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  • 2021-06-16 发布

2020-2021学年高二数学上册单元基础练习:不等式

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2020-2021 学年高二数学上册单元基础练习:不等式 一、单项选择题:(本题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符 合题目要求的。) 1.一元二次不等式 2x2+x﹣6≥0 的解集为( ) A. B. C. D. 【分析】一元二次不等式化为(x+2)( 2x﹣3)≥0,求出解集即可. 【解答】解:一元二次不等式 2x2+x﹣6≥0 可化为 (x+2)( 2x﹣3)≥0, 解得 x≤﹣2 或 x≥ , 所以原不等式的解集为(﹣∞,﹣2]∪[ ,+∞). 故选:A. 【点评】本题考查了一元二次不等式的解法与应用问题,是基础题. 【知识点】一元二次不等式 2.若 x,y 满足 ,则 2x+y 的最大值为( ) A.2 B.5 C.6 D.7 【分析】作出不等式组对应的平面区域,利用目标函数的几何意义,求最大值. 【解答】解:作出 x,y 满足 对应的平面区域如图:(阴影部分). 由 z=2x+y 得 y=﹣2x+z, 平移直线 y=﹣2x+z, 由图象可知当直线 y=﹣2x+z 经过点 A 时,直线 y=﹣2x+z 的截距最大, 此时 z 最大. 由 ,解得 A(2,1), 代入目标函数 z=2x+y 得 z=2×2+1=5. 即目标函数 z=2x+y 的最大值为 5. 故选:B. 【点评】本题主要考查线性规划的应用,利用目标函数的几何意义,结合数形结合的数学思想是解决此类 问题的基本方法. 【知识点】简单线性规划 3.已知 , ,c=1.7﹣2,则( ) A.a<c<b B.c<b<a C.a<b<c D.b<c<a 【分析】利用幂函数、指数函数的单调性即可得出. 【解答】解: > >c=1.7﹣2, 则 a>b>c. 故选:B. 【点评】本题考查了幂函数、指数函数的单调性,考查了推理能力与计算能力,属于基础题. 【知识点】不等式比较大小 4.已知 m= (a>0), n=x+1(x<0),则 m、n 之间的大小关系是( ) A.m>n B.m<n C.m=n D.m≤n 【分析】利用基本不等式求出 m 的最小值,一次函数的性质判断 n 的最大值,然后比较大小即可. 【解答】解:因为 a>0, ∴m= =a+ ﹣1≥2 ﹣1=1 当且仅当 a=1 时去等号, ∵x<0, ∴n=x+1<1; ∴m>n; 故选:A. 【点评】本题考查基本不等式的应用,函数的单调性的应用,考查基本知识的理解与应用. 【知识点】不等式比较大小 5.已知x≥1,则当 取得最小值时,x 的值为( ) A.1 B.2 C.3 D.4 【分析】结合基本不等式的等号成立的条件即可求解. 【解 答】解:x≥1,则 ≥4,当且仅当 x= 即 x=2 时取得最小值. 故选:B. 【点评】本题主要考查了基本不等式的应用条件的应用,属于基础试题. 【知识点】基本不等式 6.若 m>n>0,a= ,则( ) A.b>a>c B.a>c >b C.c>b>a D.b>c>a 【分析】根据 m>n>0 即可得出 ,从而可得出 a>c,然后可得出 , 这样即可得出 a,b,c 的大小关系. 【解答】解:∵m>n>0, ∴ , ∴ , ∴ , 又 , ∴b>a>c. 故选:A. 【点评】本题考查了基本不等式的应用,清楚基本不等式中等号成立的条件,指数式的运算法则,根式和 分数指数幂的转化,考查了计算能力,属于基础题. 【知识点】不等式比较大小 7.已知点 M 的坐标(x,y)满足不等式组 ,N 为直线 y=﹣2x+2 上任一点,则|MN|的最小值 是( ) A. B. C.1 D. 【分析】画出约束条件的可行域,利用已知条件,转化求解距离的最小值即可. 【解答】解:点 M 的坐标(x,y)满足不等式组 的可行域如图:点 M 的坐标(x,y)满足 不等式组 ,N 为直线 y=﹣2x+2 上任一点,则|MN|的最小值,就是两条平行线 y= ﹣2x+2 与 2x+y﹣4=0 之间的距离:d= = . 故选:B. 