2020-2021学年高二数学上册单元基础练习：解三角形 15页

2020-2021 学年高二数学上册单元基础练习：解三角形 一、单项选择题：（本题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符 合题目要求的。） 1.已知△ABC 的角 A，B，C 所对的边为 a，b，c， ，则 a＝（ ） A． B．2 C． D．3 【分 析】由已知结合余弦定理即可求解 a． 【解答】解：由余弦定理可得，cosC＝ ， 即﹣ ＝ ，整理可得 a2+a﹣6＝0， 解可得 a＝2． 故选：B． 【点评】本题主要考查了余弦定理的简单应用，属于基础试题． 【知识点】正弦定理 2.在三角形 ABC 中，a，b，c 分别是角 A，B，C 的对边，若 b＝1，c＝ ，则 S△ABC＝（ ） A． B． C． D． 【分析】由已知结合余弦定理可求 a，然后结合三角形的面积公式即可求解． 【解答】解：由余弦定理可得，cosC＝ ， 即﹣ ＝ ，解可得 a＝1， 则 S△ABC＝ ＝ ＝ ． 故选：B． 【点评】本题主要考查了余弦定理及三角形的面积公式的简单应用，属于基础试题． 【知识点】正弦定理 3.设△ABC 的内角 A，B，C 所对的边分别为 a、b、c，已知 2ccosB+bcosA＝﹣acosB，则∠B＝（ ） A． B． C． D． 【分析】由正弦定理，两角和的正弦函数公式化简已知等式，结合 sinC≠0，可求 cosB 的值，进而可求 B 的值． 【解答】解：由正弦定理得：2sinCcosB+sinBcosA＝﹣sinAcosB， 可得：2sinCcosB＝﹣sin（A+B）＝﹣sinC， 由于 sinC≠0， 可得 ． 故选：D． 【点评】本题主要考查了正弦定理，两角和的正弦函数公式在解三角形中的综合应用，属于基础题． 【知识点】正弦定理 4.在△ABC 中，内角 A、B、C 所对的边分别为 a、b、c，S 为△ABC 的面积， ，且 A，、 B、C 成等差数列，则 C 的大小为（ ） A． B． C． D． 【分析】根据题意，由诱导公式可得 sin（A+C）＝sinB，进而可得 sinB＝ ，变形可得：ac ＝b2﹣c2，又由余弦定理可得 cosB＝ ＝ ，变形可得 a2+c2﹣b2＝ac，联立两个式子 可得 a＝2c，b＝ c，结合余弦定理分析可得答案． 【解答】解：根据题意，在△ABC 中，A+C＝π﹣B，则 sin（A+C）＝sinB， 又由 ，则有 sinB＝ ，变形可得：ac＝b2﹣c2，① 若 A、B、C 成等差数列，则 B＝ ，则 cosB＝ ＝ ，变形可得 a2+c2﹣b2＝ac， ②， 联立①②可得：a2＝2ac，即 a＝2c， 又由 ac＝b2﹣c2，则 b2＝ac+c2＝3c2，即 b＝ c， 则 cosC＝ ＝ ＝ ，故 C＝ ； 故选：C． 【点评】本题考查解三角形，涉及正弦定理、余弦定理的应用，关键是分析 a、b、c 的关系． 【知识点】余弦定理 5.△ABC 的内角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c，已知 a＝3，b＝7，cosB＝﹣ ，则 c＝（ ） A．4 B．5 C．8 D．10 【分析】直接利用余弦定理求解即可． 【解答】解：a＝3，b＝7，cosB＝﹣ ． 由余弦定理：b2＝a2+c2﹣2cacosB． 即 49＝9+c2﹣6×（﹣ ）c． 解得：c＝5． 故选：B． 【点评】本题考查了余弦定理的灵活应用和计算能力．属于基础题． 【知识点】余弦定理 6.已知△ABC 的内角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c，A＝60°，b＝3c，角 A 的平分线交 BC 于点 D，且 BD＝ ，则 cos∠ADB 的值为（ ） A．﹣ B． C． D．