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  • 2021-06-16 发布

2020-2021学年高二数学上册单元基础练习:解三角形

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2020-2021 学年高二数学上册单元基础练习:解三角形 一、单项选择题:(本题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符 合题目要求的。) 1.已知△ABC 的角 A,B,C 所对的边为 a,b,c, ,则 a=( ) A. B.2 C. D.3 【分 析】由已知结合余弦定理即可求解 a. 【解答】解:由余弦定理可得,cosC= , 即﹣ = ,整理可得 a2+a﹣6=0, 解可得 a=2. 故选:B. 【点评】本题主要考查了余弦定理的简单应用,属于基础试题. 【知识点】正弦定理 2.在三角形 ABC 中,a,b,c 分别是角 A,B,C 的对边,若 b=1,c= ,则 S△ABC=( ) A. B. C. D. 【分析】由已知结合余弦定理可求 a,然后结合三角形的面积公式即可求解. 【解答】解:由余弦定理可得,cosC= , 即﹣ = ,解可得 a=1, 则 S△ABC= = = . 故选:B. 【点评】本题主要考查了余弦定理及三角形的面积公式的简单应用,属于基础试题. 【知识点】正弦定理 3.设△ABC 的内角 A,B,C 所对的边分别为 a、b、c,已知 2ccosB+bcosA=﹣acosB,则∠B=( ) A. B. C. D. 【分析】由正弦定理,两角和的正弦函数公式化简已知等式,结合 sinC≠0,可求 cosB 的值,进而可求 B 的值. 【解答】解:由正弦定理得:2sinCcosB+sinBcosA=﹣sinAcosB, 可得:2sinCcosB=﹣sin(A+B)=﹣sinC, 由于 sinC≠0, 可得 . 故选:D. 【点评】本题主要考查了正弦定理,两角和的正弦函数公式在解三角形中的综合应用,属于基础题. 【知识点】正弦定理 4.在△ABC 中,内角 A、B、C 所对的边分别为 a、b、c,S 为△ABC 的面积, ,且 A,、 B、C 成等差数列,则 C 的大小为( ) A. B. C. D. 【分析】根据题意,由诱导公式可得 sin(A+C)=sinB,进而可得 sinB= ,变形可得:ac =b2﹣c2,又由余弦定理可得 cosB= = ,变形可得 a2+c2﹣b2=ac,联立两个式子 可得 a=2c,b= c,结合余弦定理分析可得答案. 【解答】解:根据题意,在△ABC 中,A+C=π﹣B,则 sin(A+C)=sinB, 又由 ,则有 sinB= ,变形可得:ac=b2﹣c2,① 若 A、B、C 成等差数列,则 B= ,则 cosB= = ,变形可得 a2+c2﹣b2=ac, ②, 联立①②可得:a2=2ac,即 a=2c, 又由 ac=b2﹣c2,则 b2=ac+c2=3c2,即 b= c, 则 cosC= = = ,故 C= ; 故选:C. 【点评】本题考查解三角形,涉及正弦定理、余弦定理的应用,关键是分析 a、b、c 的关系. 【知识点】余弦定理 5.△ABC 的内角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c,已知 a=3,b=7,cosB=﹣ ,则 c=( ) A.4 B.5 C.8 D.10 【分析】直接利用余弦定理求解即可. 【解答】解:a=3,b=7,cosB=﹣ . 由余弦定理:b2=a2+c2﹣2cacosB. 即 49=9+c2﹣6×(﹣ )c. 解得:c=5. 故选:B. 【点评】本题考查了余弦定理的灵活应用和计算能力.属于基础题. 【知识点】余弦定理 6.