【点评】本题考查线性规划的应用,平行线之间的距离的求法,考查转化思想以及计算能力. 【知识点】简单线性规划 8.实数 x,y 满足不等式组 ,若 z=3x+y 的最大值为 5,则正数 m 的值为( ) A.2 B. C.10 D. 【分析】由题意作出其平面区域,将 z=3x+y 化为 y=﹣3x+z,z 相当于直线 y=﹣3x+z 的纵截距,从而解 方程可求出 m,即可. 【解答】解:由题意作出实数 x,y 满足不等式组 的平面区域, 将 z=3x+y 化为 y=﹣3x+z,z 相当于直线 y=﹣3x+z 的纵截距, 故结合图象可得, , 解得,x=1,y=2; 故 m=2; 故选:A. 【点评】本题考查了简单线性规划,作图要细致认真,属于中档题.≤ 【知识点】简单线性规划 9.若 x,y 满足|y|≤2﹣x,且|x|≤1,则 2x+y 的最小值为( ) A.﹣7 B.﹣5 C.1 D.4 【分析】作出不等式组对应的平面区域,利用 z 的几何意义,即可得到结论. 【解答】解:作出 x,y 满足|y|≤2﹣x,且|x|≤1,对应的平面区域如图: 由 z=2x+y 得 y=﹣2x+z 平移直线 y=﹣2x+z, 由图象可知当直线 y=﹣2x+z 经过点 A 时,直线的截距最小, 此时 z 最小, 由 ,解得 A(﹣1,﹣3),此时 z=2×(﹣1)+(﹣3)=﹣5, 则 2x+y 的最小值为:﹣5. 故选:B. 【点评】本题主要考查线性规划的应用,利用数形结合是解决本题的关键. 【知识点】简单线性规划 10.已知数列{an}的前 n 项和为 Sn,Sn=2an﹣2,若存在两项 am,an,使得 aman=64,则 的最小值为 ( ) A. B. C. D. 【分析】运用数列的递推式和等比数列的定义、通项公式可得 an=2n.求得 m+n=6, = (m+n) ( )= (10+ + ),运用基本不等式,检验等号成立的条件,即可得到所求最小值. 【解答】解:Sn=2an﹣2,可得 a1=S1=2a1﹣ 2,即 a1=2, n≥2 时,Sn﹣1=2an﹣1﹣2,又 Sn=2an﹣2, 相减可得 an=Sn﹣Sn﹣1=2an﹣2an﹣1,即 an=2an﹣1, {an}是首项为 2,公比为 2 的等比数列. 所以 an=2n. aman=64,即 2m•2n=64, 得 m+n=6, 所以 = (m+n)( )= (10+ + )≥ (10+2 )= , 当且仅当 = 时取等号,即为 m= ,n= . 因为 m、n 取整数,所以均值不等式等号条件取不到,则 > , 验证可得,当 m=2,n=4 时, 取得最小值为 . 故选:B. 【点评】本题考查数列的通项公式的求法,注意运用数列的递推式和等比数列的定义、通项公式,考查基 本不等式的运用,注意检验等号成立的条件,考查化简运算能力,属于中档题. 【知识点】数列的求和、基本不等式 11.已知正数 a、b 满足 + =1,则 + 的最小值是( ) A.6 B.12 C.24 D.36 【分析】根据题意可以将 + =1 转化成 a+b=ab,再将 + 通分转化即可得到 9b+4a﹣13,最后 利用基本不等式求出 9b+4a 的最小值即可. 【解答】解:∵a,b 为正数,且 + =1; ∴a+b=ab; ∴ + = =9b+4a﹣13; ∵9b+4a=(9b+4a)×1 =(9b+4a)×( + ) = =25; 当且仅当 时取等号. ∴ + =9b+4a﹣13≥12 故选:B. 【点评】本题考查了基本不等式,考查了学生的分析能力,计算能力,转化能力,属于中档题. 【知识点】基本不等式 12.太极图被称为“中华第一图”.从孔庙大成殿粱柱,到楼观台、三茅宫标记物;从道袍、卦摊、中医到 气功、武术等等,太极图无不跃居其上.这种广为人知的太极图,其形状如阴阳两鱼互抱在一起,因而 被 称 为 “ 阴 阳 鱼 太 极 图 ”. 在 如 图 所 示 的 阴 阳 鱼 图 案 中 , 阴 影 部 分 可 表 示 为 ,设点(x,y)∈A,则 z=2x+y 的取值范围是( ) A. B. C. D. 【分析】结合图形,平移直线 z=2x+2y,当直线与阴影部分在上方相切时取得最大值;当下移与圆 x2+y2 =4 相切时,x+2y 取最小值;分别求出对应的 z 值即可. 