± 【分析】结合角平分线性质可求 CD，CB，然后结合余弦定理可得 c，再结合正弦定理可求 sin∠ADB，进 而可求． 【解答】解：因为 A＝60°，角 A 的平分线交 BC 于点 D，所以 CAD＝BAD＝30°， 又 b＝3c，所以 ＝ ＝ ＝3， 因为 BD＝ ，所以 CD＝3 ，a＝CB＝4 ， 因为，a2＝b2+c2﹣2bccosA， 所以 16×7＝ ， 解可得，c＝4； 在△ABD 中，由正弦定理可得， ， 即 ， 所以sin∠ADB＝ ； 因为 b＞c，所以 B＞C， 因为∠ADB＝30°+C，∠ADC＝30°+B， 所以∠ADB＜∠ADC，所以∠ADB 为锐角， 所以 cosADB＝ ． 故选：B． 【点评】本题综合考查了正弦定理，余弦定理，角平分线性质等知识在求解三角形中的应用，解题的关键 是要把图形的问题转化为数学问题． 【知识点】余弦定理 7.在△ABC 中，内角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c， 且△ABC 面积为 ，则 △ABC 面积 S 的最大值为（ ） A． B． C． D． 【分析】由已知利用三角形的面积公式可求 tanB，可得 cosB，sinB 的值，由余弦定理，基本不等式可求 ac≤8（2﹣ ），根据三角形的面积公式即可求解其最大值． 【解答】解：∵S＝ （b2﹣a2﹣c2）＝ •（﹣2accosB）＝ acsinB， ∴tanB＝﹣ ，B＝ ，cosB＝﹣ ，sinB＝ ， 又∵b＝2 ，由余弦定理可得：8＝a2+c2+ ac≥（2+ ）ac， ∴ac≤ ＝8（2﹣ ）， ∴S△ABC＝ acsinB≤ ×8（2﹣ ）× ＝4﹣2 ． ∴面积 S 的最大值为 4﹣2 ． 故选：B． 【点评】本题主要考查了三角形的面积公式，余弦定理，基本不等式在解三角形中的应用，考查了计算能 力和转化思想，属于中档题． 【知识点】余弦定理 8.△ABC 是边长为 2 的正三角形，D、E、F 分别为 AB、AC、BC 上三点，且 AD＝DF，∠ADE＝∠FDE， 则当线段 AD 的长最小时，∠ADE＝（ ） A． B． C． D． 【分析】在△BDF 中利用正弦定理可得 ，进一步得到 ， 然后求出 AD 取最 小值时∠ADE 的值． 【解答】解：∵△ABC 是边长为 2 的正三角形且 AD＝DF，∠ADE＝∠FDE， ∴在△BDF 中，BD＝2﹣AD，B＝ ，∠BFD＝2∠ADE﹣ ，0＜∠ADE＜ ， 由正弦定理，有 ， ∴ ，∴ ， ∵0＜∠ADE＜ ，∴当 sin（2∠ADE﹣ ）＝1， 即∠ADE＝ 时，AD 的取得最小值． 故选：C． 【点评】本题考查了正弦定理在解三角形中的应用，考查了转化思想，属中档题． 【知识点】三角形中的几何计算 9.在锐角△ABC 中，内角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c，已知 a+2b＝4，asinA+4bsinB＝6asinBsinC，则 △ABC 的面积取得最小值时有 c2＝（ ） A．5+ B．5+ C．5﹣ D．5﹣ 【分析】运用正弦定理和面积公式可得，a2+4b2＝12S，运用基本不等式，可得 a＝2，b＝1，S 取得最小值 ，求得 ainC，再由同角的平方关系，求得 cosC，再由余弦定理，即可得到所求值． 【解答】解：由正弦定理，asinA+4bsinB＝6asinBsinC 即为 a2+4b2＝6absinC， 又 S＝ absinC，即有 a2+4b2＝12S， 由于 a+2b＝4，即有 a2+4b2＝（a+2b）2﹣4ab＝16﹣4ab， 即有 4ab＝16﹣12S， 由 4ab≤2（ ）2＝8， 即有 16﹣12S≤8，解得 S≥ ． 当且仅当 a＝2b＝2，取得等号． 当 a＝2，b＝1，S 取得最小值 ， sinC＝ ，（ C 为锐角），则 cosC＝ ＝ ． 则 c2＝a2+b2﹣2abcosC＝4+1﹣2×2×1× ＝5﹣ ． 