2020-2021学年高二数学上册单元基础练习：不等式 13页

2020-2021 学年高二数学上册单元基础练习：不等式 一、单项选择题：（本题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符 合题目要求的。） 1.一元二次不等式 2x2+x﹣6≥0 的解集为（ ） A． B． C． D． 【分析】一元二次不等式化为（x+2）（ 2x﹣3）≥0，求出解集即可． 【解答】解：一元二次不等式 2x2+x﹣6≥0 可化为 （x+2）（ 2x﹣3）≥0， 解得 x≤﹣2 或 x≥ ， 所以原不等式的解集为（﹣∞，﹣2]∪[ ，+∞）． 故选：A． 【点评】本题考查了一元二次不等式的解法与应用问题，是基础题． 【知识点】一元二次不等式 2.若 x，y 满足 ，则 2x+y 的最大值为（ ） A．2 B．5 C．6 D．7 【分析】作出不等式组对应的平面区域，利用目标函数的几何意义，求最大值． 【解答】解：作出 x，y 满足 对应的平面区域如图：（阴影部分）． 由 z＝2x+y 得 y＝﹣2x+z， 平移直线 y＝﹣2x+z， 由图象可知当直线 y＝﹣2x+z 经过点 A 时，直线 y＝﹣2x+z 的截距最大， 此时 z 最大． 由 ，解得 A（2，1）， 代入目标函数 z＝2x+y 得 z＝2×2+1＝5． 即目标函数 z＝2x+y 的最大值为 5． 故选：B． 【点评】本题主要考查线性规划的应用，利用目标函数的几何意义，结合数形结合的数学思想是解决此类 问题的基本方法． 【知识点】简单线性规划 3.已知 ， ，c＝1.7﹣2，则（ ） A．a＜c＜b B．c＜b＜a C．a＜b＜c D．b＜c＜a 【分析】利用幂函数、指数函数的单调性即可得出． 【解答】解： ＞ ＞c＝1.7﹣2， 则 a＞b＞c． 故选：B． 【点评】本题考查了幂函数、指数函数的单调性，考查了推理能力与计算能力，属于基础题． 【知识点】不等式比较大小 4.已知 m＝ （a＞0）， n＝x+1（x＜0），则 m、n 之间的大小关系是（ ） A．m＞n B．m＜n C．m＝n D．m≤n 【分析】利用基本不等式求出 m 的最小值，一次函数的性质判断 n 的最大值，然后比较大小即可． 【解答】解：因为 a＞0， ∴m＝ ＝a+ ﹣1≥2 ﹣1＝1 当且仅当 a＝1 时去等号， ∵x＜0， ∴n＝x+1＜1； ∴m＞n； 故选：A． 【点评】本题考查基本不等式的应用，函数的单调性的应用，考查基本知识的理解与应用． 【知识点】不等式比较大小 5.已知x≥1，则当 取得最小值时，x 的值为（ ） A．1 B．2 C．3 D．4 【分析】结合基本不等式的等号成立的条件即可求解． 【解 答】解：x≥1，则 ≥4，当且仅当 x＝ 即 x＝2 时取得最小值． 故选：B． 【点评】本题主要考查了基本不等式的应用条件的应用，属于基础试题． 【知识点】基本不等式 6.若 m＞n＞0，a＝ ，则（ ） A．b＞a＞c B．a＞c ＞b C．c＞b＞a D．b＞c＞a 【分析】根据 m＞n＞0 即可得出 ，从而可得出 a＞c，然后可得出 ， 这样即可得出 a，b，c 的大小关系． 【解答】解：∵m＞n＞0， ∴ ， ∴ ， ∴ ， 又 ， ∴b＞a＞c． 故选：A． 【点评】本题考查了基本不等式的应用，清楚基本不等式中等号成立的条件，指数式的运算法则，根式和 分数指数幂的转化，考查了计算能力，属于基础题． 