高考数学二轮重难点荟萃(7) 23页

2013 年高考数学重难点详解(7) 重难点 7 函数与导数 考试大纲新解 1.了解构成函数的要素，会求一些简单函数的定义域和值域，了解映射的概念；在实际情 景中，会根据不同的需要选择恰当的方法表示函数；了解简单的分段函数，并能简单应用. 2.理解函数的单调性及几何意义;学会运用函数图象研究函数的性质,感受应用函数的单 调性解决问题的优越性,提高观察、分析、推理、创新的能力. 3.了解函数奇偶性的含义;会判断函数的奇偶性并会应用；掌握函数的单调性、奇偶性的 综合应用. 4.掌握一次函数的图象和性质;掌握二次函数的对称性、增减性、最值公式及图象与性质 的关系，理解“三个二次”的内在联系，讨论二次方程区间根的分布问题. 5.了解指数函数模型的实际背景;理解有理指数幂的含义,了解实数指数幂的意义,掌握幂 的运算;理解指数函数的概念、单调性，掌握指数函数图象通过的特殊点;知道指数函数是一 类重要的函数模型. 6.理解对数的概念及其运算性质,知道用换底公式能将一般对数转化成自然对数或常用对 数,了解对数在简化运算中的作用;理解对数函数的概念、单调性，掌握指数函数图象通过的 特殊点;知道指数函数是一类重要的函数模型;了解指数函数 (0xy a a且 1)a  与对数函 数 log( 0ay xa且 互为反函数. 7.了解幂函数的概念;结合函数 1 23 21, , , ,yxyxyxy yxx     的图象,了解它们的 变化情况. 8.掌握解函数图象的两种基本方法:描点法、图象变换法；掌握图象变换的规律，能利用 图象研究函数的性质. 主编：章晓峰（高考数学教学研究组教研员） 副主编：林晓玲（中学优秀数学教师） 董洋洋（一线数学教师） 编委会成员：（排名不分先后） 刘思妍 林妙可 毛 檠 赵晓玲 龚 晨 孙萌萌 胡晶晶 童 玲 麦 罄 韩 俊 杨程鹏 夏小玉 9.结合二次函数的图象,了解函数的零点与方程根的联系,判断一元二次方程根的存在性 及根的个数；根据具体函数的图象，能够用二分法求相应方程的近似解. 10.了解指数函数、对数函数及幂函数的境长特征，知道直线上升、指数增长、对数增长 等不同函数类型增长的含义；了解函数模型（指数函数、对数函数、幂函数、分段函数等在 社会生活中普遍使用的函数模型）的广泛应用. 11.了解导数概念的实际背景;理解导数的几何意义;能利用基本初等函数的导数公式和导 数的四则运算法则,求简单函数的导数. 12.了解函数单调性与导数的关系;能利用导数研究函数的单调性,会求函数的单调区间 (多项式函数一般不超过三次);了解函数在某点取得极值的必要条件和充分条件,会用导数求 函数的极大值、极小值（多项式函数一般不超过三次)，会求在闭区间函数的最大值、最小值 （多项式函数一般不超过三次)；会用导数解决某些实际问题. 考点突破 1.对于函数的定义域、值域、图象，一直是高考的热点和重点之一，大题、小题都会考查， 渗透面广.特别是分段函数的定义域、值域、解析式的求法是近几年高考的热点. 3.由指数函数、对数函数的图象入手，推知单调性，进行相关运算，同时与导数结合在一 起的题目是每年必考的内容之一，要在审题、识图上多下功夫，学会分析数与形的结合，把 常见的基本题型的解法技巧理解好、掌握好. 4.函数的单调性、最值是高考考查的重点，其考查的形式是全方位、多角度，与导数的有 机结合体现了高考命题的趋势. 5.函数的奇偶性、周期性是高考考查的内容之一,其考查形式比较单一,但出题形式比较灵 活,它主要出现在选择题、填空题部分，属基础类题目，复习时要立足课本，切实吃透其含义 并能准确进行知识的应用. 6.应用导数的概念及几何意义解题仍将是高考出题的基本出发点;利用导数研究函数的单 调性、极值、最值、图象仍将是高考的主题;利用导数解决生活中的优化问题将仍旧是高考的 热点;将导数与函数、解析几何、不等式、数列等知识结合在一起的综合应用，仍将是高考压 轴题. 