已知△ABC 的内角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c,A=60°,b=3c,角 A 的平分线交 BC 于点 D,且 BD= ,则 cos∠ADB 的值为( ) A.﹣ B. C. D.± 【分析】结合角平分线性质可求 CD,CB,然后结合余弦定理可得 c,再结合正弦定理可求 sin∠ADB,进 而可求. 【解答】解:因为 A=60°,角 A 的平分线交 BC 于点 D,所以 CAD=BAD=30°, 又 b=3c,所以 = = =3, 因为 BD= ,所以 CD=3 ,a=CB=4 , 因为,a2=b2+c2﹣2bccosA, 所以 16×7= , 解可得,c=4; 在△ABD 中,由正弦定理可得, , 即 , 所以sin∠ADB= ; 因为 b>c,所以 B>C, 因为∠ADB=30°+C,∠ADC=30°+B, 所以∠ADB<∠ADC,所以∠ADB 为锐角, 所以 cosADB= . 故选:B. 【点评】本题综合考查了正弦定理,余弦定理,角平分线性质等知识在求解三角形中的应用,解题的关键 是要把图形的问题转化为数学问题. 【知识点】余弦定理 7.在△ABC 中,内角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c, 且△ABC 面积为 ,则 △ABC 面积 S 的最大值为( ) A. B. C. D. 【分析】由已知利用三角形的面积公式可求 tanB,可得 cosB,sinB 的值,由余弦定理,基本不等式可求 ac≤8(2﹣ ),根据三角形的面积公式即可求解其最大值. 【解答】解:∵S= (b2﹣a2﹣c2)= •(﹣2accosB)= acsinB, ∴tanB=﹣ ,B= ,cosB=﹣ ,sinB= , 又∵b=2 ,由余弦定理可得:8=a2+c2+ ac≥(2+ )ac, ∴ac≤ =8(2﹣ ), ∴S△ABC= acsinB≤ ×8(2﹣ )× =4﹣2 . ∴面积 S 的最大值为 4﹣2 . 故选:B. 【点评】本题主要考查了三角形的面积公式,余弦定理,基本不等式在解三角形中的应用,考查了计算能 力和转化思想,属于中档题. 【知识点】余弦定理 8.△ABC 是边长为 2 的正三角形,D、E、F 分别为 AB、AC、BC 上三点,且 AD=DF,∠ADE=∠FDE, 则当线段 AD 的长最小时,∠ADE=( ) A. B. C. D. 【分析】在△BDF 中利用正弦定理可得 ,进一步得到 , 然后求出 AD 取最 小值时∠ADE 的值. 【解答】解:∵△ABC 是边长为 2 的正三角形且 AD=DF,∠ADE=∠FDE, ∴在△BDF 中,BD=2﹣AD,B= ,∠BFD=2∠ADE﹣ ,0<∠ADE< , 由正弦定理,有 , ∴ ,∴ , ∵0<∠ADE< ,∴当 sin(2∠ADE﹣ )=1, 即∠ADE= 时,AD 的取得最小值. 故选:C. 【点评】本题考查了正弦定理在解三角形中的应用,考查了转化思想,属中档题. 【知识点】三角形中的几何计算 9.在锐角△ABC 中,内角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c,已知 a+2b=4,asinA+4bsinB=6asinBsinC,则 △ABC 的面积取得最小值时有 c2=( ) A.5+ B.5+ C.5﹣ D.5﹣ 【分析】运用正弦定理和面积公式可得,a2+4b2=12S,运用基本不等式,可得 a=2,b=1,S 取得最小值 ,求得 ainC,再由同角的平方关系,求得 cosC,再由余弦定理,即可得到所求值. 【解答】解:由正弦定理,asinA+4bsinB=6asinBsinC 即为 a2+4b2=6absinC, 又 S= absinC,即有 a2+4b2=12S, 由于 a+2b=4,即有 a2+4b2=(a+2b)2﹣4ab=16﹣4ab, 即有 4ab=16﹣12S, 由 4ab≤2( )2=8, 即有 16﹣12S≤8,解得 S≥ . 