【知识点】不等式比较大小 7.已知点 M 的坐标（x，y）满足不等式组 ，N 为直线 y＝﹣2x+2 上任一点，则|MN|的最小值 是（ ） A． B． C．1 D． 【分析】画出约束条件的可行域，利用已知条件，转化求解距离的最小值即可． 【解答】解：点 M 的坐标（x，y）满足不等式组 的可行域如图：点 M 的坐标（x，y）满足 不等式组 ，N 为直线 y＝﹣2x+2 上任一点，则|MN|的最小值，就是两条平行线 y＝ ﹣2x+2 与 2x+y﹣4＝0 之间的距离：d＝ ＝ ． 故选：B． 【点评】本题考查线性规划的应用，平行线之间的距离的求法，考查转化思想以及计算能力． 【知识点】简单线性规划 8.实数 x，y 满足不等式组 ，若 z＝3x+y 的最大值为 5，则正数 m 的值为（ ） A．2 B． C．10 D． 【分析】由题意作出其平面区域，将 z＝3x+y 化为 y＝﹣3x+z，z 相当于直线 y＝﹣3x+z 的纵截距，从而解 方程可求出 m，即可． 【解答】解：由题意作出实数 x，y 满足不等式组 的平面区域， 将 z＝3x+y 化为 y＝﹣3x+z，z 相当于直线 y＝﹣3x+z 的纵截距， 故结合图象可得， ， 解得，x＝1，y＝2； 故 m＝2； 故选：A． 【点评】本题考查了简单线性规划，作图要细致认真，属于中档题．≤ 【知识点】简单线性规划 9.若 x，y 满足|y|≤2﹣x，且|x|≤1，则 2x+y 的最小值为（ ） A．﹣7 B．﹣5 C．1 D．4 【分析】作出不等式组对应的平面区域，利用 z 的几何意义，即可得到结论． 【解答】解：作出 x，y 满足|y|≤2﹣x，且|x|≤1，对应的平面区域如图： 由 z＝2x+y 得 y＝﹣2x+z 平移直线 y＝﹣2x+z， 由图象可知当直线 y＝﹣2x+z 经过点 A 时，直线的截距最小， 此时 z 最小， 由 ，解得 A（﹣1，﹣3），此时 z＝2×（﹣1）+（﹣3）＝﹣5， 则 2x+y 的最小值为：﹣5． 故选：B． 【点评】本题主要考查线性规划的应用，利用数形结合是解决本题的关键． 【知识点】简单线性规划 10.已知数列{an}的前 n 项和为 Sn，Sn＝2an﹣2，若存在两项 am，an，使得 aman＝64，则 的最小值为 （ ） A． B． C． D． 【分析】运用数列的递推式和等比数列的定义、通项公式可得 an＝2n．求得 m+n＝6， ＝ （m+n） （ ）＝ （10+ + ），运用基本不等式，检验等号成立的条件，即可得到所求最小值． 【解答】解：Sn＝2an﹣2，可得 a1＝S1＝2a1﹣ 2，即 a1＝2， n≥2 时，Sn﹣1＝2an﹣1﹣2，又 Sn＝2an﹣2， 相减可得 an＝Sn﹣Sn﹣1＝2an﹣2an﹣1，即 an＝2an﹣1， {an}是首项为 2，公比为 2 的等比数列． 所以 an＝2n． aman＝64，即 2m•2n＝64， 得 m+n＝6， 所以 ＝ （m+n）（ ）＝ （10+ + ）≥ （10+2 ）＝ ， 当且仅当 ＝ 时取等号，即为 m＝ ，n＝ ． 因为 m、n 取整数，所以均值不等式等号条件取不到，则 ＞ ， 验证可得，当 m＝2，n＝4 时， 取得最小值为 ． 故选：B． 【点评】本题考查数列的通项公式的求法，注意运用数列的递推式和等比数列的定义、通项公式，考查基 本不等式的运用，注意检验等号成立的条件，考查化简运算能力，属于中档题． 