故选：D． 【点评】本题考查正弦定理和余弦定理及面积公式的运用，同时考查基本不等式的运用，考查运算能力， 属于中档题． 【知识点】正弦定理 10.如图，在△ABC 中， ，点 D 在线段 BC 上，且 BD＝3DC， ，则△ABC 的面积 的最大值为（ ） A． B．4 C． D． 【分析】设∠BAD＝θ，则 0＜θ＜∠BAC，根据三角形的面积公式求出 AC，AB，然后由 S△ABC＝ AB•AC •sin∠BAC＝ [4sin（2θ+φ）﹣1]，根据三角函数的性质求出面积的最大值． 【解答】解：设∠BAD＝θ，则 0＜θ＜∠BAC． ∵BD＝3DC， ，∴S△ABD＝ S△ABC， ∴ ， ∴ ，同理 AB＝8sin（∠BAC﹣θ）， ∴S△ABC＝ ＝ ＝ ＝ （其中 tanφ＝ ）， ∵0＜θ＜∠BAC，∴当 2θ+φ＝ 时，sin（2θ+φ）max＝1， ∴ ． 故选：C． 【点评】本题考查了余弦定理和基本不等式，以及三角形的面积公式，考查了运算能力和转化能力，属于 中档题． 【知识点】三角形中的几何计算 11.设 a，b，c 为 ABC 中的三边长，且 a+b+c＝1，则 a2+b2+c2+4abc 的取值范围是（ ） A．[ ， ] B．[ ， ） C．（ ， ] D．（ ， ） 【分析】记 f（a，b，c）＝a2+b2+c2+4abc，则 f（a，b，c）＝1﹣2ab﹣2c（a+b）+4abc，再根据三角形边 长性质可以证得 f（a，b，c） ．再利用不等式和已知可得 ab ，所以 f （a，b，c）≥1﹣ ﹣2c（1﹣c）＝ ， 再利用求导根据单调性可以推得 a2+b2+c2+4abc ，继而可以得出结果． 【解答】解：记 f（a，b，c）＝a2+b2+c2+4abc，则 f（a，b，c）＝1﹣2ab﹣2c（a+b）+4abc ＝1﹣2ab（1﹣2c）﹣2c（1﹣c） ＝2（c+ab）2﹣2a2b2﹣2（ab+c）+1 ＝2[c+ab﹣ ]2﹣2a2b2+ ＝4（c﹣ ）（ a﹣ ）（ b﹣ ）+ 又 a，b，c 为△ABC 的三边长， 所以 1﹣2a＞0，1﹣2b＞0，1﹣2c＞0， 所以 f（a，b，c） ． 另一方面 f（a，b，c）＝1﹣2ab（1﹣2c）﹣2c（1﹣c）， 由于 a＞0，b＞0， 所以 ab ， 又 1﹣2c＞0， 所以 f（a，b，c）≥1﹣ ﹣2c（1﹣c）＝ ， 不妨设 a≥b≥c，且 a，b，c 为△ABC 的三边长， 所以 ． 令 y＝ ，则 y′＝3c2﹣c＝c（3c﹣1）≤0， 所以 ymin＝ ﹣ ＝ ， 从而 ， 当且仅当 a＝b＝c＝ 时取等号． 故选：B． 【点评】本题考查解三角形，综合了函数和不等式，属于综合性较强的题，难度较大． 【知识点】余弦定理 12.已知△ABC 的三边分别为 a，b，c，若满足 a2+b2+2c2＝8，则△ABC 面积的最大值为（ ） A． B． C． D． 【分析】由三角形面积公式，同角三角函数基本关系式，余弦定理可求 S2＝ a2b2﹣ ，进而利 用基本不等式，从而可求 S2≤ ﹣ （c2﹣ ）2，从而利用二次函数的性质可求最值． 【解答】解：由三角形面积公式可得：S＝ absinC， 可得：S2＝ a2b2（1﹣cos2C）＝ a2b2[1﹣（ ）2]， ∵a2+b2+2c2＝8， ∴a2+b2＝8﹣2c2，可得：a2+b2＝8﹣2c2≥2ab，解得：ab≤4﹣c2，当且仅当 a＝b 时等号成立， ∴S2＝ a2b2[1﹣（ ）2] ＝ a2b2[1﹣（ ）2] ＝ a2b2﹣ ≤ （4﹣c2）2﹣ ＝﹣ +c2 ＝ ﹣ （c2﹣ ）2，当且仅当 a＝b 时等号成立， ∴当 c2＝ 时，﹣ +c2 取得最大值 ，S 的最大值为 ． 故选：B． 【点评】本题主要考查了三角形面积公式，同角三角函数基本关系式，余弦定理，基本不等式，二次函数 的最值的综合应用，考查了运算能力和转化思想，难度中等． 