【数学】2020届一轮复习人教B版（理）第八章39直线、平面垂直的判定与性质作业 6页

‎【课时训练】第39节　直线、平面垂直的判定与性质 一、选择题 ‎1．(2018银川模拟)如图，在正方形ABCD中，E，F分别是BC，CD的中点，G是EF的中点，现沿AE、AF及EF把这个正方形折成一个空间图形，使B，C，D三点重合，重合后的点记为H，那么，在这个空间图形中必有(　　)‎ A．AH⊥平面EFH B．AG⊥平面EFH C．HF⊥平面AEF D．HG⊥平面AEF ‎【答案】A ‎【解析】由平面图形可得AH⊥HE，AH⊥HF，又HE∩HF＝H，∴AH⊥平面HEF.故选A.‎ ‎2．(2019惠州调研)设α，β，γ为不同的平面，m，n，l为不同的直线，则m⊥β的一个充分条件为(　　)‎ A．α⊥β，α∩β＝l，m⊥l B．α∩γ＝m，α⊥γ，β⊥γ C．α⊥γ，β⊥γ，m⊥α D．n⊥α，n⊥β，m⊥α ‎【答案】D ‎【解析】若α⊥β，α∩β＝l，m⊥l，则m与β的位置不确定；若α∩γ＝m，α⊥γ，β⊥γ，则α，β可能平行，此时m∥β；若α⊥γ，β⊥γ，m⊥α，则α，β不一定平行，则m不一定与β垂直；若n⊥α，n⊥β，则α∥β，则m⊥β.故选【答案】D.‎ ‎3．(2018黄冈质检)已知两个不同的平面α，β和两条不重合的直线m，n，有下列四个命题：‎ ‎①若m∥n，m⊥α，则n⊥α；②若m⊥α，m⊥β，则α∥β；③若m，n与α所成的角相等，则m∥n；④若m∥α，α∩β＝n，则m∥n.‎ 其中正确命题的个数是(　　)‎ A．1 B．2‎ C．3 D．4‎ ‎【答案】B ‎【解析】对于①，若m∥n，m⊥α，则n⊥α，故该命题为真命题；对于②，若m⊥α，m⊥β，则α∥β，故该命题为真命题；对于③，若m，n与α所成的角相等，则m与n可能平行、相交或异面，故该命题为假命题；对于④，若m∥α，α∩β＝n，则m与n的位置关系不确定，故该命题为假命题．故选【答案】B.‎ ‎4．(2018宝鸡质检)对于四面体ABCD，给出下列四个命题：‎ ‎①若AB＝AC，BD＝CD，则BC⊥AD；‎ ‎②若AB＝CD，AC＝BD，则BC⊥AD；‎ ‎③若AB⊥AC，BD⊥CD，则BC⊥AD；‎ ‎④若AB⊥CD，AC⊥BD，则BC⊥AD.‎ 其中为真命题的是(　　)‎ A．①② B．②③‎ C．②④ D．①④‎ ‎【答案】D ‎【解析】①如图，‎ 取BC的中点M，连接AM，DM，由AB＝AC⇒AM⊥BC，同理DM⊥BC⇒BC⊥平面AMD，而AD⊂平面AMD，故BC⊥AD.④设A在平面BCD内的射影为O，连接BO，CO，DO(图略)，由AB⊥CD⇒BO ‎⊥CD，由AC⊥BD⇒CO⊥BD⇒O为△BCD的垂心⇒DO⊥BC⇒AD⊥BC.故选D.‎ 二、填空题 ‎5．(2018广西南宁一模)如图，∠BAC＝90°，PC⊥平面ABC，则在△ABC和△PAC的边所在的直线中，与PC垂直的直线有________________；与AP垂直的直线有______________．‎ ‎【答案】AB，BC，AC　AB ‎【解析】∵PC⊥平面ABC，∴PC垂直于直线AB，BC，AC；∵AB⊥AC，AB⊥PC，AC∩PC＝C，∴AB⊥平面PAC.∴与AP垂直的直线是AB.‎ ‎6．(2018青岛模拟)如图所示，在四棱锥P－ABCD中，PA⊥底面ABCD，且底面各边都相等，M是PC上一动点，当点M满足________时，平面MBD⊥平面PCD.