【知识点】数列的求和、基本不等式 11.已知正数 a、b 满足 + ＝1，则 + 的最小值是（ ） A．6 B．12 C．24 D．36 【分析】根据题意可以将 + ＝1 转化成 a+b＝ab，再将 + 通分转化即可得到 9b+4a﹣13，最后 利用基本不等式求出 9b+4a 的最小值即可． 【解答】解：∵a，b 为正数，且 + ＝1； ∴a+b＝ab； ∴ + ＝ ＝9b+4a﹣13； ∵9b+4a＝（9b+4a）×1 ＝（9b+4a）×（ + ） ＝ ＝25； 当且仅当 时取等号． ∴ + ＝9b+4a﹣13≥12 故选：B． 【点评】本题考查了基本不等式，考查了学生的分析能力，计算能力，转化能力，属于中档题． 【知识点】基本不等式 12.太极图被称为“中华第一图”．从孔庙大成殿粱柱，到楼观台、三茅宫标记物；从道袍、卦摊、中医到 气功、武术等等，太极图无不跃居其上．这种广为人知的太极图，其形状如阴阳两鱼互抱在一起，因而 被 称 为 “ 阴 阳 鱼 太 极 图 ”． 在 如 图 所 示 的 阴 阳 鱼 图 案 中 ， 阴 影 部 分 可 表 示 为 ，设点（x，y）∈A，则 z＝2x+y 的取值范围是（ ） A． B． C． D． 【分析】结合图形，平移直线 z＝2x+2y，当直线与阴影部分在上方相切时取得最大值；当下移与圆 x2+y2 ＝4 相切时，x+2y 取最小值；分别求出对应的 z 值即可． 【解答】解：由题意可知：z＝2x+y 与 x2+（y﹣1）2＝1 相切时，切点在上方时取得最大值，如图： 可得： ≤1，解得 1﹣ ≤z≤1+ ， z＝2x+y 的最大值为：1+ ． 当下移与圆 x2+y2＝4 相切时，x+2y 取最小值， 同理 ≤2，即 z 的最小值为：﹣2 ， 所以 z∈[﹣2 ，1+ ]． 故选：C． 【点评】本题考查线性规划的数据应用，考查转化思想以及计算能力；考查分析问题解决问题的能力 二、填空题：（本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分。） 13.已知实数 x，y 满足 ，则 z＝3x+y 的最小值为 ． 【分析】由约束条件作出可行域，化目标函数为直线方程的斜截式，数形结合得到最优解，联立方程组求 得最优解的坐标，代入目标函数得答案． 【解答】解：由实数 x，y 满足 ，作出可行域如图， 联立 ，解得 A（0，1）， 化目标函数 z＝3x+y 为 y＝﹣3x+z， 由图可知，当直线 y＝﹣3x+z 过 A 时，直线在 y 轴上的截距最小，z 有最小值为 3×0+1＝1． 故答案为：1． 【点评】本题考查简单的线性规划，考查了数形结合的解题思想方法，是中档题． 【知识点】简单线性规划 14.若 x＞0，y＞0，且 xy＝3，则 + 的最小值为 ． 【分析】由已知结合基本不等式即可直接求 解最值． 【解答】解：x∵＞0，y＞0，且 xy＝3， 则 + ≥2 ＝2， 当且仅当 且 xy＝3 即 x＝1，y＝3 时取等号， 故答案为：2． 【点评】本题主要考查 了基本不等式在求解最值中的应用，属于基础试题． 【知识点】基本不等式 15.若实数 a，b∈（0，1）且 ，则 的最小值为 ． 【分析】先根据条件消掉 b，将 b＝ 代入原式得 ，再列项并用贴“1“法，最后应用基本不 等式求其最小值． 