重难点导航 1.求定义域、值域的方法有:配方法、不等式法、换元法、分离常数法等;求函数解析式的 方法有:定义法、换元法、待定系数法、方程组法等；解决实际应用题的一般步骤是：分析实 际问题，找出自变量，写出解析式，确定定义域，计算. 2.几种常见函数的数学模型:平均增长率问题;储蓄中的得利问题;通过观察与实验建立的 函数关系;根据几何与物理概念建立的函数关系. 3.指数与对数函数模型是函数应用的基本模型,经常与导数在一起进行考查,应引起我们的 高度重视. 4.二次函数、一元二次方程、一元二次不等式是中学数学的重要内容，应熟练掌握.函数的 零点、二分法、函数模型的应用是高考的常考点和热点，应认真研究、熟练掌握. 5.理解函数的单调性、奇偶性、最值及其几何意义，会运用函数图象理解和研究函数的单 调性、最值，常与导数结合在一起考查，是高考的常考点. 6.对于幂指对函数的性质,只需立足课本,抓好基础，掌握其单调性、奇偶性，通过图象进 行判断和应用,常与导数结合在一起考查. 7.导数的概念及运算是导数的基本内容,每年必考,一般不单独考查，它主要结合导数的应 用进行考查. 8.导数的几何意义是高考考查的重点内容之一,经常与解析几何结合在一起考查. 9.利用导数研究函数的单调性、极值、最值及解决生活中的优化问题是近几年高考必考的 内容之一. 10.求可导函数单调区间的一般步骤和方法:(1)确定函数定义域;(2)求导数;(3)令导数大 于 0,解得增区间, 令导数小于 0,解得减区间. 11.求可导函数极值的一般步骤和方法:(1)求导数;(2)判断函数单调性；（3）确定极值点； （4）求出极值. 12.求可导函数最值的一般步骤和方法:(1)求函数极值;(2)计算区间端点函数值;(3)比较 极值与端点函数值,最大者为最大值,最小者为最小值. 【考点在线】 考点一 函数的定义域 函数的定义域及其求法是近几年高考考查的重点内容之一.这里主要帮助考生灵活掌握求 定义域的各种方法，并会应用用函数的定义域解决有关问题. 例 1．已知函数 1() 1 fx x   的定义域为 M，g(x)= ln(1 )x 的定义域为 N，则 M∩N=（ ） （A）{ | 1}xx （B）{ | 1}xx （C）{| 1 1}xx  （D）  【答案】C 【解 析】要使原函数有意义,只须 1 2 log(2 1) 0x,即02 11x ,解得 x    ,故选 A. 考点二 函数的性质（单调性、奇偶性和周期性） 函数的单调性、奇偶性和周期性是高考的重点内容之一，考查内容灵活多样. 这里主要帮 助读者深刻理解奇偶性、单调性和周期性的定义，掌握判定方法，正确认识单调函数与奇偶 函数的图象. 例 2．(2011 年高考全国新课标卷理科 2)下列函数中，既是偶函数又是区间 ),0(  上的 增函数的是（ ） A 3xy  B 1 xy C 12 xy D xy 2 【答案】B 【解析】由偶函数可排除 A，再由增函数排除 C,D,故选 B； 【名师点睛】此题考查复合函数的奇偶性和单调性，因为函数 xyxy  和 都是偶 函数，所以，内层有它们的就是偶函数，但是，它们在 ),0(  的单调性相反，再加上 外层函数的单调性就可以确定. 【备考提示】：熟练函数的单调性、奇偶性方法是解答好本题的关键. 练习 2: (2011 年高考江苏卷 2)函数 )12(log)( 5  xxf 的单调增区间是__________ 【答案】 1( , )2  【解析】本题考察函数性质，属容易题.因为 2 1 0x,所以定义域为 ,由复合函数 的单调性知:函数 的单调增区间是 . 例 3．