【知识点】余弦定理 二、填空题：（本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分。） 13.在△ABC 中，内角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c．若△ABC 的面积是 2 ，b＝3，cosC＝ ，则 c ＝ ； ＝ ． 【分析】根据三角形的面积公式求出 a＝2，结合余弦定理以及三角函数的倍角公式进行转化求解即可． 【解答】解：∵cosC＝ ，∴sinC＝ ＝ ＝ ， ∵△ABC 的面积是 2 ，∴S＝ absinC＝2 ， 即 a×3× ＝2 ，得 a＝2， 则 c2＝a2+b2﹣2abcosC＝4+9﹣2× ＝13﹣4＝9，即 c＝3， ∵b＝c＝3， ∴B＝C，sinB＝sinC， 则 ＝ ＝ ＝2cosC＝ ， 故答案为：3， ． 【点评】本题主要考查解三角形的应用，结合三角形的面积公式，余弦定理以及二倍角公式是解决本题的 关键，难度不大． 【知识点】二倍角的正弦、正弦定理 14.如图所示，在平面四边形 ABCD 中，AB＝1，BC＝2，△ACD 是以 D 为顶点的等腰直角三角形，则△ BCD 面积的最大值为 ． 【分析】设 CD＝AD＝t，AC＝ t，运用余弦定理，表示出 AC，在△ABC 中运用正弦定理，结合同角的 平方关系可得 tcosβ＝2﹣cosα，运用三角形的面积公式可得 S△BCD＝ •2•t•sin（ +β），运用 两角的和的正弦公式，以及正弦函数的值域可得所求最大值． 【解答】解：在△ABC 中，设∠ABC＝α，∠ACB＝β，AB＝1，BC＝2， 余弦定理得 AC2＝12+22﹣2×1×2cosα＝5﹣4cosα， ∵△ACD 为等腰直角三角形， 设 CD＝AD＝t，AC＝ t， ∴2t2＝5﹣4cosα， 由正弦定理得： ＝ ， ∴ tsinβ＝sinα， 则 2t2sinβ＝2t2﹣2t2cos2β＝sin2α＝1﹣cos2α， 可得 2t2cos2β＝2t2﹣1+ cos2α＝5﹣4cosα﹣1+cos2α＝（2﹣cosα）2， 可得 tcosβ＝2﹣cosα， ∴S△BCD＝ •2•t•sin（ +β） ＝tsin（ +β）＝ tcosβ+ tsinβ ＝ （2﹣cosα）+ sinα＝ sin（α﹣ ）+1， 当 α＝ 时，sin（α﹣ ）＝1， （S△BCD）max＝1+ ． 故答案为：1+ ． 【点评】本题考查三角形的面积的最值的求法，注意运用余弦定理和面积公式，同时考查正弦函数的值域 的运用，属于中档题． 【知识点】三角形中的几何计算 15.如图，在△ABC 中，AC⊥BC，D 为 BC 边上的点，M 为 AD 上的点，CD＝1，∠ CAB＝∠MBD＝∠DMB， 则 AM＝ ． 【分析】令∠CAB＝∠MBD＝∠DMB＝θ，可求∠MBA＝90°﹣2θ，∠ BMA＝180°﹣θ，由正弦定理得 AM ＝ ，在△ACD 中由正切定义可得 AC＝tan2θ，在△ACB 中，∠ACB＝90°，∠BAC ＝θ，由正切定义可求 AB＝ ＝ ，进而可求 AM 的值． 【解答】解：令∠CAB＝∠MBD＝∠DMB＝θ， 则在△AMB 中，∠MBA＝90°﹣2θ，∠BMA＝180°﹣θ， 由正弦定理得： ＝ ， 即 AM＝ ， 在△ACD 中，∠ACD＝90°，∠CDA＝2θ， 由正切函数的定义：AC＝tan2θ， 在△ACB 中，∠ACB＝90°，∠BAC＝θ， 由正切定义：AB＝ ＝ ， 可得：AM＝ ＝2． 故答案为：2． 【点评】本题主要考查了正弦定理，勾股定理，正切定义在解三角形中的综合应用，考查了计算能力和转 化思想，属于中档题． 【知识点】正弦定理 16.在△ABC 中，已知 + + ＝ cosC，则角 C 的最大值为 ． 【 分 析 】 推 导 出 ＝ ＝ cosC ， 由 正 弦 定 理 得 ： ＝ ，由余弦定理得 ＝ ＝ sinCcosC，推导出 sin2C≥ ，由此能求出角 C 的最大值． 