【解答】解：因为 ab＝ ，所以 b＝ ， 因此 ＝ ， ＝ ， ＝ ， ＝ ， ＝2（ ）+2， ＝ [（4a﹣1）+（4﹣4a）]+2， ＝ [1+2+ ]+2， ≥ （3+2 ）+2＝4+ ， 当且仅当 a＝ ，取“＝”， 及 的最小值为 ， 故答案为： ， 【点评】本题考查基本不等式的应用，属于中档题． 【知识点】基本不等式 16.已知函数 f（x）＝loga（x+3）﹣1（a＞0 且 a≠1）的图象恒过定点 A，若点 A 在直线 mx+ny+4＝0 上， 其中 mn＞0，则 的最小值为 ． 【分析】由 f（x）的解析式得到定点 A，将 A 点代入直线 mx+ny+4＝0 中，可得 2m+n＝4，再由 ＝ 利用基本不等式求出最小值． 【解答】解：由 f（x）＝loga（x+3）﹣1 知，f（x）过定点 A（﹣2，﹣1）． 因为点 A 在直线 mx+ny+4＝0 上，所以 2m+n＝4， 又 mn＞0，所以 m＞0，n＞0， 所以 ＝ ≥ ＝ ， 当且仅当 ，即 m＝ ，n＝3 时取等号， 所以 的最小值为 ． 故答案为： ． 【点评】本题考查了函数过定点问题和利用基本不等式求最值，考查了转化思想和计算能力，属中档题． 【知识点】基本不等式 三、解答题：（本题共 6 小题，共 70 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。） 17.解下列关于 x 的不等式： （1）x2﹣2x﹣8≤0； （2）x2+4x+5＞0； （3）x2≤ax． 【分析】（1）根据 x2﹣2x﹣8≤0，得（x﹣4）（ x+2）≤0，进一步得到不等式的解集； （2）由 x2+4x+5＝（x+2）2+1≥1，可知不等式 x2+4x+5＞0 的解集为 R； （3）x2≤ax，得 x2﹣ax＝x（x﹣a）≤0，然后分 a＝0，a＞0 和 a＜0 三种情况解一元二次不等 式即可． 【解答】解：（1）由 x2﹣2x﹣8≤0，得（x﹣4）（ x+2）≤0， 所以﹣2≤x≤4，所以不等式的解集为{x|﹣2≤x≤4}； （2）因为 x2+4x+5＝（x+2）2+1≥1， 所以不等式 x2+4x+5＞0 的解集为 R； （3）由 x2≤ax，得 x2﹣ax＝x（x﹣a）≤0， 所以当 a＝0 时，x＝0；当 a＞0时，0≤x≤a；当 a＜0 时，a≤x≤0， 所以当 a＝0 时，不等式的解集为{0}； 当 a＞0 时，不等式的解集为{x|0≤x≤a}； 当 a＜0 时，不等式的解集为{x|a≤x≤0}． 【点评】本题考查了一元二次不等式的解法和含参一元二次不等式的解法，考查了分类讨论思想，属基础 题． 【知识点】一元二次不等式 18.已知 a＞0，b＞0，且 a+b＝1． （1）求 + 的最小值； （2）证明： ＜ ． 【分析】（1）利用基本不等式即可求得最小值； （2）关键是配凑系数，进而利用基本不等式得证． 【解答】解：（1） ，当且仅当“ ”时取 等号， 故 + 的最小值为 ； （2）证明： ， 当且仅当 时取等号，此时 a+b≠1． 故 ＜ ． 【点评】本题主要考查基本不等式的运用，属于基础题． 【知识点】基本不等式、不等式的证明 19.已知 a＞﹣1，b＞0，a+2b＝1，则 + 的最小值为 ． 【分析】根据条件可得 ，然后由 + ＝ 利用基本不等式求出 + 的 最小值． 