【数学】2020届一轮复习苏教版直接证明与间接证明作业 5页

第3讲　直接证明与间接证明 ‎ (建议用时：40分钟)‎ 一、填空题 ‎1．(2018·安阳模拟)若a＜b＜0，则下列不等式中成立的是________．‎ ‎①＜；②a＋＞b＋；③b＋＞a＋；④＜.‎ 解析　(特值法)取a＝－2，b＝－1，验证③正确．‎ 答案　③‎ ‎2．用反证法证明命题：“已知a，b∈N，若ab可被5整除，则a，b中至少有一个能被5整除”时，应反设________成立．‎ ‎ 解析　由反证法的定义得，反设即否定结论．‎ 答案　a，b都不能被5整除 ‎3．(2018·上海模拟)“a＝”是“对任意正数x，均有x＋≥‎1”‎的________条件．‎ 解析　当a＝时，x＋≥2＝1，当且仅当x＝，即x＝时取等号；反之，显然不成立．‎ 答案　充分不必要 ‎4．(2018·张家口模拟)分析法又称执果索因法，若用分析法证明：“设a＞b＞c，且a＋b＋c＝0，求证＜a”索的因应是________．‎ ‎①a－b＞0；②a－c＞0；③(a－b)(a－c)＞0；④(a－b)(a－c)＜0.‎ 解析　由题意知＜a⇐b2－ac＜‎3a2‎ ‎⇐(a＋c)2－ac＜‎3a2‎ ‎⇐a2＋‎2ac＋c2－ac－‎3a2＜0‎ ‎⇐－‎2a2＋ac＋c2＜0‎ ‎⇐‎2a2－ac－c2＞0‎ ‎⇐(a－c)(‎2a＋c)＞0⇐(a－c)(a－b)＞0.‎ 答案　③‎ ‎5．(2018·天津模拟)p＝＋，q＝·(m，n，a，b，c，d均为正数)，则p，q的大小关系为________．‎ 解析　q＝ ≥＝＋＝p.‎ 答案　p≤q ‎6．下列条件：①ab>0，②ab<0，③a>0，b>0，④a<0，b<0，其中能使＋≥2成立的条件的个数是________．‎ 解析　要使＋≥2，只需>0且>0成立，即a，b不为0且同号即可，故①③④能使＋≥2成立．‎ 答案　3‎ ‎7．已知a，b，m均为正数，且a＞b，则与的大小关系是________．‎ 解析　－＝＝，‎ ‎∵a，b，m＞0，且a＞b，∴b－a＜0，∴＜.‎ 答案　＜ ‎8．设a，b是两个实数，给出下列条件：①a＋b＞2；②a2＋b2＞2.其中能推出：“a，b中至少有一个大于‎1”‎的条件的是________(填序号)．‎ 答案　①‎ 二、解答题 ‎9．若a，b，c是不全相等的正数，求证：‎ lg＋lg＋lg＞lg a＋lg b＋lg c.‎ 证明　∵a，b，c∈(0，＋∞)，‎ ‎∴≥＞0，≥＞0，≥＞0.‎ 又上述三个不等式中等号不能同时成立．‎ ‎∴··＞abc成立．‎ 上式两边同时取常用对数，‎ 得lg＞lg abc，‎ ‎∴lg＋lg＋lg＞lg a＋lg b＋lg c.‎ ‎10．(2018·鹤岗模拟)设数列{an}是公比为q的等比数列，Sn是它的前n项和．‎ ‎(1)求证：数列{Sn}不是等比数列；‎ ‎(2)数列{Sn}是等差数列吗？为什么？‎ ‎(1)证明　假设数列{Sn}是等比数列，则S＝S1S3，‎ 即a(1＋q)2＝a1·a1·(1＋q＋q2)，‎ 因为a1≠0，所以(1＋q)2＝1＋q＋q2，‎ 即q＝0，这与公比q≠0矛盾，‎ 所以数列{Sn}不是等比数列．‎ ‎(2)解　当q＝1时，Sn＝na1，故{Sn}是等差数列；‎ 当q≠1时，{Sn}不是等差数列，否则2S2＝S1＋S3，‎ 即‎2a1(1＋q)＝a1＋a1(1＋q＋q2)，‎ 得q＝0，这与公比q≠0矛盾．‎ 综上，当q＝1数列{Sn}是等差数列；当q≠1时，{Sn}不是等差数列．‎ 能力提升题组 ‎(建议用时：25分钟)‎ 一、填空题 ‎1．(2018·漳州一模)设a，b，c均为正实数，则三个数a＋，b＋，c＋________.‎ ‎①都大于2；②都小于2；③至少有一个不大于2；④至少有一个不小于2‎ 解析　∵a＞0，b＞0，c＞0，‎ ‎∴＋＋＝＋＋‎ ≥6，当且仅当a＝b＝c时，“＝”‎ 成立，故三者不能都小于2，即至少有一个不小于2.‎ 答案　④‎ ‎2．已知函数f(x)＝x，a，b是正实数，A＝f ，B＝f ()，C＝f ，则A，B，C的大小关系为________．‎ 解析　∵≥≥，又f(x)＝x在R上是减函数，∴f ≤f()≤f .‎ 答案　A≤B≤C ‎3．(2018·株洲模拟)已知a，b，μ∈(0，＋∞)，且＋＝1，则使得a＋b≥μ恒成立的μ的取值范围是________．‎ 解析　∵a，b∈(0，＋∞)，且＋＝1，‎ ‎∴a＋b＝(a＋b)＝10＋≥16，当且仅当a＝4，b＝12时等号成立，∴a＋b的最小值为16.‎ ‎∴要使a＋b≥μ恒成立，需16≥μ，∴0<μ≤16.‎ 答案　(0,16]‎ 二、解答题 ‎4．是否存在两个等比数列{an}，{bn}，使得b1－a1，b2－a2，b3－a3，b4－a4成公差不为0的等差数列？若存在，求{an}，{bn}的通项公式；若不存在，说明理由．‎ 证明　假设存在两个等比数列{an}，{bn}使b1－a1，b2－a2，b3－a3，b4－a4成公差不为0的等差数列．‎ 设{an}的公比为q1，{bn}的公比为q2，‎ 则b2－a2＝b1q2－a1q1，b3－a3＝b1q－a1q，‎ b4－a4＝b1q－a1q.‎ 由b1－a1，b2－a2，b3－a3，b4－a4成等差数列得 即 ‎①×q2－②得a1(q1－q2)(q1－1)2＝0，‎ 由a1≠0得q1＝q2或q1＝1.‎ ⅰ)当q1＝q2时，由①，②得b1＝a1或q1＝q2＝1，‎ 这时(b2－a2)－(b1－a1)＝0，与公差不为0矛盾．‎ ⅱ)当q1＝1时，由①，②得b1＝0或q2＝1，‎ 这时(b2－a2)－(b1－a1)＝0，与公差不为0矛盾．‎ 综上所述，不存在两个等比数列{an}，{bn}使得b1－a1，b2－a2，b3－a3，b4－a4成公差不为0的等差数列.‎