(2009 年高考山东卷文科 12)已知定义在 R 上的奇函数 ()fx满足 ( 4) ()fx fx ,且 在区间[0, 2] 上是增函数,则( ) A. (25)(11)(80)f f f  B. (80)(11)(25)f f f  C. (11)(80)(25)f f f  D. (25)(80)(11)f f f  【答案】D 【解析】因为 (8)(4)[()]()fxfx fxfx,所以 8 是该函数的周期;又因为 (4)()()fx fxfx,所以 2x 是该函数的对称轴,又因为此函数为奇函数,定义域 为 R,所以 (0) 0f  ,且函数的图象关于 2x  对称, 因为函数 在区间 上是增函数, 所以在 上的函数值非负,故 (1) 0f  ,所以 (25)(25)(1)0f f f, (80)(0)0ff, (11)(3)0ff,所以 ,故选 D. 【名师点睛】本小题考查函数的奇偶性、单调性、周期性，利用函数性质比较函数值的大小. 【备考提示】：函数的奇偶性、单调性、周期性，是高考的重点和热点,年年必考,必 须熟练掌握. 练习 3:（2011 年高考全国卷文科 10)设 ()fx是周期为 2 的奇函数，当 0≤x≤1 时， ()fx= 2 (1 )xx ，则 5()2f  =( ) A.- 1 2 B. 1 4 C. 1 4 D. 1 2 【答案】A 【解析】先利用周期性，再利用奇偶性得： 5 1 1 1( ) ( ) () .2 2 2 2f f f    考点三 函数的图象 函数的图象与性质是高考考查的重点内容之一，它是研究和记忆函数性质的直观工具， 利用它的直观性解题，可以起到化繁为简、化难为易的作用.因此，读者要掌握绘制函数图象 的一般方法，掌握函数图象变化的一般规律，能利用函数的图象研究函数的性质.此类题目还 很好的考查了数形结合的解题思想. 例 4．(2011 年高考山东卷理科 9 文科 10)函数 2sin2 xyx 的图象大致是( ) 【解析】因为 ' 1 2cos2yx ,所以令 ' 1 2cos 02yx   ,得 1cos 4x  ,此时原函数是增函数; 令 ' 1 2cos 02yx   ,得 1cos 4x  ,此时原函数是减函数,结合余弦函数图象，可得选C正确. 【名师点睛】本题考查函数的图象，考查同学们对函数基础知识的把握程度以及数形结合的 思维能力. 【备考提示】：函数的图象,高考年年必考,熟练其图象的解决办法(特值排除法、函数性质判 断法等)是答好这类问题的关键. 练习 4:（2010 年高考山东卷文科 11）函数 22xyx的图像大致是( ) 【解析】因为当 x=2 或 4 时，2x - 2x =0，所以排除 B、C；当 x=-2 时，2x - = 1 4 < 04  ，故排 除 D，所以选 A. 考点四 导数的概念、运算及几何意义 了解导数概念的实际背景，掌握导数在一点处的定义和导数的几何意义，理解导函数的 概念. 例 5．（2011 年高考山东卷文科 4)曲线 2 11yx在点 P(1，12)处的切线与 y 轴交点的纵坐 标是（ ） (A)-9 (B)-3 (C)9 (D)15 【答案】C 【解析】因为 '23yx ,切点为 P（1，12），所以切线的斜率为 3,故切线方程为 3x-y+9=0,令 x=0,得 y=9,故选 C. 【名师点睛】本题考查导数的运算及其几何意义. 【备考提示】：导数的运算及几何意义是高考的热点,年年必考,熟练导数的运算法则及导数的 几何意义是解答好本类题目的关键. 练习 5:（2011 年高考江西卷文科 4)曲线 xye 在点 A（0,1）处的切线斜率为（ ） A.1 B.2 C. e D. 1 e 【答案】A 【解析】 1,0, 0'  exey x . 考点五 导数的应用 中学阶段所涉及的初等函数在其定义域内都是可导函数，导数是研究函数性质的重要而 有力的工具，特别是对于函数的单调性，以“导数”为工具，能对其进行全面的分析，为我 们解决求函数的极值、最值提供了一种简明易行的方法，进而与不等式的证明，讨论方程解 的情况等问题结合起来，极大地丰富了中学数学思想方法.复习时，应高度重视以下问题: 1.. 求函数的解析式; 2. 求函数的值域; 3.解决单调性问题; 4.求函数的极值（最值）; 5.