2019届二轮复习数列递推学案（全国通用） 11页

第七讲 递推数列 一、知识方法拓展 由递推公式求数列通项的常用方法 类型1：‎ 方法：累加法(叠加法)，‎ 类型2：‎ 方法：累乘法(迭代法)，‎ 类型3：‎ 方法：待定系数法(构造法)，令，，从而构造一个公比为p的等比数列 类型4：‎ 方法：一般地，将原式转化为，令，则，转化为类型3解决 注：当时，我们还能用如下方法更简便地解题 令，，从而构造一个等比数列 类型5：‎ 方法：一般地，将原式转化为，令，则，转化为类型1解决 注1：当的一次函数时，如我们还能用如下方法更简便地解题 令，，从而构造一个等比数列 注2：当的二次函数时，则可构造等比数列，依次类推 类型6：‎ 方法：特征根法 其特征方程为，‎ 1、 若方程有两相异根、，则 ‎2、若方程有两等根则 其中、可由初始条件确定。‎ 设，则,令 （*）‎ ‎（1）若方程组（*）有两组不同的解,‎ 则, ,‎ 由等比数列性质可得, ,‎ 由上两式消去可得.‎ ‎（2）若方程组（*）有两组相等的解，易证此时，则 ‎，‎ ‎,即是等差数列，‎ 由等差数列性质可知，‎ 所以．‎ 类型7：‎ 方法：函数不动点法，方程 的根称为该数列的不动点，若数列有两个相异的不动点t,s，则为等比数列，若数列只有一个不动点，则是等差数列。‎ ‎(1)若,由,‎ ‎,‎ 两式相除有,从而得,再解出即可.‎ ‎(2)若,由，，‎ ‎，从而得 二、热身练习 ‎1.(2012复旦)设，则数列的极限为（ ）‎ A. B. C. D.‎ 分析与解：一方面，我们可以用特征根法，，故而可得s,t均为有理数。再观察数列前三项及选项，可快速得到只有A选项符合题意。‎ ‎2. (2007复旦)已知数列满足，且，其前项之和为，则满足不等式的最小整数n是（ ）‎ A.6 B.7 C.8 D.9‎ 分析与解：由，采用待定系数法，设 成等比数列，故 进一步可得 又，选B ‎3. (2006复旦)是正数列，其前项和为，满足：对一切，和2的等差中项等于和2的等比中项，则（ ）‎ A.0 B.4 C.12 D.100‎ 分析与解：由题意得，又，两式相减得，因为是正数列，所以，选B 三、真题精讲 例1. (2011卓越)设数列满足 ‎（1）设，证明：若，则是等比数列 ‎（2）若，求的值 分析与解：（1）根据提示化简原式得是公比为，首项为的等比数列 ‎（2）当时，易得为常值数列，，极限不存在，不合题意 当时，由（1）知，用累加法可得 由 例2. (2004复旦)已知数列，满足又，求：‎ ‎（1）‎ ‎（2）‎ 分析与解：（1）观察已知条件为，融合后的递推公式，考虑消元转化为只含有一个数列的递推公式再求解。‎ 由，代入得 相邻三项型的递推数列，用特征根法求解 又 ‎（2）由（1）易得 例3. (模拟题)斐波那契数列可以由递推公式：确定，求斐波那契数列的通项公式 分析与解：典型的相邻三项型通项公式，用特征根法可以快速得到答案 又 例4. (2010武大)设为平面上的点列，其中数列，满足 ‎，已知的坐标为 ‎（1）确定点所在圆C的方程 ‎（2）证明：点列在定圆C上 ‎（3）求数列的通项公式 分析与解：（1）直接代入得，用求中垂线交点法或代入圆的一般方程都可简单求得圆方程 ‎（2）考虑用数学归纳法来证明，由（1）知在圆C上，假设在圆C上，即 得证 ‎（3）由（2）知 用不动点法，由是公比为9的等比数列 例5. (模拟题)已知数列满足，求通项 分析与解：分式型递推公式，考虑用不动点法解题 由 两式相除，得 由已知易得，‎ 故，对式取对数，得 是等比数列 四、重点总结 熟练运用各种方法求数列的通项公式 五、强化训练 A组 ‎1. (2008武大)在数列中，‎ ‎（1）求证：数列是等比数列 ‎（2）求数列的前n项和 分析与解：（1）本题用待定系数法解较浪费时间，观察题目是个证明题，可以考虑从结论反推。根据提示直接写出等式，即可得证。‎ ‎（2）由（1）可知，用分组求和可求得 ‎2. (2003交大)数列满足：，求和 分析与解：相邻三项型的递推公式，可以用特征根法来求通项 由 另解，可以观察，再等式两边同时加，可得 故是常值数列，可得，用待定系数法可解得通项公式。‎ ‎3. (2008复旦)是正数列，其前项和为，满足：对所有的正整数，和2的等差中项等于和2的等比中项，则（ ）‎ A.0 B.1 C. D.‎ 分析与解：由题意得，又，两式相减得，因为是正数列，所以，观察所求式子中最高次为二次，所以只要找二次项的系数即可，，选C ‎4. (2009复旦)设数列，满足，如果，且是公比为2的等比数列，又设，则（ ）‎ A.0 B. C.1 D.2‎ 分析与解：由已知，，累加法可得 易得所求极限为2，选D ‎5. (2001交大)数列1,3,2,…中，，则_____________‎ 分析与解：形如的递推数列可由归纳法知其为周期为6的周期数列，故 ‎6. (2004交大)已知数列满足，则___________‎ 分析与解：用特征根法，‎ 又 ‎7. (模拟题)已知各项均为正数的数列的前项和满足，且，求的通项公式 分析与解：由已知，两式相减得 因为各项均为正数，故 由及易得 ‎8. (2005交大)已知月利率为r，采用等额还款方式，若本金为1万元，试推导每月等额还款金额m关于r的函数关系式（假设贷款时间为2年）‎ 分析与解：方法一，用数列的递推公式来求解。用数列表示第个月后的剩余本金，令，则有，用简单的待定系数法可得 ‎，由 方法二，将每月还款看成对银行的存钱，利用到2年末存款总额因等于欠款总额来建立等式求解。‎ 第二年末存款总额：‎ 第二年末欠款总额：‎ 故 B组 ‎1. (2010浙大)如图，下有一系列正三角形，求第个正三角形的边长 分析与解：此题关键是找到联系和抛物线的关系式 由图，观察可得第个正三角形的上顶点坐标应为 ‎，它在抛物线图像上，故，用退位相减法，化简易得 由已知易得 ‎2. (2007交大)已知函数，对于，定义，若，则______________‎ 分析与解：由已知 又 ‎3. (模拟题)已知数列满足，其中p 是给定的实数，n是正整数，试求n的值，使得的值最小 分析与解：由原式得 令，则 用累加法可得 ‎，即 显然，当时，，当时，，当时，‎ 又，当时，，故使得的值最小的n的值为40‎