当且仅当 a=2b=2,取得等号. 当 a=2,b=1,S 取得最小值 , sinC= ,( C 为锐角),则 cosC= = . 则 c2=a2+b2﹣2abcosC=4+1﹣2×2×1× =5﹣ . 故选:D. 【点评】本题考查正弦定理和余弦定理及面积公式的运用,同时考查基本不等式的运用,考查运算能力, 属于中档题. 【知识点】正弦定理 10.如图,在△ABC 中, ,点 D 在线段 BC 上,且 BD=3DC, ,则△ABC 的面积 的最大值为( ) A. B.4 C. D. 【分析】设∠BAD=θ,则 0<θ<∠BAC,根据三角形的面积公式求出 AC,AB,然后由 S△ABC= AB•AC •sin∠BAC= [4sin(2θ+φ)﹣1],根据三角函数的性质求出面积的最大值. 【解答】解:设∠BAD=θ,则 0<θ<∠BAC. ∵BD=3DC, ,∴S△ABD= S△ABC, ∴ , ∴ ,同理 AB=8sin(∠BAC﹣θ), ∴S△ABC= = = = (其中 tanφ= ), ∵0<θ<∠BAC,∴当 2θ+φ= 时,sin(2θ+φ)max=1, ∴ . 故选:C. 【点评】本题考查了余弦定理和基本不等式,以及三角形的面积公式,考查了运算能力和转化能力,属于 中档题. 【知识点】三角形中的几何计算 11.设 a,b,c 为 ABC 中的三边长,且 a+b+c=1,则 a2+b2+c2+4abc 的取值范围是( ) A.[ , ] B.[ , ) C.( , ] D.( , ) 【分析】记 f(a,b,c)=a2+b2+c2+4abc,则 f(a,b,c)=1﹣2ab﹣2c(a+b)+4abc,再根据三角形边 长性质可以证得 f(a,b,c) .再利用不等式和已知可得 ab ,所以 f (a,b,c)≥1﹣ ﹣2c(1﹣c)= , 再利用求导根据单调性可以推得 a2+b2+c2+4abc ,继而可以得出结果. 【解答】解:记 f(a,b,c)=a2+b2+c2+4abc,则 f(a,b,c)=1﹣2ab﹣2c(a+b)+4abc =1﹣2ab(1﹣2c)﹣2c(1﹣c) =2(c+ab)2﹣2a2b2﹣2(ab+c)+1 =2[c+ab﹣ ]2﹣2a2b2+ =4(c﹣ )( a﹣ )( b﹣ )+ 又 a,b,c 为△ABC 的三边长, 所以 1﹣2a>0,1﹣2b>0,1﹣2c>0, 所以 f(a,b,c) . 另一方面 f(a,b,c)=1﹣2ab(1﹣2c)﹣2c(1﹣c), 由于 a>0,b>0, 所以 ab , 又 1﹣2c>0, 所以 f(a,b,c)≥1﹣ ﹣2c(1﹣c)= , 不妨设 a≥b≥c,且 a,b,c 为△ABC 的三边长, 所以 . 令 y= ,则 y′=3c2﹣c=c(3c﹣1)≤0, 所以 ymin= ﹣ = , 从而 , 当且仅当 a=b=c= 时取等号. 故选:B. 【点评】本题考查解三角形,综合了函数和不等式,属于综合性较强的题,难度较大. 【知识点】余弦定理 12.已知△ABC 的三边分别为 a,b,c,若满足 a2+b2+2c2=8,则△ABC 面积的最大值为( ) A. B. C. D. 【分析】由三角形面积公式,同角三角函数基本关系式,余弦定理可求 S2= a2b2﹣ ,进而利 用基本不等式,从而可求 S2≤ ﹣ (c2﹣ )2,从而利用二次函数的性质可求最值. 【解答】解:由三角形面积公式可得:S= absinC, 可得:S2= a2b2(1﹣cos2C)= a2b2[1﹣( )2], ∵a2+b2+2c2=8, ∴a2+b2=8﹣2c2,可得:a2+b2=8﹣2c2≥2ab,解得:ab≤4﹣c2,当且仅当 a=b 时等号成立, ∴S2= a2b2[1﹣( )2] = a2b2[1﹣( )2] = a2b2﹣ ≤ (4﹣c2)2﹣ =﹣ +c2 = ﹣ (c2﹣ )2,当且仅当 a=b 时等号成立, ∴当 c2= 时,﹣ +c2 取得最大值 ,S 的最大值为 . 故选:B. 