构造函数证明不等式. 例 6．设函数 32()23 38fxxaxbxc在 1x  及 2x  时取得极值． （Ⅰ）求 a、b 的值； （Ⅱ）若对于任意的 [03]x ，，都有 2()f x c 成立，求 c 的取值范围． 【解析】（Ⅰ） 2()6 6 3fx x axb   ， 因为函数 ()fx在 1x  及 2x  取得极值，则有 (1) 0f  ， (2) 0f  ． 即 6 6 3 0 24 12 3 0 ab ab        ， ． 解得 3a ， 4b  ． （Ⅱ）由（Ⅰ）可知， 32()29128fx xx xc， 2()618126(1)(2)fxxx xx． 当 (01)x ，时， ( ) 0fx  ； 当 (12)x ，时， ( ) 0fx  ； 当 (23)x ，时， ( ) 0fx  ． 所以，当 1x  时， ()fx取得极大值 (1)58fc ，又 (0) 8fc ， (3)98fc ． 则当  03x ，时， ()fx的最大值为 (3)98fc ． 因为对于任意的  03x ，，有 2()f x c 恒成立， 所以 298cc， 解得 1c 或 9c  ， 因此 c 的取值范围为 ( 1)(9) ，，． 【名师点睛】利用函数 32()23 38fxxaxbxc在 1x  及 2x  时取得极值构造方程组求 a、b 的值． 【备考提示】：导数的应用是导数的主要内容,是高考的重点和热点,年年必考,必须熟练掌握. 练习 6: 设函数 f(x)=ax－(a+1)ln(x+1)，其中 a  -1，求 f(x)的单调区间. 【解析】由已知得函数 ()fx的定义域为( 1, ) ，且 ' 1() ( 1),1 axf x ax   （1）当 10a  时， '( ) 0,fx 函数 ()fx在( 1, )  上单调递减， （2）当 0a  时，由 '( ) 0,fx 解得 1 .x a ' ()fx、 随 x 的变化情况如下表 1( 1 , )a 1 a 1( , )a  — 0 + 极小值 从上表可知 当 1( 1, )x a 时， '( ) 0,fx 函数 在 上单调递减. 当 1( , )x a  时， '( ) 0,fx 函数 在 上单调递增. 综上所述：当 10a  时，函数 在( 1, ) 上单调递减. 当 0a  时，函数 在 1( 1 , )a 上单调递减，函数 在 上单调递增. 考点六 函数的应用 建立函数模型，利用数学知识解决实际问题. 例 7. (2011 年高考山东卷文科 21) 某企业拟建造如图所示的容器（不计厚度，长度单位：米），其中容器的中间为圆柱形， 左右两端均为半球形，按照设计要求容器的体积为 80 3  立方米，且 2lr≥ .假设该容器的建造 费用仅与其表面积有关.已知圆柱形部分每平方米建造费用为 3 千元，半球形部分每平方米建 造费用为 ( 3)cc＞ .设该容器的建造费用为 y 千元. （Ⅰ）写出 y 关于 r 的函数表达式，并求该函数的定义域； （Ⅱ）求该容器的建造费用最小时的 . 【解析】（I）设容器的容积为 V， 由题意知 234 80,,33V rl r V   又 故 3 2 2 2 4 804 4203 ()3 3 3 Vr l r rr r r         由于 2lr 因此0 2.r 所以建造费用 22 2 420234 2 ( )34,3y rl rcr r rcr     因此 2 1604( 2) ,0 2.y c r rr     （II）由（I）得 3 22 1608(2)20'8(2) ( ),02.2 cy cr r rr r c     由于 3, 20,cc 所以 当 3 320 200 , .22rrcc   时 令 3 20 ,2 mc  则 0m 所以 22 2 8( 2)' ( )( ).cy rmrrmmr    （1）当 9022mc  即 时，   当r=m时,y'=0; 当r (0,m)时,y'<0; 当r (m,2)时,y'>0. 