【解答】解：∵△ABC 中， + + ＝ cosC， ∴ ＝ ＝ cosC， 由正弦定理得： ＝ ， 由余弦定理得 ＝ ＝ sinCcosC， ∵2≤ ＝ sinCcosC＝ ， ∴sin2C≥ ， 当且仅当 a＝b 时取等号， ∵0＜2C＜2π，∴ ， ∴角 C 的最大值为 ． 故答案为： ． 【点评】本题考查角的最大值的求法，考查同角三角函数关系式、正弦定理、余弦定理、二倍角公式等基 础知识，考查运算求解能力，是中档题． 【知识点】正弦定理 三、解答题：（本题共 6 小题，共 70 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。） 17.如图，在△ABC 中，点 D 在 BC 边上，∠ADC＝60°，AB＝2 ，BD＝4． （1）求△ABD 的面积． （2）若∠BAC＝120°，求 sinC 的值． 【分析】（1）求得∠ADB＝120°，设 AD＝t，在△ABD 中，运用余弦定理可得 AD，再由三角形面积公式 可得答案； （2）在△ABD 中，由余弦定理求得 cosB，进而求得 sinB，在△ABC 中由内角和为 180°，可 得 sinC＝sin（60°﹣B），利用正弦的差角公式展开即可得解． 【解答】解：（1）∵∠ADC＝60°， ∴∠ADB＝120°， 设 AD ＝ t ，在△ABD 中，由余弦定理得 AB2 ＝ AD2+BD2 ﹣ 2AD • BD • cos120 °，即 ， ∴t＝2（负值舍去），即 AD＝2， ∴ ； （2）在△ABD 中，由余弦定理有， ， 又 B 为△ABD 内角，故 ， 又∠BAC＝120°， 故 × ． 【点评】本题考查了正弦定理，余弦定理以及面积公式在解三角形中的运用，较为基础，解题时应细心， 避免计算失误，属于基础题． 【知识点】余弦定理、正弦定理 18.设△ABC 的内角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c，已知 c＝3，且 sin（C﹣ ）• cosC＝ ． （1）求角 C 的大小； （2）若向量 ＝（1，sinA）与 ＝（2，sinB）共线，求△ABC 的周长． 【分析】（1）由已知式化简可得 ，进而得到 ，由此即可求得角 C 的大 小； （2）由向量 与 共线结合正弦定理可得 b＝2a，再利用余弦定理建立关于 a 的方程，解出即 可求得周长． 【解答】解：（1）∵sin（C﹣ ）• cosC＝ ， ∴ ， ∴ ， ∴ ， ∴ ， ∴ ， 又 C 为△ABC 的内角， ∴ ； （2）∵向量 ＝（1，sinA）与 ＝（2，sinB）共线， ∴sinB﹣2sinA＝0， 由正弦定理可知，b＝2a， 由（1）结合余弦定理可知，c2＝a2+b2﹣2abcosC，即 ， ∴ ， ∴△ABC 的周长为 ． 【点评】本题考查三角恒等变换及正余弦定理在解三角形中的运用，同时也涉及了斜率共线的坐标运算， 属于基础题． 【知识点】解三角形的实际应用 19.△ABC 的内角 A、B、C 的对边分别为 a、b、c，设（sinB﹣sinC）2＝sin2A﹣sinBsinC． （1）求 A； （2）当 a＝6 时，求其面积的最大值，并判断此时△ABC 的形状． 【分析】（1）根据题意，由正弦定理可得（b﹣c）2＝a2﹣bc，变形可得 b2+c2﹣a2＝bc，由余弦定理可得 cosA＝ ＝ ，据此分析可得答案； （2）根据题意，由余弦定理可得 a2＝b2+c2﹣2bccosA＝b2+c2﹣bc＝36，结合基本不等式的性 质分析可得 bc≤36，进而由三角形面积公式分析可得答案． 【解答】解：（1）根据题意，（sinB﹣sinC）2＝sin2A﹣sinBsinC， 由正弦定理可得：（b﹣c）2＝a2﹣bc， 变形可得：b2+c2﹣a2＝bc， 则 cosA＝ ＝ ， 又由 0＜A＜π，则 A＝ ； （2）根据题意，若 a＝6，则 a2＝b2+c2﹣2bccosA＝b2+c2﹣bc＝36， 变形可得：bc≤36， 则有 S＝ bcsinA＝ bc≤9 ， 当且仅当 b＝c 时等号成立，此时△ABC 为等边三角形． 