【数学】2020届一轮复习（理）江苏专版7-3基本不等式及其应用作业 7页

课时跟踪检测（三十五） 基本不等式及其应用 一抓基础，多练小题做到眼疾手快 ‎1．(2019·连云港调研)若x＞0，y＞0，且log2x＋log2y＝2，则＋的最小值为________．‎ 解析：∵x＞0，y＞0，且log2x＋log2y＝log2xy＝2，‎ ‎∴xy＝4，‎ ‎∴＋≥2＝，当且仅当＝且xy＝4，即x＝，y＝2时取等号，‎ ‎∴＋的最小值为 .‎ 答案： ‎2．当x＞0时，f(x)＝的最大值为________．‎ 解析：因为x＞0，所以f(x)＝＝≤＝1，‎ 当且仅当x＝，即x＝1时取等号．‎ 答案：1‎ ‎3．(2018·苏州期末)已知a＞0，b＞0，且＋＝1，则3a＋2b＋的最小值为________．‎ 解析：∵a＞0，b＞0，且＋＝1，‎ ‎∴3a＋2b＋＝3a＋2b＋＝5＋＋≥5＋2＝11，当且仅当a＝b＝2时取等号，‎ ‎∴3a＋2b＋的最小值为11.‎ 答案：11‎ ‎4．当3＜x＜12时，函数y＝的最大值为________．‎ 解析：y＝＝ ‎＝－＋15≤－2 ＋15＝3.‎ 当且仅当x＝，即x＝6时，ymax＝3.‎ 答案：3‎ ‎5．(2018·通州期末)若log4(a＋4b)＝log2，则a＋b的最小值是________．‎ 解析：∵log4(a＋4b)＝log2，‎ ‎∴log2＝log2，a＋4b＞0，ab＞0.‎ ‎∴＝，即a＋4b＝ab，‎ ‎∴＋＝1，‎ ‎∴a＋b＝(a＋b)＝5＋＋≥5＋2＝9，当且仅当a＝2b＝6时取等号．‎ ‎∴a＋b的最小值是9.‎ 答案：9‎ ‎6．某车间分批生产某种产品，每批的生产准备费用为800元．若每批生产x件，则平均仓储时间为天，且每件产品每天的仓储费用为1元．为使平均到每件产品的生产准备费用与仓储费用之和最小，每批应生产产品________件．‎ 解析：每批生产x件，则平均每件产品的生产准备费用是元，每件产品的仓储费用是元，则＋≥2 ＝20，当且仅当＝，即x＝80时“＝”成立，所以每批生产产品80件．‎ 答案：80‎ 二保高考，全练题型做到高考达标 ‎1．(2019·盐城调研)若x＞0，y＞0，且x＋＋y＋≤9，则＋的最大值为________．‎ 解析：令x＋y＝n，＋＝m，‎ ‎∴m·n＝(x＋y)＝5＋＋≥9.‎ ‎∴⇒9≥m＋n≥m＋.‎ ‎∴m2－9m＋9≤0，解得≤m≤.‎ ‎∴＋的最大值为.‎ 答案： ‎2．已知ab＝，a，b∈(0,1)，则＋的最小值为________．‎ 解析：由题意得b＝，所以0＜＜1，即a∈，得＋＝＋＝＋＋2.‎ ‎4(1－a)＋(4a－1)＝3，记S＝＋，则S＝＋＝[(4－4a)＋(4a－1)]＝2＋≥2＋，当且仅当＝时等号成立，‎ 所以所求最小值为4＋.‎ 答案：4＋ ‎3．(2018·连云港期末)已知x＞0，y＞0，且2x＋4y＝4，则＋的最小值是________．‎ 解析：∵x＞0，y＞0，且2x＋4y＝4，‎ ‎∴4＝2x＋4y≥2，即x＋2y≤2，‎ ‎∴＋≥(x＋2y)＝ ‎≥＝4，‎ 当且仅当x＝2y时等号成立，‎ ‎∴＋的最小值是4.‎ 答案：4‎ ‎4．(2019·湖北七市(州)协作体联考)已知直线ax＋by－6＝0(a＞0，b＞0)被圆x2＋y2－2x－4y＝0截得的弦长为2，则ab的最大值是________．‎ 解析：将圆的一般方程化为标准方程为(x－1)2＋(y－2)2＝5，圆心坐标为(1,2)，半径r＝，故直线过圆心，即a＋2b＝6，所以a＋2b＝6≥2，可得ab≤，当且仅当a＝2b＝3时等号成立，即ab的最大值是.‎ 答案： ‎5．某地区要建造一条防洪堤，其横断面为等腰梯形，腰与底边夹角为60°(如图)，考虑到防洪堤的坚固性及水泥用料等因素，要求设计其横断面的面积为9 m2，且高度不低于 m，记防洪堤横断面的腰长为x m，外周长(梯形的上底与两腰长的和)为y ‎ m，若要使堤的上面与两侧面的水泥用料最省(即横断面的外周长最小)，则防洪堤的腰长x＝________.‎ 解析：设横断面的高为h，‎ 由题意得AD＝BC＋2·＝BC＋x，h＝x，‎ 所以9＝(AD＋BC)h＝(2BC＋x)·x，故BC＝－，‎ 由得2≤x＜6，‎ 所以y＝BC＋2x＝＋(2≤x＜6)，‎ 从而y＝＋≥2 ＝6，‎ 当且仅当＝(2≤x＜6)，即x＝2时等号成立．‎ 答案：2 ‎6．(2018·苏州期末)已知正数x，y满足x＋y＝1，则＋的最小值为________．‎ 解析：令x＋2＝a，y＋1＝b，则a＋b＝4(a＞2，b＞1)，所以＋＝＋＝(a＋b)＝≥(5＋4)＝，当且仅当a＝，b＝，即x＝，y＝时取等号．