所以 rm 是函数 y 的极小值点，也是最小值点。 （2）当 2m 即 93 2c 时， 当 (0,2),' 0,ry时 函数单调递减， 所以 r=2 是函数 y 的最小值点， 综上所述，当 93 2c 时，建造费用最小时 2;r  当 9 2c  时，建造费用最小时 3 20 .2r c  【名师点睛】本题以立体几何为背景,考查函数的实际应用,题目新颖,考查函数与方程、分类 讨论等数学思想方法，考查同学们的计算能力、分析问题、解决问题的能力. 【备考提示】：近几年的高考, 函数与导数的综合应用一直是解答题中的较难题,导数在实际问 题中的优化问题是导数的重点内容,注重基础知识的落实是根本. 练习 7:(2011 年高考江苏卷 17)请你设计一个包装盒，如图所示，ABCD 是边长为 60cm 的正方 形硬纸片，切去阴影部分所示的四个全等的等腰直角三角形，再沿虚线折起，使得 ABCD四 个点重合于图中的点 P，正好形成一个正四棱柱形状的包装盒，E、F 在 AB 上是被切去的等腰 直角三角形斜边的两个端点，设 AE=FB= x cm. （1）若广告商要求包装盒侧面积 S（cm 2 ）最大，试问 应取何值？ （2）若广告商要求包装盒容积 V（cm 3 ）最大，试问 应取何值？并求出此时包装盒的高与底 面边长的比值. 【解析】（1）由题意知, 包装盒的底面边长为 2 x ,高为 2(30 )x ,所以包装盒侧面积为 S= 42x 2(30 )x = 2308(30)8( ) 82252 xxxx   , 当且仅当 30xx, 即 15x 时,等号成立,所以若广告商要求包装盒侧面积 S（cm 2 ）最大， x 应 15cm. （2）包装盒容积 V= 22 x  = 3222 602xx , (0 30)x 所以 'V  262 1202xx = 62( 20)xx, 令 ' 0V  得 0 20x ; 令 ' 0V  得 20 30x , 所以当 20x 时, 包装盒容积 V 取得最大值,此时的底面边长为 20 2cm,高为10 2cm,包 装盒的高与底面边长的比值为 1 2 . 考点七（理科） 定积分 例 8. (2011 年高考全国新课标卷理科 9)由曲线 yx ，直线 2yx及 y 轴所围成的图形 的面积为( ) （A） 10 3 （B）4 （C） 16 3 （D）6 【答案】C 【解析】因为      2xy xy 的解为      2 4 y x ， 所 以 两 图 像 交 点 为 )2,4( ， 于 是 面 积   4 0 4 0 )2( dxxdxxS 3 16 0 4)22 1(0 4 3 2 22 3  xxx 故选 C 【名师点睛】本题考查定积分的概念、几何意义、运算及解决问题的能力。求曲线围成的图 形的面积，就是要求函数在某个区间内的定积分。 【备考提示】：定积分在高考中一般以选择或填空题的形式考查一个题,难 度不大,所以在复习中注重基础知识的落实是解答好本类题目的关键. 练习 8: (2011 年高考湖南卷理科 6)由直线 0,3,3  yxx  与曲线 xy cos 所围成的 封闭图形的面积为( ) A. 2 1 B. 1 C. 2 3 D. 3 【答案】D 【 解 析 】 由 定 积 分 的 几 何 意 义 和 微 积 分 基 本 定 理 可 知 S= 3)02 3(2 0 3sin2cos23 0   xxdx 。故选 D. 【易错专区】 问题 1：函数零点概念 例 1.函数 2() 7 12fx x x 的零点为 . 解析:令 =0,解得: 2x  或 5x  ,所以该函数的零点为 2 【名师点睛】：函数 ()y f x 的零点就是方程 ( ) 0fx 的实数根,是一个实数,而不是点. 【备考提示】：准确理解概念是解答好本题的关键. 问题 2：零点定理 例 2.