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- 2021-06-16 发布
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限时规范训练(限时练·夯基练·提能练)
A级 基础夯实练
1.已知幂函数f(x)=xα的图象过点(4,2),若f(m)=3,则实数m的值为( )
A. B.±
C.±9 D.9
解析:选D.由f(4)=4α=2可得α=,即f(x)=x,f(m)=m=3,则m=9.
2.(2018·茂名模拟)已知幂函数f(x)=xa的图象过点,则函数g(x)=(2x-1)f(x)在区间上的最小值是( )
A.-1 B.0
C.-2 D.
解析:选B.由题设3a=⇒a=-1,故g(x)=(2x-1)x-1=2-在上单调递增,则当x=时取最小值g=2-2=0.
3.(2018·济南统考)若函数y=x2-3x-4的定义域为[0,m],值域为,则m的取值范围是( )
A.[0,4] B.
C. D.
解析:选D.二次函数y=x2-3x-4的图象的对称轴为直线x=,且f=-,f(3)=f(0)=-4,结合图象易得m∈.
4.(2018·福州模拟)函数f(x)=4x2-mx+5在区间[-2,+∞)上是增函数,则( )
A.f(1)≥25 B.f(1)=25
C.f(1)≤25 D.f(1)>25
解析:选A.函数f(x)=4x2-mx+5的单调递增区间为,由已知可得≤-2,得m≤-16,所以f(1)=4×12-m×1+5=9-m≥25.
5.(2018·赣州模拟)函数y=ax(a>0,a≠1)与y=xb的图象如图,则下列不等式一定成立的是( )
A.ba>0 B.a+b>0
C.ab>1 D.loga2>b
解析:选D.由图象可知a>1,b<0,故loga2>0,所以loga2>b.
6.(2018·郑州模拟)设abc>0,二次函数f(x)=ax2+bx+c的图象可能是( )
解析:选D.A项,因为a<0,-<0,所以b<0.又因为abc>0,所以c>0,由图象知f(0)=c<0,故A项不可能;B项,因为a<0,->0,所以b>0,又因为abc>0,所以c<0,而f(0)=c>0,故B项不可能;C项,因为a>0,-<0,所以b>0,又因为abc>0,所以c>0,而f(0)=c<0,故C项不可能;D项,因为a>0,->0,所以b<0,又因为abc>0,所以c<0,由图象知f(0)=c<0.故选D.
7.(2018·衡阳模拟)设二次函数f(x)=ax2-4ax+c在区间[0,2]上单调递减,且f(m)≤f(0),则实数m的取值范围是( )
A.(-∞,0] B.(-∞,0]∪[2,+∞)
C.[2,+∞) D.[0,4]
解析:选D.二次函数f(x)=ax2-4ax+c在区间[0,2]上单调递减,又因为它的对称轴是直线x=2,所以a>0,即函数图象的开口向上,所以f(0)=f(4),则当f(m)≤f(0)时,有0≤m≤4.
8.(2018·上海卷)已知α∈.若幂函数f(x)=xα为奇函数,且在(0,+∞)上递减,则α=________.
解析:∵幂函数f(x)=xα为奇函数,∴α可取-1,1,3,又f(x)=xα在(0,+∞)上递减,∴α<0,故α=-1.
答案:-1
9.(2017·北京卷)已知x≥0,y≥0,且x+y=1,则x2+y2的取值范围是________.
解析:x2+y2=x2+(1-x)2=2x2-2x+1=2+,x∈[0,1],所以当x=0或1时,x2+y2取最大值1;当x=时,x2+y2取最小值.
因此x2+y2的取值范围为.
答案:
10.(2018·深圳模拟)已知a是实数,函数f(x)=2ax2+2x-3在x∈[-1,1]上恒小于零,则实数a的取值范围是________.
解析:由题意知2ax2+2x-3<0在[-1,1]上恒成立.
当x=0时,-3<0,符合题意;
当x≠0时,a<-,
因为∈(-∞,-1]∪[1,+∞),
所以当x=1时,右边取最小值,所以a<.
综上,实数a的取值范围是.
答案:
B级 能力提升练
11.(2017·浙江卷)若函数f(x)=x2+ax+b在区间[0,1
]上的最大值是M,最小值是m,则M-m( )
A.与a有关,且与b有关
B.与a有关,但与b无关
C.与a无关,且与b无关
D.与a无关,但与b有关
解析:选B.设x1,x2分别是函数f(x)在[0,1]上的最小值点与最大值点,则m=x+ax1+b,M=x+ax2+b.
∴M-m=x-x+a(x2-x1),显然此值与a有关,与b无关.故选B.
