2020届二轮复习等比数列的概念与性质学案（全国通用） 24页

‎2020届二轮复习 等比数列的概念与性质 学案（全国通用）‎ 等比数列的概念与性质 · ‎​等比数列 ​一般地，如果一个数列从第二项起，每一项与它的前一项的比等于同一常数，那么这个数列叫做等比数列（geometric sequence），这个常数叫做等比数列的公比（common ratio），公比通常用字母 表示 ． 如果在 与 中间插入一个数 ，使 ，， 成等比数列，那么 叫做 与 的等比中项． 等比数列的通项公式：． ‎ · ‎​​等比数列的性质 （1）， 为等比数列中任意两项，则 ． （2）若 ，，， 且 ，则 ． （3）下标（即项的序号）成等差数列的项，仍然成等比数列． ‎ · ‎​​等比数列前 项和 ​等比数列的前 项和 ‎ · ‎​​等比数列的前 项和的性质 当 ，， 均不为零时，数列 ，， 构成等比数列． ‎ 精选例题 等比数列的概念与性质 ‎ 1. 已知等比数列 的前 项和 ，则  ．‎ ‎【答案】    ‎ ‎ 2. 已知等比数列 的前 项和为 ，且 ，，则  ．‎ ‎【答案】    ‎ ‎【分析】    设等比数列的公比为 ，则 ．‎ 所以 ‎ ‎ ‎ 所以 ．‎ ‎ 3. 已知首项为 ，公差不为 的等差数列 的第 ，， 项成等比数列，则这个等比数列的公比  ；设数列 的前 项和为 ，则  ．‎ ‎【答案】    ；‎ ‎ 4. 已知数列 的前 项和为 ，满足 ，则通项公式  ．‎ ‎【答案】    ‎ ‎【分析】    因为 ，①‎ 所以 ，， ②‎ ‎①－②可得 ，即得 ，‎ 所以数列 是首项为 ，公比为 的等比数列，‎ 则 ．‎ ‎ 5. 在等比数列 中，若 ， 则  ．‎ ‎【答案】    ‎ ‎【分析】    设等比数列 中 因为 ， ‎ 所以 ‎ 解得 ‎ 则 ‎ ‎ 6. 已知等比数列 的公比为正数，且 ，，则  ．‎ ‎【答案】    ‎ ‎ 7. 数列 的前 项和为 ，若 ，（，），则  ．‎ ‎【答案】    ‎ ‎【分析】    解法1 当 时，，从而得 ．当 时，有 ，所以 ，即 ．而 ，所以数列 是从第二项起以 为首项， 为公比的等比数列，所以当 时，．又 ，所以 ．‎ 解法2 当 时，，从而 ．当 时，，所以 ，即 ，所以 ．又因为 ，，所以 ，所以数列 是以 为首项， 为公比的等比数列，从而 ，所以 ．‎ ‎ 8. 设等比数列 的公比为 ，前 项和为 ，若 ，且 与 的等差中项为 ，则  ．‎ ‎【答案】    ‎ ‎【分析】    因为 ，所以 ，所以 ．又因为 与 的等差中项为 ，所以 ，即 ，化简得 ，解得 或 （舍去），所以 ．‎ ‎ 9. 已知等比数列 的公比 ，且 ，则  ．‎ ‎【答案】    ‎ ‎【分析】    在等比数列中，若项数为 ，则 ，所以 ．‎ ‎10. 每项均为正数的等比数列 满足：，，且 ，则数列的 前 项和是  ．‎ ‎【答案】    ‎ ‎11. 一个项数为偶数的等比数列，它的偶数项和是奇数和的 倍，又它的首项为 ，中间两项的和为 ，则此等比数列的项数为  ．‎ ‎【答案】    ‎ ‎【分析】    设该数列有 项，公比为 ，‎ 则 ，‎ 解得 ．‎ 又首项为 ，中间两项的和为 ，‎ 则 ，‎ 解得 ，‎ 所以 ．‎ ‎12. 已知在等比数列 中，，，则  ．‎ ‎【答案】    ‎ ‎【分析】    由条件得 ，，于是 ，故 ‎ ．‎ ‎13. 已知等比数列 的公比 ，且 ，则其前 项的和  ．‎ ‎【答案】    ‎ ‎【分析】    因为 ，‎ 所以 ．‎ ‎14. 若等比数列 满足 ，，则公比  ．‎ ‎【答案】    ‎ ‎15. 在等比数列 中，若 ，则  ．‎ ‎【答案】    ‎ ‎【分析】    据等比数列的性质可知 ，从而 ，故 ．‎ ‎16. 