【数学】2020届一轮复习人教版（理）第7章第6讲空间向量及运算作业 9页

A组　基础关 ‎1．已知点O，A，B，C为空间不共面的四点，且向量a＝＋＋，向量b＝＋－，则与a，b不能构成空间基底的向量是(　　)‎ A. B． C． D．或 答案　C 解析　根据题意得＝(a－b)，所以，a，b共面．故选C.‎ ‎2．(2018·黑龙江齐齐哈尔实验中学期中)设ABCD－A1B1C1D1是棱长为a的正方体，则有(　　)‎ A.·＝a2 B．·＝a2‎ C.·＝a2 D．·＝a2‎ 答案　C 解析　建系如图．‎ 则·＝(a,0,0)·(－a，－a，－a)＝－a2，‎ ·＝(a,0,0)·(a，a,0)＝a2，‎ ·＝(0，a,0)·(0，a，－a)＝a2，‎ ·＝(a,0,0)·(－a，－a,0)＝－a2，故只有C正确．‎ ‎3．已知a＝(1,0,1)，b＝(x,1,2)，且a·b＝3，则向量a与b的夹角为(　　)‎ A. B． C． D． 答案　D 解析　因为a·b＝(1,0,1)·(x,1,2)＝x＋2＝3，所以x＝1，‎ 所以|a|＝，|b|＝，‎ 所以cos〈a，b〉＝＝＝.‎ 又0≤〈a，b〉≤π，所以〈a，b〉＝.‎ ‎4．对于空间一点O和不共线的三点A，B，C，有6＝＋2＋3，则(　　)‎ A．O，A，B，C四点共面 B．P，A，B，C四点共面 C．O，P，B，C四点共面 D．O，P，A，B，C五点共面 答案　B 解析　解法一：因为6＝＋2＋3，‎ 所以＝＋＋，‎ 且＋＋＝1，所以A，B，C，P四点共面．‎ 解法二：因为6＝＋2＋3，‎ 所以0＝(－)＋2(－)＋3(－)，‎ 所以＋2＋3＝0，‎ 所以＝－－，‎ 所以，，共面，又三个向量有公共点P.‎ 所以P，A，B，C四点共面．‎ ‎5．在正方体ABCD－A1B1C1D1中，给出以下向量表达式：‎ ‎①(－)－；②(＋)－；③(－)－2；④(＋)＋.‎ 其中能够化简为向量的是(　　)‎ A．①② B．②③‎ C．③④ D．①④‎ 答案　A 解析　①(－)－＝－＝；‎ ‎②(＋)－＝－＝；‎ ‎③(－)－2＝－2≠；‎ ‎④(＋)＋＝＋＝≠.‎ 综上，①②符合题意．故选A.‎ ‎6．(2018·舟山模拟)平行六面体ABCD－A1B1C1D1中，向量，，两两的夹角均为60°，且||＝1，||＝2，||＝3，则||等于(　　)‎ A．5 B．6‎ C．4 D．8‎ 答案　A 解析　设＝a，＝b，＝c，则＝a＋b＋c，||2＝a2＋b2＋c2＋2a·b＋2b·c＋2c·a＝25，因此||＝5.故选A.‎ ‎7．在空间直角坐标系中，已知△ABC的顶点坐标分别为A(1，－1,2)，B(5，－6,2)，C(1,3，－1)，则边AC上的高BD＝(　　)‎ A．5 B． C．4 D．2 答案　A 解析　设＝λ，＝(0,4，－3)，则＝(0,4λ，－3λ)，＝(4，－5,0)，＝(－4,4λ＋5，－3λ)．由·＝0，得λ＝－，所以＝，所以||＝5.故选A.‎ ‎8．已知a＝(2,3,1)，b＝(－4,2，x)，且a⊥b，则|b|＝________.‎ 答案　2 解析　因为a⊥b，所以a·b＝(2,3,1)·(－4,2，x)＝－8＋6＋x＝0，所以x＝2.所以|b|＝＝2.‎ ‎9．(2018·郑州模拟)如图所示，已知空间四边形OABC，其对角线为OB，AC，M，N分别为OA，BC的中点，点G在线段MN上，且＝2，若＝x＋y＋z，则x＋y＋z＝________.‎ 答案　 解析　设＝a，＝b，＝c.‎ 则＝－＝(＋)－ ‎＝b＋c－a，‎ ＝＋＝＋ ‎＝a＋＝a＋b＋c，‎ 又＝x＋y＋z，‎ 所以x＝，y＝，z＝，‎ x＋y＋z＝＋＋＝.‎ ‎10．如图所示，正方体ABCD－A1B1C1D1的棱长为1，若动点P在线段BD1上运动，则·的取值范围是________．‎ 答案　[0,1]‎ 解析　由题意，设＝λ，其中λ∈[0,1]，·＝·(＋)＝·(＋λ)＝2＋λ·＝2＋λ·(－)＝(1－λ)2＝1－λ，因此·的取值范围是[0,1]．‎ B组　能力关 ‎1．若{a，b，c}是空间的一个基底，且向量p＝xa＋yb＋zc，则(x，y，z)叫向量p在基底{a，b，c}下的坐标，已知{a，b，c}是空间的一个基底，{a＋b，a－b，c}是空间的另一个基底，一向量p在基底{a，b，c}下的坐标为(4,2,3)，则向量p在基底{a＋b，a－b，c}下的坐标是(　　)‎ A．(4,0,3) B．(3,1,3)‎ C．(1,2,3) D．(2,1,3)‎ 答案　B 解析　设向量p在基底{a＋b，a－b，c}下的坐标是(x，y，z)，则 ‎4a＋2b＋3c＝x(a＋b)＋y(a－b)＋zc＝(x＋y)a＋(x－y)b＋zc，‎ 因为a，b，c不共面，所以解得x＝3，y＝1，z＝3，‎ 所以向量p在基底{a＋b，a－b，c}下的坐标为(3,1,3)．‎ ‎2．如图所示，在平行四边形ABCD中，AB＝AC＝CD＝1，∠ACD＝90°，把△ADC沿对角线AC折起，使AB与CD成60°角，则BD的长为________．‎ 答案　2或 解析　∵AB与CD成60°角，‎ ‎∴〈，〉＝60°或120°.‎ 又∵AB＝AC＝CD＝1，AC⊥CD，AC⊥AB，‎ ‎∴||＝ ＝ ‎＝ ‎＝ ‎＝ ，‎ ‎∴||＝2或.‎ ‎∴BD的长为2或.‎ ‎3．如图，四边形ABCD和ADPQ均为正方形，它们所在的平面互相垂直，动点M在线段PQ上，E，F分别为AB，BC的中点．设异面直线EM与AF所成的角为θ，则cosθ的最大值为________．‎ 答案　 解析　以A为坐标原点，射线AB，AD，AQ分别为x轴，y轴，z轴的正半轴，建立如图所示的空间直角坐标系．‎ 设正方形ABCD和ADPQ的边长为2，则E(1,0,0)，F(2,1,0)，M(0，y,2)(0≤y≤2)．‎ 所以＝(2,1,0)，＝(－1，y,2)．‎ 所以·＝－2＋y，||＝，‎ ‎||＝.‎ 所以cosθ＝＝＝.‎ 令2－y＝t，‎ 则y＝2－t，且t∈[0,2]．‎ 所以cosθ＝＝.‎ 当t＝0时，cosθ＝0.‎ 当t≠0时，cosθ＝ ‎＝，‎ 由t∈(0,2]，得∈，‎ 所以 ≥ ＝.‎ 所以0