已知 2 10mxx有且只有一根在区间（0,1）内，求 m 的取值范围 【解析】：设 2() 1fx mxx ，（ 1）当 ＝0 时方程的根为－1，不满足条件. （2）当 ≠0∵ 有且只有一根在区间（0,1）内又 (0)f ＝1＞0 ∴有两种可能情形① (1) 0f  得 ＜－2 或者② 1(1) 0 2f m且0< <1得 不存在 综上所得， ＜－2 【名师点睛】：对于一般 ()fx，若 () () 0fafb，那么，函数 ()y f x 在区间（a,b）上至 少有一个零点，但不一定唯一.对于二次函数 ，若 则在区间（a,b）上存 在唯一的零点，一次函数有同样的结论成立.但方程 ＝0 在区间（a,b）上有且只有一根 时，不仅是 ，也有可能 () () 0fafb.如二次函数图像是下列这种情况时， 就是这种情况. 由图可知 ＝0 在区间（a,b）上有且只有一根，但是 【考题回放】 1. （2011 年高考海南卷文科 10)在下列区间中,函数 () 4 3xfx e x 的零点所在的区间为 ( ) A. 1( , 0 )4 B. 1( 0 , )4 C. 11( , )42 D. 13( , )24 【答案】C 【解析】因为 (0) 20f  , 1 41( ) 2 04fe   , 1 21( ) 1 02fe   ,所以选 C. 2.(2011 年高考安徽卷文科 5)若点(a,b)在 lgyx 图像上，a ,则下列点也在此图像上的是 ( ) （A）（ a  ，b） (B) (10a,1  b) (C) ( a  ,b+1) (D)(a2,2b) 【答案】D 【解析】由题意 lgba ， lg lgb a a  ，即 2 ,2ab也在函数 图像上. 3.(2011 年高考安徽卷文科 10)函数 () ( )nfx ax x  在区间 〔0,1〕上的图像如图所示，则 n 的值可能是 （A）1 (B) 2 (C) 3 (D) 4 【答案】A 【解析】代入验证，当 1n  时 ()()( )fxaxxaxxx  ，则 () ( )fxax x ，由 ()( )fxaxx 可知， 12 1,13xx，结合图像可知 函数应在 10,3   递增，在 1 ,13   递减，即在 1 3x  取得最大值，由 () ( )fa         ， 知 a 存在.故选 A. 4. （2011 年高考福建卷文科 8)已知函数 f（x）= 2 0, 1, 0 xx xx    ， 。若 f(a)+f(1)=0,则实数 a 的值 等于 A. -3 B. -1 C. 1 D. 3 【答案】A 【解析】由 题 意 知 (1) 2,f  因为 () (1)0fa f, 所以 () 2 0fa . 当 0a  时, ()2,220aafa 无解;当 0a  时, () 1f a a,所以 12 0a ,解得 3a . 5. （2011 年高考海南卷文科 12)已知函数 ()y f x 的周期为 2,当 [ 1,1]x 时 2()f x x , 那么函数 的图象与函数 |lg |yx 的图象的交点共有( ) A.10 个 B.9 个 C.8 个 D.1 个 【答案】A 【解析】画出图象,不难得出选项 A 正确. 6. (2011 年高考天津卷文科 5)已知 2log3.6,a 4log3.2,b 4log3.6,c 则( ) A. abc B. a c b C. bac D. c a b 【答案】B 【解析】因为 1a  , ,bc都小于 1 且大于 0,故排除 C,D;又因为 都是以 4 为底的对数,真数 大,函数值也大,所以bc ,故选 B. 7. （2011 年高考四川卷文科 4)函数 1( ) 12 xy 的图像关于直线 y=x 对称的图像大致是 ( ) 解析：由 1 12 x y  ，得  1 2 log 1xy，故 函数 的反函数为  1 2 log 1yx， 其对应的函数图象为 A. 8．