正项等比数列 中，，前 项的乘积是 ，若从前 项中，抽出一项后，余下的 项的乘积是 ，则抽出的是第  项．‎ ‎【答案】    ‎ ‎【分析】    不妨设公比为 ，抽出来的是第 项，‎ 因为正项等比数列 中，前 项的乘积是 ，‎ 所以 ，所以 ，所以 ．‎ ‎ 为抽出来的那一项．‎ 所以 ，所以 ，又因为 ，所以解得 ．‎ ‎17. 在等比数列 中，公比 ，且 ，则  ．‎ ‎【答案】    ‎ ‎【分析】    据题意知 ，即 ，结合 ，解得 ，所以 ．‎ ‎18. 已知等比数列 ，首项 ，公比 ，，则  ．‎ ‎【答案】    ‎ ‎【分析】    ，‎ ‎ ，‎ 又 ，‎ 则 得 ‎ ‎19. 已知等比数列 的公比 ， 为其前 项和，则  ．‎ ‎【答案】    ‎ ‎【分析】    因为 ，，所以 ．‎ ‎20. 若数列 是各项均为正数的等比数列，且 ，．则 的公比  ．‎ ‎【答案】    ‎ ‎【分析】    设等比数列 的公比为 ，依题意有 ‎ ，解得 ，．‎ ‎21. 已知等比数列 中，，．‎ ‎    (1)求通项 ；‎ ‎【解】        因为数列 是等比数列，，，‎ ‎    所以 解得 ‎ ‎    从而 ．‎ ‎    (2)若数列 的前 项和为 ，求满足不等式 的 的最大值．‎ ‎【解】        因为 ，‎ ‎    所以 ，‎ ‎    又因为 ，‎ ‎    所以数列 是一个以 为首项， 为公差的等差数列．‎ ‎    所以 ．‎ ‎    由 ，得 ，‎ ‎    整理，得 ．‎ ‎    解得 ，‎ ‎    经过估算，得到 的最大值为 ．‎ ‎22. 设数列 的首项 ，且 ，记 ，，，，‎ ‎    (1)求 ，；‎ ‎【解】        ，．‎ ‎    (2)判断数列 是否为等比数列，并证明你的结论；‎ ‎【解】        因为 ，‎ ‎    所以 ．‎ ‎    故 ，‎ ‎     ，‎ ‎     ．‎ ‎    猜想 是公比为 的等比数列．‎ ‎    证明如下：‎ ‎     ，‎ ‎    所以 是首项为 ，公比为 的等比数列．‎ ‎    (3)求 ．‎ ‎【解】        由（2），．‎ ‎23. 已知公差不为 的等差数列 ，首项 ，且 ，， 成等比数列，‎ ‎    (1)求等差数列 的通项公式；‎ ‎【解】        设公差为 ，则 ，‎ ‎    又 ，， 成等比数列，则有 ，又首项 ，‎ ‎    所以 ‎ ‎    化简得：，‎ ‎    又 ，解得：．‎ ‎    所以 ，即：．‎ ‎    (2)若从数列 中抽出部分项：，，，， 构成一个新的数列 ，，证明：数列 ， 为等比数列；‎ ‎【解】        由（1）可知：，‎ ‎    所以 ，‎ ‎    所以 ．‎ ‎    所以，数列 ， 为等比数列．‎ ‎    (3)求和：．‎ ‎【解】        由（2）可知：数列 ， 为等比数列，‎ ‎    所以 ．‎ ‎    即 ．‎ ‎24. 已知数列 为等比数列， 为其前 项和．‎ ‎    (1)已知 ，，求 ；‎ ‎【解】        由 ，‎ ‎    得 或 ‎ ‎    故 或 ．‎ ‎    (2)若 ，，求 的值；‎ ‎【解】        由于数列 为等比数列，‎ ‎    所以 ，， 成等比数列，‎ ‎    公比为 ．‎ ‎    所以由题可得 ‎ ‎    解得 ，．‎ ‎    故 ．‎ ‎    (3)已知 ，．求 的值．‎ ‎【解】        由 ，‎ ‎    得 ，‎ ‎    又 ，‎ ‎    所以，．‎ ‎25. 把一个正方形等分成 个相等的小正方形，将中间的一个正方形挖掉（如图①）；再将剩余的每个正方形都分成 个相等的小正方形，并将中间的一个正方形挖掉（如图②）；如此下去 ‎ ‎    (1)如此下去，第三次共挖掉了多少个正方形？‎ ‎    ‎ ‎【解】        ．