【解答】解:由题意可知:z=2x+y 与 x2+(y﹣1)2=1 相切时,切点在上方时取得最大值,如图: 可得: ≤1,解得 1﹣ ≤z≤1+ , z=2x+y 的最大值为:1+ . 当下移与圆 x2+y2=4 相切时,x+2y 取最小值, 同理 ≤2,即 z 的最小值为:﹣2 , 所以 z∈[﹣2 ,1+ ]. 故选:C. 【点评】本题考查线性规划的数据应用,考查转化思想以及计算能力;考查分析问题解决问题的能力 二、填空题:(本题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分。) 13.已知实数 x,y 满足 ,则 z=3x+y 的最小值为 . 【分析】由约束条件作出可行域,化目标函数为直线方程的斜截式,数形结合得到最优解,联立方程组求 得最优解的坐标,代入目标函数得答案. 【解答】解:由实数 x,y 满足 ,作出可行域如图, 联立 ,解得 A(0,1), 化目标函数 z=3x+y 为 y=﹣3x+z, 由图可知,当直线 y=﹣3x+z 过 A 时,直线在 y 轴上的截距最小,z 有最小值为 3×0+1=1. 故答案为:1. 【点评】本题考查简单的线性规划,考查了数形结合的解题思想方法,是中档题. 【知识点】简单线性规划 14.若 x>0,y>0,且 xy=3,则 + 的最小值为 . 【分析】由已知结合基本不等式即可直接求 解最值. 【解答】解:x∵>0,y>0,且 xy=3, 则 + ≥2 =2, 当且仅当 且 xy=3 即 x=1,y=3 时取等号, 故答案为:2. 【点评】本题主要考查 了基本不等式在求解最值中的应用,属于基础试题. 【知识点】基本不等式 15.若实数 a,b∈(0,1)且 ,则 的最小值为 . 【分析】先根据条件消掉 b,将 b= 代入原式得 ,再列项并用贴“1“法,最后应用基本不 等式求其最小值. 【解答】解:因为 ab= ,所以 b= , 因此 = , = , = , = , =2( )+2, = [(4a﹣1)+(4﹣4a)]+2, = [1+2+ ]+2, ≥ (3+2 )+2=4+ , 当且仅当 a= ,取“=”, 及 的最小值为 , 故答案为: , 【点评】本题考查基本不等式的应用,属于中档题. 【知识点】基本不等式 16.已知函数 f(x)=loga(x+3)﹣1(a>0 且 a≠1)的图象恒过定点 A,若点 A 在直线 mx+ny+4=0 上, 其中 mn>0,则 的最小值为 . 【分析】由 f(x)的解析式得到定点 A,将 A 点代入直线 mx+ny+4=0 中,可得 2m+n=4,再由 = 利用基本不等式求出最小值. 【解答】解:由 f(x)=loga(x+3)﹣1 知,f(x)过定点 A(﹣2,﹣1). 因为点 A 在直线 mx+ny+4=0 上,所以 2m+n=4, 又 mn>0,所以 m>0,n>0, 所以 = ≥ = , 当且仅当 ,即 m= ,n=3 时取等号, 所以 的最小值为 . 故答案为: . 【点评】本题考查了函数过定点问题和利用基本不等式求最值,考查了转化思想和计算能力,属中档题. 【知识点】基本不等式 三、解答题:(本题共 6 小题,共 70 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。) 17.解下列关于 x 的不等式: (1)x2﹣2x﹣8≤0; (2)x2+4x+5>0; (3)x2≤ax. 【分析】(1)根据 x2﹣2x﹣8≤0,得(x﹣4)( x+2)≤0,进一步得到不等式的解集; (2)由 x2+4x+5=(x+2)2+1≥1,可知不等式 x2+4x+5>0 的解集为 R; (3)x2≤ax,得 x2﹣ax=x(x﹣a)≤0,然后分 a=0,a>0 和 a<0 三种情况解一元二次不等 式即可. 【解答】解:(1)由 x2﹣2x﹣8≤0,得(x﹣4)( x+2)≤0, 所以﹣2≤x≤4,所以不等式的解集为{x|﹣2≤x≤4}; (2)因为 x2+4x+5=(x+2)2+1≥1, 所以不等式 x2+4x+5>0 的解集为 R; (3)由 x2≤ax,得 x2﹣ax=x(x﹣a)≤0, 所以当 a=0 时,x=0;当 a>0时,0≤x≤a;当 a<0 时,a≤x≤0, 所以当 a=0 时,不等式的解集为{0}; 当 a>0 时,不等式的解集为{x|0≤x≤a}; 当 a<0 时,不等式的解集为{x|a≤x≤0}. 