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- 2021-06-16 发布
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第三节 二次函数与幂函数
题型19 二次函数图像及应用——暂无
题型20 二次函数“动轴定区间”、“定轴动区间”问题
1.(2017浙江理5)若函数在区间上的最大值是,最小值是,则( ).
A. 与有关,且与有关 B. 与有关,但与无关
C. 与无关,且与无关 D. 与无关,但与有关
1.解析 函数的图像是开口朝上且以直线为对称轴的抛物线.
①当或,即,或时,函数在区间上单调,此时,故的值与有关,与无关;
②当,即时,函数在区间上单调递减,在上单调递增,且,此时,故的值与有关,与无关;
③当,即时,函数在区间上单调递减,在上单调递增,且),此时,故的值与有关,与无关.
综上可得,的值与有关,与无关.故选B.
题型21 二次函数、一元二次方程、二次不等式的关系
1.(2015陕西理12)对二次函数(为非零整数),四位同学分别给出下列结论,其中有且仅有一个结论是错误的,则错误的结论是( ).
A.是的零点 B.1是的极值点
C.3是的极值 D. 点在曲线上
1.解析 观察四个选项会发现B,C这两个选项是“配套”的,所以以此为切入点,假设B,C正确,即为的顶点.由于抛物线开口向下时,D肯定错;抛物线开口向上时,A肯定错. 由此说明A与D中必有一个错误.假设A正确,
则有,与条件为整数矛盾,说明A错误. 故选A.
2.(2015浙江理18)已知函数,记是在区间上的最大值.
(1)证明:当时,;
(2)当满足,求的最大值.
2. 解析(1)由,得对称轴为直线.
因为,所以,所以是上的单调函数,
所以.
解法一:(分类讨论) 当时,由,得,即; 当 时,由,得,即.
综上所述,当时,.
解法二(利用绝对值的性质,及最大值的含义):
(2)解法一 :当时,由(Ⅰ)知,,所以对称轴.
由题意知,,即.
画出可行域,利用线性规划即可求得.
解法二: ,
所以 ,所以 .
当时,,且在上的最大值为2,
即,所以的最大值为3.
题型22 二次函数恒成立问题
1.(2014 江苏理 10)已知函数,若对于任意,都有成立,则实数的取值范围是 .
2.(2014 安徽理 9)若函数的最小值为,则实数的值为( ).
A.或 B.或 C. 或 D.或
3.(2014 辽宁理12)已知定义在上的函数满足:
① ;
② 对所有,且,有.
若对所有,,则的最小值为( ).
A. B. C. D.
4.(2014 浙江理 10)设函数,,,,
记,.
则( ).
A. B. C. D.
5.(2017天津理8)已知函数,设,若关于x的不等式在上恒成立,则的取值范围是( ).
A. B. C. D.
5.解析 解法一:易知,由不等式,得,
即,只需要计算在上的最大值和在上的最小值即可.
当时,(当时取等号),
(当时取等号),所以;
当时,(当时取等号),
(当时取等号),
所以.
综上所述,得.故选A.
解法二:分别作出函数和的图像,如图所示.
若对于任意,恒成立,则满足
且恒成立,即,又,
当且仅当时,即时取等号,所以.
且,则,即.
综上所述,的取值范围为.故选A.
6.(2017浙江理17)已知,函数在区间上的最大值是5,则的取值范围是 .
解析 设,则,.
解法一:可知的最大值为,即
或, 解得或 ,所以.则的取值范围是.
解法二:如图所示,当时,成立;
当时,成立;
当时,成立,即.
则的取值范围是.
题型23 幂函数的图像与性质——暂无