‎ ‎    (2)第 个图共挖掉了多少个正方形？若原正方形的边长为 ，则这些正方形的面积之和为多少？‎ ‎【解】        我们把由图①分割为图②看作是一次操作，则一次操作挖去 个小正方形，且由图①分割为图②时，增加了 个图①，所以 次操作后得到第 个图，共挖掉了 个正方形，这些正方形的面积和为 ‎ ‎26. 设等比数列 的前 项和为 ，已知 ，，求 和 ．‎ ‎【解】        设 的公比为 ，由题设得 ‎ ‎ 解得 ‎ ‎ 当 ， 时，‎ ‎ 当 ， 时，‎ ‎ ‎ ‎27. 在等差数列 中，，．‎ ‎    (1)求数列 的通项公式 ；‎ ‎【解】         ，，‎ ‎     ‎ ‎    解得 ，，‎ ‎    则 ．‎ ‎    (2)求数列 前 项和 ．‎ ‎【解】         ，，‎ ‎     ．‎ ‎28. 已知等差数列 的首项 ，公差 ，且第二项、第五项、第十四项分别为等比数列 的第二项、第三项、第四项．‎ ‎    (1)求数列 与 的通项公式；‎ ‎【解】        设数列 的公比为 ．‎ ‎    由题意，得 ，‎ ‎    整理，得 ．‎ ‎    结合 ，解得 ．‎ ‎    所以 ．‎ ‎    于是 ，，，‎ ‎    所以公比 ，，‎ ‎    因此，．‎ ‎    (2)设数列 对任意正整数 都有 成立，求 的值．‎ ‎【解】        由（1），得 ，则 ．‎ ‎    由 ，‎ ‎    得 ．‎ ‎    以上两式相减，得 ，‎ ‎    即 ．‎ ‎    当 时，由 ，得 ．‎ ‎    由此 所以 ‎ ‎29. 数列 的前 项和为 ，且满足 ，（ 为常数，）．‎ ‎    (1)若 ，求 ；‎ ‎【解】        因为 ，，‎ ‎    所以 ，．‎ ‎    因为 ，即 ．‎ ‎    所以 ，即 ．‎ ‎    所以 ．‎ ‎    所以数列 是以 为首项， 为公差的等差数列．‎ ‎    所以 ．‎ ‎    (2)若数列 是等比数列，求实数 的值．‎ ‎【解】        若数列 是等比数列，则 ，‎ ‎    由 可得 ．解得 ．‎ ‎    当 时，由 ，得 ．‎ ‎    显然，数列 是以 为首项， 为公比的等比数列．‎ ‎    所以 ．‎ ‎    (1)已知数列 ，其中 ，且数列 为等比数列，求常数 ．‎ ‎【解】        因为 是等比数列，故有 将 代入上式，得 即 整理得 ，解得 或 ．‎ ‎    (2)设 、 是公比不相等的两个等比数列，，证明数列 不是等比数列．‎ ‎【解】        设 、 的公比分别为 、 ，，为证 不是等比数列只需证 ．‎ ‎    事实上，‎ 由于 ，，又 、 不为零，因此，，故 不是等比数列．‎ ‎31. 设 的公比不为 的等比数列，且 ，， 成等差数列．‎ ‎    (1)求数列 的公比；‎ ‎【解】        设数列 的公比为 ，‎ ‎    由 ，， 成等差数列，得 ，‎ ‎    即 ．‎ ‎    由 ，得 ．‎ ‎    解得 或 （舍去），‎ ‎    所以 ．‎ ‎    (2)若 ，求数列 的前 项和 ．‎ ‎【解】        依题意，得 是以 为首项， 为公比的等比数列，‎ ‎     ．‎ ‎32. 在等比数列 中，已知 ，，求首项 和公比 ．‎ ‎【解】        因为 ，所以 ．‎ ‎    当 时，；‎ ‎    当 时，．‎ ‎    综上， 或 ‎ ‎33. 设等比数列 的公比 ，前 项和为 ．已知 ，，求 的通项公式．‎ ‎【解】        由题设知 ，，‎ ‎    则 ‎ ‎ 由②得 因为 ，解得 或 ．‎ ‎    当 时，代入①得 ，通项公式为 当 时，代入①得 ，通项公式为 ‎34. 等比数列 共有 项，其和为 ，且奇数项的和比偶数项的和大 ，求公比 ．