【点评】本题主要考查了三角形面积公式,同角三角函数基本关系式,余弦定理,基本不等式,二次函数 的最值的综合应用,考查了运算能力和转化思想,难度中等. 【知识点】余弦定理 二、填空题:(本题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分。) 13.在△ABC 中,内角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c.若△ABC 的面积是 2 ,b=3,cosC= ,则 c = ; = . 【分析】根据三角形的面积公式求出 a=2,结合余弦定理以及三角函数的倍角公式进行转化求解即可. 【解答】解:∵cosC= ,∴sinC= = = , ∵△ABC 的面积是 2 ,∴S= absinC=2 , 即 a×3× =2 ,得 a=2, 则 c2=a2+b2﹣2abcosC=4+9﹣2× =13﹣4=9,即 c=3, ∵b=c=3, ∴B=C,sinB=sinC, 则 = = =2cosC= , 故答案为:3, . 【点评】本题主要考查解三角形的应用,结合三角形的面积公式,余弦定理以及二倍角公式是解决本题的 关键,难度不大. 【知识点】二倍角的正弦、正弦定理 14.如图所示,在平面四边形 ABCD 中,AB=1,BC=2,△ACD 是以 D 为顶点的等腰直角三角形,则△ BCD 面积的最大值为 . 【分析】设 CD=AD=t,AC= t,运用余弦定理,表示出 AC,在△ABC 中运用正弦定理,结合同角的 平方关系可得 tcosβ=2﹣cosα,运用三角形的面积公式可得 S△BCD= •2•t•sin( +β),运用 两角的和的正弦公式,以及正弦函数的值域可得所求最大值. 【解答】解:在△ABC 中,设∠ABC=α,∠ACB=β,AB=1,BC=2, 余弦定理得 AC2=12+22﹣2×1×2cosα=5﹣4cosα, ∵△ACD 为等腰直角三角形, 设 CD=AD=t,AC= t, ∴2t2=5﹣4cosα, 由正弦定理得: = , ∴ tsinβ=sinα, 则 2t2sinβ=2t2﹣2t2cos2β=sin2α=1﹣cos2α, 可得 2t2cos2β=2t2﹣1+ cos2α=5﹣4cosα﹣1+cos2α=(2﹣cosα)2, 可得 tcosβ=2﹣cosα, ∴S△BCD= •2•t•sin( +β) =tsin( +β)= tcosβ+ tsinβ = (2﹣cosα)+ sinα= sin(α﹣ )+1, 当 α= 时,sin(α﹣ )=1, (S△BCD)max=1+ . 故答案为:1+ . 【点评】本题考查三角形的面积的最值的求法,注意运用余弦定理和面积公式,同时考查正弦函数的值域 的运用,属于中档题. 【知识点】三角形中的几何计算 15.如图,在△ABC 中,AC⊥BC,D 为 BC 边上的点,M 为 AD 上的点,CD=1,∠ CAB=∠MBD=∠DMB, 则 AM= . 【分析】令∠CAB=∠MBD=∠DMB=θ,可求∠MBA=90°﹣2θ,∠ BMA=180°﹣θ,由正弦定理得 AM = ,在△ACD 中由正切定义可得 AC=tan2θ,在△ACB 中,∠ACB=90°,∠BAC =θ,由正切定义可求 AB= = ,进而可求 AM 的值. 【解答】解:令∠CAB=∠MBD=∠DMB=θ, 则在△AMB 中,∠MBA=90°﹣2θ,∠BMA=180°﹣θ, 由正弦定理得: = , 即 AM= , 在△ACD 中,∠ACD=90°,∠CDA=2θ, 由正切函数的定义:AC=tan2θ, 在△ACB 中,∠ACB=90°,∠BAC=θ, 由正切定义:AB= = , 可得:AM= =2. 故答案为:2. 【点评】本题主要考查了正弦定理,勾股定理,正切定义在解三角形中的综合应用,考查了计算能力和转 化思想,属于中档题. 【知识点】正弦定理 16.在△ABC 中,已知 + + = cosC,则角 C 的最大值为 . 