真假的判断，基本知识的考查． 二．填空题（共 4 小题） 11．已知 P 是椭圆 ＝1 上的一点，F1，F2 是椭圆的两个焦点，当∠F1PF2＝ 时，则△ PF1F2 的面积为　 　． 【分析】由题意画出图形，利用椭圆定义及余弦定理求得|PF1||PF2|的值，代入三角形面积 公式得答案． 【解答】解：如图， 由椭圆 +y2＝1，得 a＝2，b＝1， 则 2a＝4， ， ∴|PF1|+|PF2|＝2a＝4， 由余弦定理可得： ， ∴ ， 即 ． ∴△F1PF2 的面积 S＝ |PF1||PF2|sin60°＝ ． 故答案为： ． 【点评】本题考查椭圆的简单性质，考查椭圆定义的应用，是中档题， 12．直线 l1：ax+2y﹣10＝0 与直线 l2：2x+（a+3）y+5＝0 平行的充要条件是　1　． 【解答】解：∵直线 l1：ax+2y﹣10＝0 与直线 l2：2x+（a+3）y+5＝0 平行， ∴ ， 解得 a＝1， 13．在平面直角坐标系 xOy 中，圆 C 的方程为 x2+y2﹣8x+15＝0，若直线 y＝kx﹣2 上至少存 在一点，使得以该点为圆心，1 为半径的圆与圆 C 有公共点，则 k 的最大值是　 　． 【分析】由于圆 C 的方程为（x﹣4）2+y2＝1，由题意可知，只需（x﹣4）2+y2＝1 与直线 y ＝kx﹣2 有公共点即可． 【解答】解：∵圆 C 的方程为 x2+y2﹣8x+15＝0，整理得：（x﹣4）2+y2＝1，即圆 C 是以 （4，0）为圆心，1 为半径的圆； 又直线 y＝kx﹣2 上至少存在一点，使得以该点为圆心，1 为半径的圆与圆 C 有公共点， ∴只需圆 C′：（x﹣4）2+y2＝4 与直线 y＝kx﹣2 有公共点即可． 设圆心 C（4，0）到直线 y＝kx﹣2 的距离为 d， 则 d＝ ≤2，即 3k2﹣4k≤0， ∴0≤k≤ ． ∴k 的最大值是 ． 故答案为： ． 【点评】本题考查直线与圆的位置关系，将条件转化为“（x﹣4）2+y2＝4 与直线 y＝kx﹣2 有公共点”是关键，考查学生灵活解决问题的能力，属于中档题． 14．已知平面 α 截球 O 的球面所得圆的面积为 π，O 到 α 的距离为 3，则球 O 的表面积为　 40π　． 【分析】根据球心到平面的距离结合球的截面圆性质，利用勾股定理算出球半径 R 的值， 再根据球的表面积公式，可得球的表面积． 【解答】解：∵平面 α 截球 O 的球面所得圆的面积为 π，则圆的半径为 1， 该平面与球心的距离 d＝3， ∴球半径 R＝ ． ∴球的表面积 S＝4πR2＝40π． 故答案为：40π． 【点评】本题考查球的表面积的求法，着重考查了球的截面圆性质，属于基础题． 三．解答题（共 5 小题） 15．答案：当 时, , , 所以 ,即由“ ”能推出“ ”. 当 时,若 ,则 , ,所以 ,无解. 当 时,即由“ ”能推出“ ”. 综上所述, ,所以 是 的充要条件. 16．已知以点 C 为圆心的圆经过点 A（﹣1，0）和 B（3，4），且圆心在直线 x+3y﹣15＝0 上． （Ⅰ）求圆 C 的方程； （Ⅱ）设点 P 在圆 C 上，求△PAB 的面积的最大值． 【分析】（Ⅰ）依题意，所求圆的圆心 C 为 AB 的垂直平分线和直线 x+3y﹣15＝0 的交点， 0a = 1 : 1l x = 2 1: 2l x = 1 2/ /l l 0a = 1 2/ /l l 1 2/ /l l 0a ≠ 1 1 1: 2 2l y xa a = − 2 1 1: 2l y xa a = − 1 1 2a a = 1 2/ /l l 1 2/ /l l 0a = 1 20 / /a l l= ⇔ p q 求出圆心与半径，即可求圆 C 的方程； （Ⅱ）求出|AB|，圆心到 AB 的距离 d，求出 P 到 AB 距离的最大值 d+r，即可求△PAB 的 面积的最大值． 