‎ ‎【解】        由题意知 所以 ‎ ‎ 所以 ‎35. 三个数成等比数列，其积为 ．若第一个数与第三个数各减去 ，则这三个数成等差数列，求这三个数．‎ ‎【解】        设三个数为 ，，，则 解得 所以所求三数依次为 ，， 或 ，，．‎ ‎36. 在等比数列 中，已知 ，，求 前 项的和 ．‎ ‎【解】        设数列 的公比为 ，依题意，‎ ‎ 所以 所以，将 代入到①式，得 ，舍去；‎ ‎    将 代入到①式，得 ．‎ ‎    当 时，；‎ ‎    当 时，．‎ ‎37. 在各项均为负数的数列 中，已知 ，且 ．‎ ‎    (1)求证：数列 是等比数列，并求出通项公式；‎ ‎【解】        由 ，得 ，故数列 是公比为 的等比数列．‎ ‎    由 ，得 ．‎ ‎    因为数列 的各项均为负数，故 ．‎ ‎    所以 ．‎ ‎    (2)试问 是否为该数列的项？若是，是第几项？若不是，请说明理由．‎ ‎【解】        设 是数列 的第 项，得 ，即 ，‎ ‎    所以 ，即 是这个等比数列的第 项．‎ ‎38. 已知数列 是首项 ，公比 的等比数列，且 ，， 成等差数列．‎ ‎    (1)求公比 的值．‎ ‎【解】        因为 ，， 成等差数列，所以 ，‎ ‎    即 ，解得 ，又因为 ，所以 ．‎ ‎    (2)记 ，求 的值．‎ ‎【解】        因为 所以 ．‎ ‎39. 若实数 ，， 成等比数列，试证明 ，， 也成等比数列．‎ ‎【解】        要证 ，， 成等比数列，须证 ‎     ，‎ ‎    即证 ，‎ ‎    即证 ．‎ ‎    由已知 ，‎ ‎    所以 ，， 成等比数列．‎ ‎40. 已知等比数列 中，，．求 ．‎ ‎【解】        解法一：因为 ，所以 ，所以 ．‎ ‎    从而 ‎ ‎ 解得 ‎ ‎ 当 时，；当 时，，故 或 ．‎ ‎    解法二：由等比数列的定义知 ，，结合已知得 ‎ ‎ 即 ‎ ‎ 所以 ‎ ‎ 由 得 ，将 代入 得 ，所以 或 ．‎ ‎    由 得 ‎ ‎ 故 或 ．‎ 课后练习 ‎ 1. 在等比数列 的前 项和中， 最小，且 ，，前 项和 ，则 为  ，公比 为  ．‎ ‎ 2. 已知在等比数列 中，，，则  ．‎ ‎ 3. 在等比数列 中，已知 ，，则  ．‎ ‎ 4. 已知等比数列 的前 项和 ，则  ．‎ ‎ 5. 是等比数列 的前 项和，若 ．则 的值是  ．‎ ‎ 6. 已知各项均为正数的等比数列 中，，， 成等差数列，则  ．‎ ‎ 7. 在等比数列 中，，，则  ．‎ ‎ 8. 已知 ，， 成等比数列， 为 ， 的等差中项， 为 ， 的等差中项，则  ‎ ‎ 9. 已知 ，在等比数列 中，，，若数列 的前 项和为 ，则 的值为  ．‎ ‎10. 若 是等比数列，其中 ， 是方程 的两个根，而且 那么 的值为  ．‎ ‎11. 已知数列 为等比数列，，，满足 对任意正整数 都成立，且对任意相邻三项 ，， 按某顺序排列后成等差数列，则 的值为  ．‎ ‎12. 等比数列 中，，则  ．‎ ‎13. 已知数列 满足 ，设 （，， 为均不等于 的且互不相等的常数），若数列 为等比数列，则 的值为  ．‎ ‎14. 若数列 是等差数列，首项 ，，，则使前 项和 成立的最大自然数 是  ．‎ ‎15. 已知等比数列 中，公比 ，且 ，，则  ．‎ ‎16. 正项等比数列 中，，则  ．‎ ‎17. 在等比数列 中，，，则  ．‎ ‎18. 记等比数列 的前 项积为 ，若 ，且 ，则正整数  ．‎ ‎19. 已知等比数列 的首项为 ，公比为 ，则  ．‎ ‎20. 等比数列 中，若 ，，则  ．‎ ‎21. 等比数列 满足 ，，且公比 ．‎ ‎    (1)求数列 的通项公式；‎ ‎    (2)若该数列前 项和 ，求 的值．