【数学】2020届一轮复习人教版（理）第三章第二节　简单的三角恒等变换作业 11页

限时规范训练(限时练·夯基练·提能练)‎ A级　基础夯实练 ‎1．(2018·长沙质检)sin 163°sin 223°＋sin 253°·sin 313°等于(　　)‎ A．－　　　　　　　　 B． C．－ D． 解析：选B.原式＝sin 163°sin 223°＋cos 163°·cos 223°＝cos(163°－223°)＝cos(－60°)＝.‎ ‎2．(2018·洛阳质检)已知tan＝，则的值为(　　)‎ A. B．2‎ C．2 D．－2‎ 解析：选B.由tan＝＝，解得tan α＝3，所以＝＝＝2，故选B.‎ ‎3．(2018·九校联考)已知5sin 2α＝6cos α，α∈，则tan ＝(　　)‎ A．－ B． C. D． 解析：选B.由题意知，10sin αcos α＝6cos α，又α∈，∴sin α＝，cos α＝，‎ ‎∴tan ＝＝＝＝＝.‎ ‎4．(2018·韶关模拟)若tan α＝lg(‎10a)，tan β＝lg a，且α－β＝，则实数a的值为(　　)‎ A．1 B． C．1或 D．1或10‎ 解析：选C.因为α－β＝，所以tan(α－β)＝1，‎ 又因为tan α＝lg(‎10a)，tan β＝lg a，所以＝＝1，‎ 所以lg‎2a＋lg a＝0，‎ 所以lg a＝0或lg a＝－1，即a＝1或.‎ ‎5．(2018·苏州二模)若α∈，且3cos 2α＝sin，则sin 2α的值为(　　)‎ A. B．－ C. D．－ 解析：选D.cos 2α＝sin＝sin ‎＝2sincos 代入原式，得 ‎6sincos＝sin，‎ ‎∵α∈，∴cos＝，‎ ‎∴sin 2α＝cos＝2cos2－1＝－.‎ ‎6．化简：－sin 10°(－tan 5°)的值为________．‎ 解析：原式＝－sin 10° ‎＝－sin 10°× ‎＝ ‎＝＝＝.‎ 答案： ‎7．(2018·江西名校联考)已知cos＋sin α＝，则sin的值是________．‎ 解析：∵cos＋sin α＝，∴cos α＋sin α＝，＝，sin＝，∴sin＝，∴sin＝－sin＝－.‎ 答案：－ ‎8．若a，b是非零实数，且＝tan，则＝________．‎ 解析：由＝，‎ 又tan＝tan＝，‎ 所以＝tan＝.‎ 答案： ‎9．(2018·浙江卷)已知角α的顶点与原点O重合，始边与x轴的非负半轴重合，它的终边过点P.‎ ‎(1)求sin(α＋π)的值；‎ ‎(2)若角β满足sin(α＋β)＝，求cos β的值．‎ 解：(1)由角α的终边过点P得sin α＝－，‎ 所以sin(α＋π)＝－sin α＝.‎ ‎(2)由角α的终边过点P得cos α＝－，‎ 由sin(α＋β)＝得cos(α＋β)＝±.‎ 由β＝(α＋β)－α得cos β＝cos(α＋β)cos α＋sin(α＋β)sin α，‎ 所以cos β＝－或cos β＝.‎ ‎10．(2018·抚顺模拟)已知函数f(x)＝2cos(其中ω>0)的最小正周期为10π.‎ ‎(1)求ω的值；‎ ‎(2)设α，β∈，f＝－，f＝，求cos(α＋β)的值．‎ 解：(1)由于函数f(x)的最小正周期为10π，‎ 所以10π＝，所以ω＝.‎ ‎(2)由(1)知f(x)＝2cos.‎ 又因为f＝－，‎ 所以2cos＝2cos＝－，‎ 所以sin α＝.‎ 又因为f＝，‎ 所以2cos＝2cos β＝，‎ 所以cos β＝.‎ 又因为α，β∈，所以cos α＝，sin β＝，‎ 所以cos(α＋β)＝cos αcos β－sin αsin β ‎＝×－×＝－.