【点评】本题考查正弦、余弦定理的应用，关键是掌握正弦、余弦定理的应用，属于基础题． 【知识点】余弦定理、解三角形的实际应用、正弦定理 20.在△ABC 中， ， ， ． （1）求 a 的值； （2）求 cos2C 的值． 【分析】（1）由正弦定理即可求出 a； （2）先利用 cosC＝﹣cos（A+B）求出 cosC，再利用二倍角公式求出 cos2C． 【解答】解：（1）∵cosA＝ ，0＜A＜π，∴sinA＝ ， ∴sinB＝sin（A+ ）＝cosA＝ ， 由正弦定理得： ＝ ＝ ＝3 ，∴a＝3； （2）∵B＝A+ ，∴ ＜B＜π， 又∵sinB＝ ，∴cosB＝﹣ ， ∴cosC＝﹣cos（A+B）＝﹣（cosAcosB﹣sinAsinB）＝sinAsinB﹣cosAcosB＝ ， ∴cos2C＝2cos2C﹣1＝ ． 【点评】本题主要考查了正弦定理，两角和与差的余弦公式，是基础题． 【知识点】正弦定理 21.在△ABC 中，角 A，B，C 的对边分别是 a、b，c，且 4acos2 ＝2a﹣b+2c． （1）求 A； （2）若 b＝2，△ABC 的面积为 ，M 是 AB 的中点，求 CM2． 【分析】（1）根据已知条件以及倍角公式和正弦定理即可求出结论； （2）先根据面积和已知条件求出 c，再利用余弦定理即可求解． 【解答】解：（1）因为在△ABC 中，角 A，B，C 的对边分别是 a、b，c，且 4acos2 ＝2a﹣b+2c； ∴2a（2cos2 ﹣1）＝﹣b+2c⇒2acosB＝﹣b+2c； 由正弦定理得：2sinAcosB＝﹣sinB+2sinC ⇒2sinAcosB＝﹣sinB+2sin（A+B） ⇒2sinAcosB＝﹣sinB+2sinAcosB+2cosAsinB ⇒sinB（2cosA﹣1）＝0； ∵sinB≠0； ∴cosA＝ ⇒A＝ ；（三角形内角）； （2）∵b＝2，△ABC 的面积为 ， ∴ bcsinA＝ ×2×C× ＝ ⇒c＝ +1； ∴CM2＝MA2+CA2﹣2CA•AMcosA＝（ ）2+22﹣2×2× × ＝4﹣ ． 【点评】本题考查三角形的内角求法，考查三角形的边的求法，考查同角三角函数关系式、正弦定理、余 弦定理、三角形面积公式等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力，考查化归与转化思想、 函数与方程思想，是中档题． 【知识点】正弦定理、二倍角的正弦 22.如图，四边形 ABCD 中∠BAC＝90°，∠ABC＝30°，AD⊥CD，设∠ACD＝θ （1）若△ABC 面积是△ACD 面积的 4 倍，求 sin2θ； （2）若∠ADB＝ ，求 tanθ． 【分析】（1）设 AC＝a，可求 AB＝ a，AD＝asinθ，CD＝acosθ，由题意 S△ABC＝4S△ACD，利用三角形的 面积公式即可求解； （2）在△ABD 中，△BCD 中，分别应用正弦定理，联立可得 2sin（ +θ）＝3sinθ，利用两 角和的正弦函数公式，同角三角函数基本关系式即可求解． 【解答】解：（1）设 AC＝a，则 AB＝ a，AD＝asinθ，CD＝acosθ， 由题意 S△ABC＝4S△ACD，则 a• a＝4• acosθ•asinθ，可得 sin2θ＝ ． （2）在△ABD 中，由正弦定理 ＝ ，可得 ＝ ，① 在△BCD 中， ＝ ，可得 ＝ ，② ①÷②可得：2sin（ +θ）＝3sinθ， 可得 cosθ＝2sinθ， 可得 tanθ＝ ． 【点评】本题主要考查了三角形的面积公式，正弦定理，两角和的正弦函数公式，同角三角函数基本关系 式在解三角形中的应用，考查了计算能力和转化思想，属于中档题． 【知识点】正弦定理