（2011 年高考湖南卷文科 7)曲线 sin 1 sin cos 2 xy xx 在点 ( , 0)4M  处的切线的斜率为 （ ） A． 1 2 B． 1 2 C． 2 2 D． 2 2 答案:B 解析： 22 cos(sincos)sin(cossin) 1' (sincos) (sincos) xx x xxxy x x x x   ，所以 24 11'| 2(sin cos )44 x y     9．（2011 年高考湖南卷文科 8)已知函数 2() 1,() 43,xfxegxxx若有 () (),fa gb 则 b 的取值范围为( ) A．[2 2,2 2] B．(2 2,2 2) C．[1, 3] D．(1, 3) 答案：B 解 析 ： 由题可知 () 1 1xfx e ， 22() 43(2)11gxxx x， 若 有 则 () (1,1]gb ，即 2 4 3 1bb，解得 2 2 2 2b  。 【解析】 1 3yx 过 (1,1) 和(8, 2) ，由过 可知在直线 yx 下方，故选 B 11.（2011 年高考辽宁卷文科 6)若函数 () (2 1)( ) xfx x x a  为奇函数,则 a=( ) (A) 1 2 (B) 2 3 (C) 3 4 (D) 1 答案： A 解析：因为 f（x）= x 2x 1 x-a（ ）（ ）为奇函数，所以 f(-2)=-f(2),即     22 3 2 52aa     ， 解得 1 2a  。本题也可以利用奇函数定义求解。 12．（2011 年高考重庆卷文科 3)曲线 223y x x  在点（1，2）处的切线方程为( ) A． 31yx B． 35yx  C． 35yx D． 2yx 【答案】A 13. （2011 年高考山东卷文科 16)已知函数fx（ ）= log (0a1).axxba ＞，且当 2＜a＜3 ＜b＜4 时，函数 的零点 * 0(, 1), ,n=xnnnN则 . 【答案】2 【解析】方程 log (0a1)axxba ＞，且=0 的根为 0 x ,即函数 log(2 3)ay x a 的图 象与函数 (3 4)yxb b的交点横坐标为 ,且 * 0 (, 1),x nn nN  ,结合图象,因为当 (2 3)xa a  时, 1y  ,此时对应直线上 的点的横坐标 1 (4,5)xb ;当 2y  时, 对数函数 的图象上点的横坐标 (4,9)x ,直线 的图 象上点的横坐标 (5,6)x ,故所求的 5n  . 14．（2011 年高考湖南卷文科 12)已知 ()fx为奇函数， ()()9,(2)3,(2)gxfxg f则 ． 答案：6 解析： (2)(2)93,(2)6gf f则，又 为奇函数，所以 (2) (2)6ff. 15.（2011 年高考陕西卷文科 11)设 lg , 0() 10, 0x xxfx x   则 ( ( 2))ff =______. 【答案】1 【解析】： 2 11((2))(10)( )lg 2100100ff f f   . 16.（2011 年高考辽宁卷文科 16)已知函数 f（x）=ex-2x+a 有零点，则 a 的取值范围是___________. 答案：  ,2ln22  解析：函数 f（x）=ex-2x+a 有零点，即方程 f（x）=0 有解，即-a =ex-2x 有解，设 g(x)= ex-2x, 因为 g’(x)= ex-2,当 x>ln2 时 g’(x)>0, 当 x0 f     （ 的零点个数为 ( ) A.3 B.2 C.1 D.0 【答案】B 【解析】当 0x  时，令 2 2 30xx 解得 3x ； 当 0x  时，令 2ln 0x 解得 100x ，所以已知函数有两个零点，选 C。 5．