则＋的最小值为.‎ 答案： ‎7．(2018·南通三模)若正实数x，y满足x＋y＝1，则＋的最小值是________．‎ 解析：因为正实数x，y满足x＋y＝1，所以＋＝＋＝＋＋4≥2＋4＝8，当且仅当＝，即x＝，y＝时取“＝”，所以＋的最小值是8.‎ 答案：8‎ ‎8．(2018·扬州期末)已知正实数x，y满足x＋y＝xy，则＋的最小值为________．‎ 解析：∵x＋y＝xy，‎ ‎∴＋＝ ‎＝＝＝2x＋3y.‎ 又∵x＋y＝xy可化为＋＝1，‎ ‎∴2x＋3y＝(2x＋3y) ‎＝＋＋5≥2＋5＝2＋5，当且仅当2x2＝3y2时取等号，‎ ‎∴＋的最小值为2＋5.‎ 答案：2＋5‎ ‎9．(1)当x＜时，求函数y＝x＋的最大值；‎ ‎(2)设0＜x＜2，求函数y＝的最大值．‎ 解：(1)y＝(2x－3)＋＋＝－＋.‎ 当x＜时，有3－2x＞0，‎ 所以＋≥2 ＝4，‎ 当且仅当＝，即x＝－时取等号．‎ 于是y≤－4＋＝－，故函数的最大值为－.‎ ‎(2)因为0＜x＜2，所以2－x＞0，‎ 所以y＝＝·≤ ·＝，‎ 当且仅当x＝2－x，即x＝1时取等号，‎ 所以当x＝1时，函数y＝的最大值为.‎ ‎10．(2019·泰州调研)已知x＞0，y＞0，且2x＋y＝4.‎ ‎(1)求xy的最大值及相应的x，y的值；‎ ‎(2)求9x＋3y的最小值及相应的x，y的值．‎ 解：(1)因为4＝2x＋y≥2⇒xy≤2，‎ 所以xy的最大值为2，当且仅当2x＝y＝2，‎ 即x＝1，y＝2时取“＝”．‎ ‎(2)因为9x＋3y＝32x＋3y≥2＝18，‎ 所以9x＋3y的最小值为18，‎ 当且仅当9x＝3y，即2x＝y＝2⇒x＝1，y＝2时取“＝”．‎ 三上台阶，自主选做志在冲刺名校 ‎1．(2018·启东期中)已知α为锐角，则2tan α＋的最小值为________．‎ 解析：∵α为锐角，∴tan α＞0，‎ ‎∴2tan α＋＝2tan α＋＝＋≥2 ＝，‎ 当且仅当tan α＝ ，即α＝时取得等号，‎ ‎∴2tan α＋的最小值为.‎ 答案： ‎2．(2018·苏北四市联考)已知对满足x＋y＋4＝2xy的任意正实数x，y，都有x2＋2xy＋y2－ax－ay＋1≥0，则实数a的取值范围为________．‎ 解析：法一：由x＋y＋4＝2xy≤得(x＋y)2－2(x＋y)－8≥0，又x，y是正实数，得x＋y≥4.原不等式整理可得(x＋y)2－a(x＋y)＋1≥0，令x＋y＝t，t≥4，则t2－at＋1≥0，t∈[4，＋∞)　(*)恒成立，当Δ＝a2－4≤0，即－2≤a≤2时，(*)式恒成立；当a＜－2时，对称轴t＝＜－1，(*)式恒成立；当a＞2时，对称轴t＝，要使(*)式恒成立，则＜4，且16－4a＋1≥0，得2＜a≤.综上可得(*)式恒成立时，a≤，则实数a的取值范围是.‎ 法二：由x＋y＋4＝2xy≤得(x＋y)2－2(x＋y)－8≥0，又x，y是正实数，得x＋y≥4.原不等式整理可得(x＋y)2－a(x＋y)＋1≥0，令x＋y＝t，t≥4，则t2－at＋1≥0，t∈[4， ＋∞)　(*)恒成立，则a≤min＝，故实数a的取值范围是.‎ 答案： ‎3．某工厂某种产品的年固定成本为250万元，每生产x千件，需另投入成本为C(x)，当年产量不足80千件时，C(x)＝x2＋10x(万元)．当年产量不小于80千件时，C(x)＝51x＋－1 450(万元)．每件商品售价为0.05万元．通过市场分析，该厂生产的商品能全部 售完．‎ ‎(1)写出年利润L(x)(万元)关于年产量x(千件)的函数解析式．‎ ‎(2)当年产量为多少千件时，该厂在这一商品的生产中所获利润最大？‎ 解：(1)因为每件商品售价为0.05万元，‎ 则x千件商品销售额为0.05×1 000x万元，依题意得：‎ 当0＜x＜80时，L(x)＝(0.05×1 000x)－x2－10x－250＝－x2＋40x－250.‎ 当x≥80时，L(x)＝(0.05×1 000x)－51x－＋1 450－250＝1 200－.‎ 所以L(x)＝ ‎(2)当0＜x＜80时，L(x)＝－(x－60)2＋950.‎ 此时，当x＝60时，L(x)取得最大值L(60)＝950万元．‎ 当x≥80时，L(x)＝1 200－ ‎≤1 200－2 ＝1 200－200＝1 000.‎ 此时x＝，即x＝100时，L(x)取得最大值1 000万元．‎ 由于950＜1 000，所以，当年产量为100千件时，该厂在这一商品生产中所获利润最大，最大利润为1 000万元．‎