【 分 析 】 推 导 出 = = cosC , 由 正 弦 定 理 得 : = ,由余弦定理得 = = sinCcosC,推导出 sin2C≥ ,由此能求出角 C 的最大值. 【解答】解:∵△ABC 中, + + = cosC, ∴ = = cosC, 由正弦定理得: = , 由余弦定理得 = = sinCcosC, ∵2≤ = sinCcosC= , ∴sin2C≥ , 当且仅当 a=b 时取等号, ∵0<2C<2π,∴ , ∴角 C 的最大值为 . 故答案为: . 【点评】本题考查角的最大值的求法,考查同角三角函数关系式、正弦定理、余弦定理、二倍角公式等基 础知识,考查运算求解能力,是中档题. 【知识点】正弦定理 三、解答题:(本题共 6 小题,共 70 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。) 17.如图,在△ABC 中,点 D 在 BC 边上,∠ADC=60°,AB=2 ,BD=4. (1)求△ABD 的面积. (2)若∠BAC=120°,求 sinC 的值. 【分析】(1)求得∠ADB=120°,设 AD=t,在△ABD 中,运用余弦定理可得 AD,再由三角形面积公式 可得答案; (2)在△ABD 中,由余弦定理求得 cosB,进而求得 sinB,在△ABC 中由内角和为 180°,可 得 sinC=sin(60°﹣B),利用正弦的差角公式展开即可得解. 【解答】解:(1)∵∠ADC=60°, ∴∠ADB=120°, 设 AD = t ,在△ABD 中,由余弦定理得 AB2 = AD2+BD2 ﹣ 2AD • BD • cos120 °,即 , ∴t=2(负值舍去),即 AD=2, ∴ ; (2)在△ABD 中,由余弦定理有, , 又 B 为△ABD 内角,故 , 又∠BAC=120°, 故 × . 【点评】本题考查了正弦定理,余弦定理以及面积公式在解三角形中的运用,较为基础,解题时应细心, 避免计算失误,属于基础题. 【知识点】余弦定理、正弦定理 18.设△ABC 的内角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c,已知 c=3,且 sin(C﹣ )• cosC= . (1)求角 C 的大小; (2)若向量 =(1,sinA)与 =(2,sinB)共线,求△ABC 的周长. 【分析】(1)由已知式化简可得 ,进而得到 ,由此即可求得角 C 的大 小; (2)由向量 与 共线结合正弦定理可得 b=2a,再利用余弦定理建立关于 a 的方程,解出即 可求得周长. 【解答】解:(1)∵sin(C﹣ )• cosC= , ∴ , ∴ , ∴ , ∴ , ∴ , 又 C 为△ABC 的内角, ∴ ; (2)∵向量 =(1,sinA)与 =(2,sinB)共线, ∴sinB﹣2sinA=0, 由正弦定理可知,b=2a, 由(1)结合余弦定理可知,c2=a2+b2﹣2abcosC,即 , ∴ , ∴△ABC 的周长为 . 【点评】本题考查三角恒等变换及正余弦定理在解三角形中的运用,同时也涉及了斜率共线的坐标运算, 属于基础题. 【知识点】解三角形的实际应用 19.△ABC 的内角 A、B、C 的对边分别为 a、b、c,设(sinB﹣sinC)2=sin2A﹣sinBsinC. (1)求 A; (2)当 a=6 时,求其面积的最大值,并判断此时△ABC 的形状. 【分析】(1)根据题意,由正弦定理可得(b﹣c)2=a2﹣bc,变形可得 b2+c2﹣a2=bc,由余弦定理可得 cosA= = ,据此分析可得答案; (2)根据题意,由余弦定理可得 a2=b2+c2﹣2bccosA=b2+c2﹣bc=36,结合基本不等式的性 质分析可得 bc≤36,进而由三角形面积公式分析可得答案. 