‎ ‎22. 对于数列 ，已知 ，设 为数列 的前 项和．‎ ‎    (1) 的所有可能值组成的集合为  ；‎ ‎    (2)若 ，则  ．‎ ‎23. 已知等比数列 中，，， 分别是某等差数列的第 项，第 项，第 项，且 ，公比 ．‎ ‎    (1)求 ；‎ ‎    (2)设 ，求数列 的前 项和的最大值．‎ ‎24. 在等比数列 中，‎ ‎    (1)若 ，，求 ；‎ ‎    (2)若 ，，求 和 ．‎ ‎25. 已知等差数列 的公差 ，其前四项和为 ，且 ，， 成等比数列．‎ ‎    (1)求通项公式 ；‎ ‎    (2)设 ，求数列 的前 项和 ．‎ ‎26. 在下列程序框图中，将 时的 值定义为 ， 时的值定义为 ，如此类推．‎ ‎    (1)写出数列 的递推公式与通项公式；‎ ‎    (2)设 ，求 的前 项和 ．‎ ‎    (3)求出程序框图的相应输出结果．‎ ‎27. 已知数列 满足 ，，，其中 ．‎ ‎    (1)求 的值；‎ ‎    (2)判断数列 是否为等比数列，并证明你的结论．‎ ‎28. 在数列 中，已知 （）．‎ 判断是否存在等比数列 满足 ，， ？若存在，求出数列 的通项公式；若不存在，请说明理由．‎ ‎29. 已知数列 是等差数列，且 ，．‎ ‎    (1)求数列 的通项公式．‎ ‎    (2)令 ，求数列 的前 项和（用 表示）．‎ ‎30. 已知 是一次函数，且 ，， 成等比数列，，求 （）的表达式．‎ ‎31. 已知等比数列 中，，，求 和 ．‎ ‎32. 在等比数列 中，，，求 和 ．‎ ‎33. 已知数列 是等比数列，，，设数列 的前 项和为 ．‎ ‎    (1)求数列 的通项公式；‎ ‎    (2)若 ，求 ．‎ ‎34. 已知等差数列 的前 项和为 ，且 ，．‎ ‎    (1)求 的通项公式；‎ ‎    (2)设 ．求证： 是等比数列，并求其前 项和 ．‎ ‎35. 数列 的前 项和为 ，且 ，，，，，．‎ ‎    (1)求 ，， 的值及数列 的通项公式；‎ ‎    (2)求 的值．‎ ‎36. 已知 是公差不为零的等差数列，，且 ，， 成等比数列．‎ ‎    (1)求数列 的通项公式；‎ ‎    (2)设 ，求数列 的前 项和 ．‎ ‎37. 已知数列 的前 项和为 ，且 ．‎ ‎    (1)求数列 的通项公式；‎ ‎    (2)令 ，求证：数列 是等比数列．‎ ‎38. 已知 为等差数列 的前 项和，且 ．‎ ‎    (1)求 的通项公式；‎ ‎    (2)若等比数列 满足 ，，求 的前 项和公式．‎ ‎39. 数列 ：满足 ，．‎ ‎    (1)证明数列 是等比数列；‎ ‎    (2)求数列 的通项公式；‎ ‎    (3)设 ，数列 的前 项和为 ，求证：．‎ ‎40. 给出下面的数表序列：其中表 有 行，第 行的 个数是 ，，从第 行起，每行中的每个数都等于它肩上的两数之和．写出表 ．‎ ‎    (1)验证表 各行中的数的平均数按从上到下的顺序构成等比数列，并将结论推广到表 （不要求证明）．‎ 等比数列的概念与性质-出门考 姓名                                                                 成绩                                  ‎ ‎ 1. 在等比数列 中，，，则数列的前 项和为  ．‎ ‎ 2. 已知等比数列 的各项均为正数，且 ，，则数列 的通项公式为  ．‎ ‎ 3. 在各项均为正数的等比数列 中，若 ，，则 ．‎ ‎ 4. 已知数列 的前 项的和为 ，若 ，则 的值为  ．‎ ‎ 5. 已知数列 满足 设 ，若 ，则 =  ．‎ ‎ 6. 设 是等比数列 的前 项和，，若 ，则 的最小值为  ．‎ ‎ 7. 