【解答】解：（Ⅰ）依题意，所求圆的圆心 C 为 AB 的垂直平分线和直线 x+3y﹣15＝0 的 交点， ∵AB 中点为（1，2）斜率为 1， ∴AB 垂直平分线方程为 y﹣2＝（x﹣1）即 y＝﹣x+3…（2 分） 联立 ，解得 ，即圆心（﹣3，6）， 半径 …（6 分） ∴所求圆方程为（x+3）2+（y﹣6）2＝40…（7 分） （Ⅱ） ，…（8 分） 圆心到 AB 的距离为 …（9 分） ∵P 到 AB 距离的最大值为 …（11 分） ∴△PAB 面积的最大值为 …（12 分） 【点评】本题考查圆的方程，考查三角形面积的计算，考查直线与圆的位置关系，考查学 生的计算能力，属于中档题． 17 ． 设 命 题 p ： 实 数 x 满 足 x2 ﹣ 3ax+2a2 ＜ 0 ， 其 中 a ＞ 0 ， 命 题 q ： 实 数 x 满 足 ． （1）若 a＝3 且 p∧q 为真，求实数 x 的取值范围； （2）若￢p 是￢q 的必要不充分条件，求实数 a 的取值范围． 【分析】（1）若 a＝3，求出 p，q 的等价条件，结合 p∧q 为真，得到 p，q 同时为真，建 立不等式组即可求实数 x 的取值范围； （2）若￢p 是￢q 的必要不充分条件，转化为 p 是 q 的充分不必要条件，建立不等式组关 系 进行求解即可． 【解答】解：（1）当 a＝3 时，由 x2﹣9x+18＜0 得 3＜x＜6，即 p：3＜x＜6， 由 ．得 得 2＜x≤6，即 q：2＜x≤6， 又 p∧q 为真，所以 p 真且 q 真，由 得 3＜x＜6． 所以实数 x 的取值范围为（3，6）． （2）因为￢p 是￢q 的必要不充分条件，所以 p 是 q 的充分不必要条件， 由 x2﹣3ax+2a2＜0 得 a＜x＜2a， 则 ，解得 2≤a≤3． 经检验，实数 a 的取值范围为[2，3]． 【点评】本题主要考查充分条件和必要条件的判断，结合充分条件和必要条件的定义转化 为不等式关系是解决本题的关键． 18．已知椭圆 经过两点（0，1）， ． （Ⅰ）求椭圆 E 的方程； （Ⅱ）若直线 l：x﹣y﹣1＝0 交椭圆 E 于两个不同的点 A，B，O 是坐标原点，求△AOB 的 面积 S． 【分析】（Ⅰ）根据题意，将两个点的坐标代入椭圆的方程，可得 ，解可得 a、b 的值，即可得椭圆的方程； （Ⅱ）记 A（x1，y1），B（x2，y2），联立直线与椭圆的方程，5y2+2y﹣3＝0，解可得 y 的值， 即可得直线 l 与 x 轴交点的坐标，结合三角形面积公式计算可得答案． 【解答】解：（Ⅰ）根据题意，椭圆 经过两点（0，1）， ． 则有 ，解得：a＝2，b＝1 即椭圆 E 的方程为 +y2＝1． （Ⅱ）记 A（x1，y1），B（x2，y2），直线 l 的方程为 x＝y+1． 由 消去 x 得 5y2+2y﹣3＝0， 所以 设直线 l 与 x 轴交于点 P（1，0） S＝ |OP||y1﹣y2| S＝ ． 【点评】本题考查直线与椭圆的位置关系，涉及椭圆的标准方程，关键是求出椭圆的标准 方程． 19．如图，在直三棱柱 ABC﹣A1B1C1 中，D，E 分别为 BC，AC 的中点，AB＝BC． 求证：（1）A1B1∥平面 DEC1； （2）BE⊥C1E． 【分析】（1）推导出 DE∥AB，AB∥A1B1，从而 DE∥A 1B1，由此能证明 A1B1∥平面 DEC1． （2）推导出 BE⊥AA1，BE⊥AC，从而 BE⊥平面 ACC1A1，由此能证明 BE⊥C1E． 【解答】证明：（1）∵在直三棱柱 ABC﹣A1B1C1 中，D，E 分别为 BC，AC 的中点， ∴DE∥AB，AB∥A1B1，∴DE∥A1B1， ∵DE⊂平面 DEC1，A1B1⊄平面 DEC1， ∴A1B1∥平面 DEC1． 解：（2）∵在直三棱柱 ABC﹣A1B1C1 中，E 是 AC 的中点，AB＝BC． ∴BE⊥AA1，BE⊥AC， 又 AA1∩AC＝A，∴BE⊥平面 ACC1A1， ∵C1E⊂平面 ACC1A1，∴BE⊥C1E． 【点评】本题考查线面平行、线线垂直的证明，考查空间中线线、线面、面面间的位置关 系等基础知识，考查运算求解能力，考查数形结合思想，是中档题．