12.(2018·厦门模拟)已知函数f(x)=tx,g(x)=(2-t)x2-4x+1.若对于任意实数x,f(x)与g(x)中至少有一个为正数,则实数t的取值范围是( )
A.(-∞,-2)∪(0,2] B.(-2,2]
C.(-∞,-2) D.(0,+∞)
解析:选A.对于(2-t)x2-4x+1=0,Δ=16-4(2-t)×1=8+4t.当t=0时,f(x)=0,Δ>0,g(x)有正有负,不符合题意,故排除B;当t=2时,f(x)=2x,g(x)=-4x+1,符合题意,故排除C;当t>2时,f(x)=tx,g(x)=(2-t)x2-4x+1,当x趋近于-∞时,f(x)与g(x)都为负值,不符合题意,故排除D,选A.
13.(2018·临沂质检)已知函数f(x)=ax2+bx+c,且a>b>c,a+b+c=0,集合A={m|f(m)<0},则( )
A.∀m∈A,都有f(m+3)>0
B.∀m∈A,都有f(m+3)<0
C.∃m0∈A,使得f(m0+3)=0
D.∃m0∈A,使得f(m0+3)<0
解析:选A.由a>b>c,a+b+c=0可知a>0,c<0,
且f(1)=0,f(0)=c<0,
即1是方程ax2+bx+c=0的一个根,
当x>1时,f(x)>0.
由a>b,得1>,
设方程ax2+bx+c=0的另一个根为x1,
则x1+1=->-1,即x1>-2,
由f(m)<0可得-2<m<1,
所以1<m+3<4,
由抛物线图象可知,f(m+3)>0,选A.
14.(2018·西安二模)已知幂函数f(x)的图象经过点,P(x1,y1),Q(x2,y2)(x1<x2)是函数图象上任意不同的两点,给出以下结论:
①x1f(x1)>x2f(x2);②x1f(x1)<x2f(x2);
③xf(x1)>xf(x2);④xf(x1)<xf(x2).
其中正确结论的序号是( )
A.①③ B.①④
C.②③ D.②④
解析:选C.设函数f(x)=xα,
依题意有=2,
所以α=-,因此f(x)=x-.
令g(x)=xf(x)=x·x-=x,
则g(x)在(0,+∞)上单调递增,而0<x1<x2,
所以g(x1)<g(x2),即x1f(x1)<x2f(x2),故①错误,②正确;
令h(x)===x-,
则h(x)在(0,+∞)上单调递减,而0<x1<x2,
所以h(x1)>h(x2),
即>,
于是xf(x1)>xf(x2),
故③正确,④错误,故选C.
15.(2018·杭州模拟)已知函数f(x)=x2-2tx+1,在区间[2,5]上单调且有最大值为8,则实数t的值为________.
解析:函数f(x)=x2-2tx+1图象的对称轴是x=t,函数在区间[2,5]上单调,故t≤2或t≥5.
若t≤2,则函数f(x)在区间[2,5]上是增函数,
故f(x)max=f(5)=25-10t+1=8,
解得t=;
若t≥5,函数f(x)在区间[2,5]上是减函数,
此时f(x)max=f(2)=4-4t+1=8,
解得t=-,与t≥5矛盾.
综上所述,t=.
答案:
16.(2018·河北衡水模拟)已知函数f(x)=x2-2x,g(x)=ax+2(a
>0),对任意的x1∈[-1,2]都存在x0∈[-1,2],使得g(x1)=f(x0),则实数a的取值范围是________.
解析:当x0∈[-1,2]时,由f(x)=x2-2x得f(x0)∈[-1,3],又对任意的x1∈[-1,2]都存在x0∈[-1,2],使得g(x1)=f(x0),所以当x1∈[-1,2]时,g(x1)∈[-1,3].当a>0时,解得a≤.
综上所述,实数a的取值范围是.
答案:
C级 素养加强练
17.已知函数f(x)=ax2+bx+c(a>0,b∈R,c∈R).
(1)若函数f(x)的最小值是f(-1)=0,且c=1,
F(x)=求F(2)+F(-2)的值;
(2)若a=1,c=0,且|f(x)|≤1在区间(0,1]上恒成立,试求b的取值范围.
解:(1)由已知c=1,a-b+c=0,
且-=-1,
解得a=1,b=2,
∴f(x)=(x+1)2.
∴F(x)=
∴F(2)+F(-2)=(2+1)2+[-(-2+1)2]=8.
(2)f(x)=x2+bx,原命题等价于-1≤x2+bx≤1在(0,1
]上恒成立,
即b≤-x且b≥--x在(0,1]上恒成立.
又-x的最小值为0,--x的最大值为-2.
∴-2≤b≤0.
故b的取值范围是[-2,0].