‎ B级　能力提升练 ‎11．(2018·潍坊模拟)已知锐角α，β满足sin α－cos α＝，tan α＋tan β＋·tan αtan β＝，则α，β的大小关系是(　　)‎ A．α＜＜β B．β＜＜α C.＜α＜β D．＜β＜α 解析：选B.∵α为锐角，sin α－cos α＝，∴α＞.‎ 又tan α＋tan β＋tan αtan β＝，‎ ‎∴tan(α＋β)＝＝，∴α＋β＝，又α＞ ‎，∴β＜＜α，故选B.‎ ‎12．(2018·成都质检)若sin 2α＝，sin (β－α)＝，且α∈，β∈，则α＋β的值是(　　)‎ A. B． C.或 D．或 解析：选A.∵sin 2α＝，α∈，‎ ‎∴cos 2α＝－且α∈.‎ 又∵sin (β－α)＝，β∈，‎ ‎∴cos (β－α)＝－.‎ 因此，cos(α＋β)＝cos[(β－α)＋2α]‎ ‎＝cos(β－α)cos 2α－sin(β－α)sin 2α ‎＝×－×＝，‎ 又α＋β∈，∴α＋β＝.‎ ‎13．已知sin＋2sin＝0，则tan＝________．‎ 解析：sin＋2sin＝0⇒sin cos θ＋cos sin ‎ θ＋2＝0⇒sincos θ＋cos sin θ＋2＝0，‎ 等式两边同时除以cos cos θ，得 tan ＋tan θ＋2＝0⇒＝2⇒tan(＋θ)＝2.‎ 答案：2‎ ‎14．(2018·江苏卷)已知α，β为锐角，tan α＝，cos(α＋β)＝－.‎ ‎(1)求cos 2α的值；‎ ‎(2)求tan(α－β)的值．‎ 解：解法一：(1)∵tan α＝，∴＝.‎ 又sin2α＋cos2α＝1.‎ ‎∴sin2α＝，cos2α＝.‎ ‎∴cos 2α＝cos2α－sin2α＝－.‎ ‎(2)cos 2α＝－，α为锐角⇒<α<⇒sin 2α>0⇒sin 2α＝.‎ ‎∵cos(α＋β)＝－，α、β均为锐角，<α＋β<π，‎ ‎∴sin(α＋β)＝.‎ ‎∴cos(α－β)＝cos(2α－(α＋β))＝cos 2αcos(α＋β)＋sin 2αsin(α＋β)＝.‎ ‎∴sin(α－β)＝sin(2α－(α＋β))＝sin 2αcos(α＋β)－cos 2αsin(α＋β)＝－.‎ ‎∴tan(α－β)＝＝－.‎ 解法二：(1)cos 2α＝cos2α－sin2α＝＝＝＝－.‎ ‎(2)∵α为锐角，cos 2α＝－，∴2α∈(0，π)‎ ‎∴sin 2α＝＝ ‎∴tan 2α＝－ ‎∵α、β为锐角，∴α＋β∈(0，π)，‎ 又∵cos(α＋β)＝－，‎ ‎∴sin(α＋β)＝.‎ ‎∴tan(α＋β)＝－2.‎ ‎∴tan(α－β)＝tan(2α－(α＋β))＝＝＝－.‎ ‎15．(2018·泉州模拟)已知角α的顶点在坐标原点，始边与x轴的正半轴重合，终边经过点P(－3，)．‎ ‎(1)求sin 2α－tan α的值；‎ ‎(2)若函数f(x)＝cos(x－α)cos α－sin(x－α)sin α，求函数g(x)＝f－‎2f2(x)在区间上的值域．‎ 解：(1)∵角α的终边经过点P(－3，)，‎ ‎∴sin α＝，cos α＝－，tan α＝－.‎ ‎∴sin 2α－tan α＝2sin αcos α－tan α＝－＋＝－.‎ ‎(2)∵f(x)＝cos(x－α)cos α－sin(x－α)sin α＝cos x，x∈R，‎ ‎∴g(x)＝cos－2cos2x ‎＝sin 2x－1－cos 2x＝2sin－1，‎ ‎∵0≤x≤，∴－≤2x－≤.‎ ‎∴－≤sin≤1，‎ ‎∴－2≤2sin－1≤1，‎ 故函数g(x)＝f－‎2f2(x)在区间上的值域是[－2，1]．‎