【解答】解：∵a＞﹣1，b＞0，a+2b＝1，∴ ， ∴ + ＝ ＝ ≥ ＝ ， 当且仅当 a+1＝b，即 ， 时取等号， ∴ + 的最小值为 ． 故答案为： ． 【点评】本题考查了利用基本不等式求最值，考查了转化思想和计算能力，属基础题． 【知识点】基本不等式 20.已知函数 g（x）＝logax（a＞0 且 a≠1）的图象过点（9，2） （I）求函数 g（x）的解析式； （Ⅱ）解不等式 g（3x﹣1）＞g（﹣x+5）． 【分析】（I）把已知点的坐标代入求解即可； （Ⅱ）直接利用函数大单调性即可求出结论，注意真数大于 0 的这一隐含条件． 【解答】解：（I）因为函数 g（x）＝logax（a＞0 且 a≠1）的图象过点（9，2） ∴loga9＝2，所以 a＝3，即 g（x）＝log3x； （II）因为 g（x）单调递增，所以 3x﹣1＞﹣x+5＞0， 即不等式的解集是 ． 【点评】本体主要考查对数不等式的求解，根据对数函数的单调性是解决本题的关键，这一类型题目的易 错点在于真数大于 0 容易忽略． 【知识点】指、对数不等式的解法 21.已知函数 f（x）＝|x+1|+|2x﹣4|． （1）求不等式 f（x）≤6 的解集； （2）若函数 y＝f（x）的图象最低点为（m，n），正数 a，b 满足 ma+nb＝6，求 的取值范围． 【分析】（1）现将 f（x）写为分段函数的形式，然后根据 f（x）≤6 分别解不等式即可； （2）根据条件求出 f（x）的最小值，然后得到关于 a，b 的方程，再利用基本不等式求出 的最值，从而得到其范围． 【解答】解：（1）f（x）＝|x+1|+|2x﹣4|＝ ， ∴由 f（x）≤6，得 或 或 ， ∴x∈[2，3]或 x∈（﹣1，2）或 x＝﹣1． 综上，x∈[﹣1，3]． （2）∵ ， ∴当 x＝2 时，f（x）min＝3，最低点为（2，3）， 即 2a+3b＝6，∴ ． ∴ ＝ ＝ ≥ ，当且仅当 时等号成立， ∴ ． 【点评】本题考查了绝对值不等式的解法和利用基本不等式求最值，考查了转化思想和分类讨论思想，属 中档题． 【知识点】绝对值不等式的解法、基本不等式 22.设 a＞b＞0，n 是正整数，An＝ （an+an﹣1b+an﹣2b2+…+a2bn﹣2+ab n﹣1+bn）， Bn＝（ ）n． （1）证明：A2＞B2； （2）比较 An 与 Bn（n∈N*）的大小，并给出证明． 【分析】（1）A2＝ ，B2＝ ，又 a＞b＞0，作差即可比较出大小关系． （2）n＝1 时，A1＝ ＝B1；n＝2 时，由（1）可得：A2＞B2．n≥3 时，An＝ ， Bn＝（ ）n．令 a+b＝x，a﹣b＝y，且 x，y＞0．代入化简即可得出大小关系． 【解答】（1）证明：A2＝ ，B2＝ ，又 a＞b＞0， 则 A2﹣B2＝ ﹣ ＝ ＞0， ∴A2＞B2． （2）解：n＝1 时，A1＝ ＝B1；n＝2 时，由（1）可得：A2＞B2． n≥3 时，An＝ ，Bn＝（ ）n．令 a+b＝x，a﹣b＝y，且 x，y＞0． 于是 An＝ • ＝ [（x+y）n+1﹣（ x﹣y）n+1]，Bn＝ ， ∵[（x+y）n+1﹣（x﹣y）n+1]＝ ≥ ， ∴An≥ • ＝ ＝ ＝Bn． 综上可得：n＝1 时，A1＝B1；n＝2 时，A2＞B2． n≥3 时，An≥Bn． 【点评】本题考查了作差法、乘法公式、二项式定理的应用，考查了推理能力与计算能力，属于中档题． 【知识点】不等式比较大小