已知等比数列 的前 项和为 ，若 ，， 成等差数列，且 ，，其中 ，则 的值为  ．‎ ‎ 8. 已知各项都为正数的等比数列 中，，，则满足 的最大正整数 的值为  ．‎ ‎ 9. 已知一个等比数列的前三项的积为 ，最后三项的积为 ，且所有项的积为 ，则该数列的项数为  ．‎ ‎10. 在等比数列 中，若 ， ，则公比  ；  ．‎ ‎11. 设 是公比不为 的等比数列，其前 项和为 ，若 ，， 成等差数列，则  ．‎ ‎12. 等比数列 中，，公比 ，则前 项和  ．‎ ‎13. 首项为 ，公比为 的等比数列的前 项和  ．‎ ‎14. 在等比数列 中， ， ，则公比  ；  ．‎ ‎15. 在等比数列 中，若 ，，则公比  ；当   时， 的前 项积最大．‎ ‎16. 在等比数列 中，若 ，，则  ．‎ ‎17. 已知数列 是递增的等比数列，且 ，，则 的值等于  ．‎ ‎18. 设公比为 的等比数列 的前 项和为 ．若 ，，则  ．  ．‎ ‎19. 已知等比数列 中，，则其前 项和 的取值范围是  ．‎ ‎20. 等比数列前 项和 ，则常数 的值为   ．‎ ‎21. 已知等差数列 的前 项和为 ，等比数列 的前 项和为 ，，．‎ ‎    (1)若 ，求 的通项公式；‎ ‎    (2)若 ，求 ．‎ ‎22. 设数列 的前 项和 满足 ，且 ，求 的值．‎ ‎23. 已知数列 是等比数列，其前 项和为 ，满足 ，．‎ ‎    (1)求数列的通项公式；‎ ‎    (2)是否存在正整数 ，使得 ？若存在，求出符合条件的 的最小值；若不存在，说明理由．‎ ‎24. 一个等比数列 中，，，求这个数列的通项公式．‎ ‎25. 已知公比为 的等比数列 （）中，，前三项的和为 ．‎ ‎    (1)求数列 的通项公式；‎ ‎    (2)若 ，设数列 满足 （），求使得 的 的最小值．‎ ‎    (1)等比数列 中，，，前 项的和 ，求 和公比 ．‎ ‎    (2)等比数列 中，，，求 ．‎ ‎27. 已知 是等比数列 的前 项和，，， 成等差数列，且 ，求数列 的通项公式．‎ ‎28. 在正项等比数列 中，公比为 ，．求证： 为等比数列，并求其公比．‎ ‎29. 已知数列 满足 ，且 ，．‎ ‎    (1)求证： 是等比数列；‎ ‎    (2)求数列 的通项公式．‎ ‎30. 已知等差数列 的公差为 ，等比数列 的公比为 ．设 ，．‎ ‎    (1)若 ，，，求 的值；‎ ‎    (2)若 ，证明 ，；‎ ‎    (3)若正整数 满足 ，设 和 是 的两个不同的排列，，，证明 ．‎ ‎31. 为首项是正数的等比数列，前 项和 ，前 项和 ，在前 项中数值最大的项为 ，求通项 ．‎ ‎32. 设数列 的前 项和为 ，其中 ， 为常数，且 ，， 成等差数列．‎ ‎    (1)求数列 的通项公式；‎ ‎    (2)设 ，问：是否存在 ，使数列 为等比数列？若存在．求出 的值；若不存在，请说明理由．‎ ‎33. 已知等差数列 的公差为 ，且 ，， 成等比数列．‎ ‎    (1)求数列 的通项公式；‎ ‎    (2)设数列 的前 项和为 ，求证：．‎ ‎34. 等比数列 中，，，前 项和 ，求 和公比 ．‎ ‎35. 如图，在边长为 的等边三角形 中，圆 为 的内切圆，圆 与圆 外切，且与 、 相切，，圆 与圆 外切，且与 、 相切，如此继续，记圆 的面积为 ，求 的通项公式．‎ ‎36. 在等比数列 中，若 ，，求公比 ．‎ ‎37. 设 是由正数组成的等比数列， 是其前 项的和．证明：．‎ ‎38. 在等比数列 中，已知 ，，求数列 的通项公式．‎ ‎39. 已知数列 为等差数列，且 ，．‎ ‎    (1)求数列 的通项公式；‎ ‎    (2)证明：．‎ ‎40. 已知数列 满足 ，．‎ ‎    (1)设 ，求证： 是等比数列．‎ ‎    (2)求数列 的前 项和 ．‎