【点评】本题考查了一元二次不等式的解法和含参一元二次不等式的解法,考查了分类讨论思想,属基础 题. 【知识点】一元二次不等式 18.已知 a>0,b>0,且 a+b=1. (1)求 + 的最小值; (2)证明: < . 【分析】(1)利用基本不等式即可求得最小值; (2)关键是配凑系数,进而利用基本不等式得证. 【解答】解:(1) ,当且仅当“ ”时取 等号, 故 + 的最小值为 ; (2)证明: , 当且仅当 时取等号,此时 a+b≠1. 故 < . 【点评】本题主要考查基本不等式的运用,属于基础题. 【知识点】基本不等式、不等式的证明 19.已知 a>﹣1,b>0,a+2b=1,则 + 的最小值为 . 【分析】根据条件可得 ,然后由 + = 利用基本不等式求出 + 的 最小值. 【解答】解:∵a>﹣1,b>0,a+2b=1,∴ , ∴ + = = ≥ = , 当且仅当 a+1=b,即 , 时取等号, ∴ + 的最小值为 . 故答案为: . 【点评】本题考查了利用基本不等式求最值,考查了转化思想和计算能力,属基础题. 【知识点】基本不等式 20.已知函数 g(x)=logax(a>0 且 a≠1)的图象过点(9,2) (I)求函数 g(x)的解析式; (Ⅱ)解不等式 g(3x﹣1)>g(﹣x+5). 【分析】(I)把已知点的坐标代入求解即可; (Ⅱ)直接利用函数大单调性即可求出结论,注意真数大于 0 的这一隐含条件. 【解答】解:(I)因为函数 g(x)=logax(a>0 且 a≠1)的图象过点(9,2) ∴loga9=2,所以 a=3,即 g(x)=log3x; (II)因为 g(x)单调递增,所以 3x﹣1>﹣x+5>0, 即不等式的解集是 . 【点评】本体主要考查对数不等式的求解,根据对数函数的单调性是解决本题的关键,这一类型题目的易 错点在于真数大于 0 容易忽略. 【知识点】指、对数不等式的解法 21.已知函数 f(x)=|x+1|+|2x﹣4|. (1)求不等式 f(x)≤6 的解集; (2)若函数 y=f(x)的图象最低点为(m,n),正数 a,b 满足 ma+nb=6,求 的取值范围. 【分析】(1)现将 f(x)写为分段函数的形式,然后根据 f(x)≤6 分别解不等式即可; (2)根据条件求出 f(x)的最小值,然后得到关于 a,b 的方程,再利用基本不等式求出 的最值,从而得到其范围. 【解答】解:(1)f(x)=|x+1|+|2x﹣4|= , ∴由 f(x)≤6,得 或 或 , ∴x∈[2,3]或 x∈(﹣1,2)或 x=﹣1. 综上,x∈[﹣1,3]. (2)∵ , ∴当 x=2 时,f(x)min=3,最低点为(2,3), 即 2a+3b=6,∴ . ∴ = = ≥ ,当且仅当 时等号成立, ∴ . 【点评】本题考查了绝对值不等式的解法和利用基本不等式求最值,考查了转化思想和分类讨论思想,属 中档题. 【知识点】绝对值不等式的解法、基本不等式 22.设 a>b>0,n 是正整数,An= (an+an﹣1b+an﹣2b2+…+a2bn﹣2+ab n﹣1+bn), Bn=( )n. (1)证明:A2>B2; (2)比较 An 与 Bn(n∈N*)的大小,并给出证明. 【分析】(1)A2= ,B2= ,又 a>b>0,作差即可比较出大小关系. (2)n=1 时,A1= =B1;n=2 时,由(1)可得:A2>B2.n≥3 时,An= , Bn=( )n.令 a+b=x,a﹣b=y,且 x,y>0.代入化简即可得出大小关系. 【解答】(1)证明:A2= ,B2= ,又 a>b>0, 则 A2﹣B2= ﹣ = >0, ∴A2>B2. (2)解:n=1 时,A1= =B1;n=2 时,由(1)可得:A2>B2. n≥3 时,An= ,Bn=( )n.令 a+b=x,a﹣b=y,且 x,y>0. 于是 An= • = [(x+y)n+1﹣( x﹣y)n+1],Bn= , ∵[(x+y)n+1﹣(x﹣y)n+1]= ≥ , ∴An≥ • = = =Bn. 综上可得:n=1 时,A1=B1;n=2 时,A2>B2. n≥3 时,An≥Bn. 【点评】本题考查了作差法、乘法公式、二项式定理的应用,考查了推理能力与计算能力,属于中档题. 【知识点】不等式比较大小