【解答】解:(1)根据题意,(sinB﹣sinC)2=sin2A﹣sinBsinC, 由正弦定理可得:(b﹣c)2=a2﹣bc, 变形可得:b2+c2﹣a2=bc, 则 cosA= = , 又由 0<A<π,则 A= ; (2)根据题意,若 a=6,则 a2=b2+c2﹣2bccosA=b2+c2﹣bc=36, 变形可得:bc≤36, 则有 S= bcsinA= bc≤9 , 当且仅当 b=c 时等号成立,此时△ABC 为等边三角形. 【点评】本题考查正弦、余弦定理的应用,关键是掌握正弦、余弦定理的应用,属于基础题. 【知识点】余弦定理、解三角形的实际应用、正弦定理 20.在△ABC 中, , , . (1)求 a 的值; (2)求 cos2C 的值. 【分析】(1)由正弦定理即可求出 a; (2)先利用 cosC=﹣cos(A+B)求出 cosC,再利用二倍角公式求出 cos2C. 【解答】解:(1)∵cosA= ,0<A<π,∴sinA= , ∴sinB=sin(A+ )=cosA= , 由正弦定理得: = = =3 ,∴a=3; (2)∵B=A+ ,∴ <B<π, 又∵sinB= ,∴cosB=﹣ , ∴cosC=﹣cos(A+B)=﹣(cosAcosB﹣sinAsinB)=sinAsinB﹣cosAcosB= , ∴cos2C=2cos2C﹣1= . 【点评】本题主要考查了正弦定理,两角和与差的余弦公式,是基础题. 【知识点】正弦定理 21.在△ABC 中,角 A,B,C 的对边分别是 a、b,c,且 4acos2 =2a﹣b+2c. (1)求 A; (2)若 b=2,△ABC 的面积为 ,M 是 AB 的中点,求 CM2. 【分析】(1)根据已知条件以及倍角公式和正弦定理即可求出结论; (2)先根据面积和已知条件求出 c,再利用余弦定理即可求解. 【解答】解:(1)因为在△ABC 中,角 A,B,C 的对边分别是 a、b,c,且 4acos2 =2a﹣b+2c; ∴2a(2cos2 ﹣1)=﹣b+2c⇒2acosB=﹣b+2c; 由正弦定理得:2sinAcosB=﹣sinB+2sinC ⇒2sinAcosB=﹣sinB+2sin(A+B) ⇒2sinAcosB=﹣sinB+2sinAcosB+2cosAsinB ⇒sinB(2cosA﹣1)=0; ∵sinB≠0; ∴cosA= ⇒A= ;(三角形内角); (2)∵b=2,△ABC 的面积为 , ∴ bcsinA= ×2×C× = ⇒c= +1; ∴CM2=MA2+CA2﹣2CA•AMcosA=( )2+22﹣2×2× × =4﹣ . 【点评】本题考查三角形的内角求法,考查三角形的边的求法,考查同角三角函数关系式、正弦定理、余 弦定理、三角形面积公式等基础知识,考查推理论证能力、运算求解能力,考查化归与转化思想、 函数与方程思想,是中档题. 【知识点】正弦定理、二倍角的正弦 22.如图,四边形 ABCD 中∠BAC=90°,∠ABC=30°,AD⊥CD,设∠ACD=θ (1)若△ABC 面积是△ACD 面积的 4 倍,求 sin2θ; (2)若∠ADB= ,求 tanθ. 【分析】(1)设 AC=a,可求 AB= a,AD=asinθ,CD=acosθ,由题意 S△ABC=4S△ACD,利用三角形的 面积公式即可求解; (2)在△ABD 中,△BCD 中,分别应用正弦定理,联立可得 2sin( +θ)=3sinθ,利用两 角和的正弦函数公式,同角三角函数基本关系式即可求解. 【解答】解:(1)设 AC=a,则 AB= a,AD=asinθ,CD=acosθ, 由题意 S△ABC=4S△ACD,则 a• a=4• acosθ•asinθ,可得 sin2θ= . (2)在△ABD 中,由正弦定理 = ,可得 = ,① 在△BCD 中, = ,可得 = ,② ①÷②可得:2sin( +θ)=3sinθ, 可得 cosθ=2sinθ, 可得 tanθ= . 【点评】本题主要考查了三角形的面积公式,正弦定理,两角和的正弦函数公式,同角三角函数基本关系 式在解三角形中的应用,考查了计算能力和转化思想,属于中档题. 【知识点】正弦定理