（2010 年高考山东卷文科 8）已知某生产厂家的年利润 y （单位：万元）与年产量 x （单 位：万件）的函数关系式为 31 81 2343y x x   ，则使该生产厂家获得最大年利润的年产 量为( ) （A）13 万件 (B)11 万件 (C) 9 万件 (D)7 万件 【答案】C 【解析】令导数 '2810yx ，解得09x；令导数 '2810yx ，解得 9x  ， 所以函数 在区间 (0,9) 上是增函数，在区间 (9, ) 上是减函数，所以 在 9x  处取极大值，也是最大值，故选 C。 6．(2010 年高考江西卷文科 4)若函数 42()fx axbxc  满足 '(1) 2f  ，则 '( 1)f ( ) A． 1 B． 2 C．2 D．0 【答案】B 【解析】 '3()4 2,fx axbx则此函数为奇函数，所以 ''(1) (1)2ff。 7．（2010 年高考辽宁卷文科 10）设 25abm，且 112ab，则 m( ) （A） 10 （B）10 （C）20 （D）100 解析：选 A. 211log2log5log102, 10,m m m mab   又 0, 10.mm 8．（2010 年高考辽宁卷文科 12）已知点 P 在曲线 4 1xy e  上， 为曲线在点 P 处的切线 的倾斜角，则 的取值范围是( ) (A)[0, 4  ) (B)[ , )42  （C） 3( , ]24  (D) 3[ , )4   解析：选 D. 2 44 121 2 x xx x x ey ee e e    ， 1 2, 1 0x xeye    ， 即 1tan0 ， 3[ , )4  9. (2010 年高考宁夏卷文科 4)曲线 2y 2 1xx  在点（1,0）处的切线方程为( ) （A） 1yx （B） 1yx  （C） 22yx （D） 22yx  【答案】A 解析： 232yx，所以 1 1xky，所以选 A． 10. (2010 年高考宁夏卷文科 9)设偶函数 f(x)满足 f(x)=2x-4 (x  0），则   20xf x=( ) （A） 24xx x 或 （B） 0 4 xx x或 （C） 0 6 xx x或 （D） 2 2 xx x或 【答案】B 解析：当 0x  时， ()240 2xfx x，又由于函数是偶函数，所以 xR 时， ( ) 0fx 的解集为{2xx 或 2}x  ，故 ( 2)0fx的解集为{0xx 或 4}x  ． 另解：根据已知条件和指数函数 2xy  的图像易知 () 2 40xfx 的解集为 或 ，故 的解集为 或 ． 11．（2010 年高考广东卷文科 2）函数 )1lg()(  xxf 的定义域是( ) A. ),2(  B. ),1(  C. ),1[  D. ),2[  解： 01x ，得 1x ，选 B. 12. （2010 年高考广东卷文科 3）若函数 xxxf  33)( 与 xxxg  33)( 的定义域均为 R， 则( ) A. )(xf 与 )(xg 与均为偶函数 B. )(xf 为奇函数， )(xg 为偶函数 C. 与 与均为奇函数 D. 为偶函数， 为奇函数 解:由于 )(33)( )( xfxf xx   ,故 )(xf 是偶函数,排除 B、C 二．填空题： 13．（2010 年高考陕西卷文科 13）已知函数 f（x）＝ 2 3 2, 1, , 1, xx x ax x    若 f（f（0））＝4a，则实 数 a＝ . 【答案】2 三．解答题： 14. 在某产品的制造过程中，次品率 p 依赖于日产量 x， 已知 p 1 ,101 x      当00，此时 f(x)<0，函数 f(x)单调递减 （2） 当 a≠0 时，由 f(x)=0， 即 ax2-x+1=0, 解得 x1=1,x2=1/a-1 ① 当 a=1/2 时，x1= x2, g(x)≥0 恒成立，此时 f(x)≤0，函数 f(x)在（0，+∞）上单 调递减; ② 当 01>0 x∈(0，1)时，g(x)>0,此时 f(x)<0,函数 f(x)单调递减 x∈(1，1/a-1)时，g(x)>0,此时 f(x)0，此时 f(x)