(只要填写一个你认为正确的条件即可)‎ ‎【答案】DM⊥PC(或BM⊥PC等)(不唯一)‎ ‎【解析】如图，连接AC，‎ ‎∵四边形ABCD的各边都相等，‎ ‎∴四边形ABCD为菱形，∴AC⊥BD.又PA⊥平面ABCD，∴PA⊥BD.‎ 又AC∩PA＝A，∴BD⊥平面PAC.∴BD⊥PC.∴当DM⊥PC(或BM⊥PC等)时，有PC⊥平面MBD.而PC⊂平面PCD，∴平面MBD⊥平面PCD.‎ ‎7．(2018泰州模拟)若α，β是两个相交平面，m为一条直线，则下列命题中，所有真命题的序号为________．‎ ‎①若m⊥α，则在β内一定不存在与m平行的直线；‎ ‎②若m⊥α，则在β内一定存在无数条直线与m垂直；‎ ‎③若m⊂α，则在β内不一定存在与m垂直的直线；‎ ‎④若m⊂α，则在β内一定存在与m垂直的直线．‎ ‎【答案】②④‎ ‎【解析】对于①，若m⊥α，如果α，β互相垂直，则在平面β内存在与m平行的直线，故①错误；对于②，若m⊥α，则m垂直于平面α内的所有直线，故在平面β内一定存在无数条直线与m垂直，故②正确；对于③④，若m⊂α，则在平面β内一定存在与m垂直的直线，故③错误，④正确．‎ 三、解答题 ‎8．(2018广东七校联考)如图所示，M，N，K分别是正方体ABCD－A1B‎1C1D1的棱AB，CD，C1D1的中点．‎ 求证：(1)AN∥平面A1MK；‎ ‎(2)平面A1B‎1C⊥平面A1MK.‎ ‎【证明】(1)如图所示，连接NK. ‎ 在正方体ABCD－A1B‎1C1D1中，‎ ‎∵四边形AA1D1D，DD‎1C1C都为正方形，∴AA1∥DD1，AA1＝DD1，‎ C1D1∥CD，C1D1＝CD.‎ ‎∵N，K分别为CD，C1D1的中点，‎ ‎∴DN∥D1K，DN＝D1K.‎ ‎∴四边形DD1KN为平行四边形．‎ ‎∴KN∥DD1，KN＝DD1.∴AA1∥KN，AA1＝KN.‎ ‎∴四边形AA1KN为平行四边形．∴AN∥A1K.‎ ‎∵A1K⊂平面A1MK，AN⊄平面A1MK，∴AN∥平面A1MK.‎ ‎(2)如图所示，连接BC1.在正方体ABCD－A1B‎1C1D1中，AB∥C1D1，AB＝C1D1.‎ ‎∵M，K分别为AB，C1D1的中点，∴BM∥C1K，BM＝C1K.‎ ‎∴四边形BC‎1KM为平行四边形．∴MK∥BC1.‎ 在正方体ABCD－A1B‎1C1D1中，A1B1⊥平面BB‎1C1C，‎ BC1⊂平面BB‎1C1C，∴A1B1⊥BC1.‎ ‎∵MK∥BC1，∴A1B1⊥MK.‎ ‎∵四边形BB‎1C1C为正方形，∴BC1⊥B‎1C.‎ ‎∴MK⊥B‎1C.‎ ‎∵A1B1⊂平面A1B‎1C，B‎1C⊂平面A1B‎1C，A1B1∩B‎1C＝B1，‎ ‎∴MK⊥平面A1B‎1C.‎ 又∵MK⊂平面A1MK，‎ ‎∴平面A1B‎1C⊥平面A1MK.‎ ‎9．(2018贵州贵阳第一中学月考)如图，在三棱锥K－ABC中，D，E，F分别是KA，KB，KC的中点，平面KBC⊥平面ABC，AC⊥BC，△KBC是边长为2的正三角形，AC＝3.‎ ‎(1)求证：BF⊥平面KAC；‎ ‎(2)求三棱锥F－BDE的体积．‎ ‎(1)【证明】因为平面KBC⊥平面ABC，且AC⊥BC，‎ 所以AC⊥平面KBC.又因为BF⊂平面KBC，所以BF⊥AC.‎ 又因为△KBC是正三角形，且F为CK的中点，‎ 所以BF⊥KC.又AC∩KC＝C，所以BF⊥平面KAC.‎ ‎(2)【解】S△EFB＝××1＝.‎ 又因为AC⊥平面KBC，DF∥AC，所以DF⊥平面KBC.‎ 又因为DF＝AC＝，‎ 所以VF－BDE＝VD－EFB＝S△EFB·DF＝××＝.‎