【数学】2020届一轮复习（理）通用版9-5抛物线及其性质作业 12页

‎9.5　抛物线及其性质 挖命题 ‎【考情探究】‎ 考点 内容解读 ‎5年考情 预测 热度 考题示例 考向 关联考点 ‎1.抛物线的定义及标准方程 掌握抛物线的定义、几何图形、标准方程及简单性质 ‎2017课标Ⅱ,16,5分 利用抛物线的定义求线段长度 ‎★★★‎ ‎2014课标Ⅰ,10,5分 利用抛物线的定义求线段长度 三角形相似的性质 ‎2.抛物线的几何性质 ‎2018课标Ⅲ,16,5分 利用抛物线的几何性 质求参数的值 直线与抛物线 的位置关系 ‎★★★‎ ‎2016课标Ⅰ,10,5分 利用抛物线的几何性质求距离 圆的性质 ‎3.直线与抛物线的位置关系 ‎2018课标Ⅰ,8,5分 利用直线与抛物线的位置关系求值 向量坐标运算 ‎★★★‎ ‎2017课标Ⅰ,10,5分 利用直线与抛物线的 位置关系求最值 基本不等式 分析解读　　从近5年的高考情况来看,抛物线的定义、标准方程及简单几何性质等基础知识常以选择题、填空题的形式考查,直线与抛物线的位置关系常以解答题的形式考查.在复习备考中,对抛物线的切线问题以及抛物线的焦点弦问题应予以高度关注,解题时要注重数学思想方法的应用.‎ 破考点 ‎【考点集训】‎ 考点一　抛物线的定义及标准方程 ‎1.(2018陕西西安一模,3)若抛物线y2=2px的焦点与双曲线x‎2‎‎2‎-y‎2‎‎2‎=1的右焦点重合,则p的值为(　　)　　　　　　 　　　　　　 　　　　　　 ‎ A.-2　　　　B.2　　　　C.-4　　　　D.4‎ 答案　D　‎ ‎2.(2018河南中原联盟第五次联考,4)已知抛物线C:y2=2px(p>0)的焦点为F,准线为l,且 l过点(-2,3),M在抛物线C上,若点N(1,2),则|MN|+|MF|的最小值为(　　)‎ A.2　　　　B.3　　　　C.4　　　　D.5‎ 答案　B　‎ 考点二　抛物线的几何性质 ‎1.(2018青海西宁模拟,8)抛物线y2=16x的焦点为F,点A在y轴上,且满足|OA|=|OB|,B是抛物线的准线与x轴的交点,则FA·AB=(　　)‎ A.-4　　　　B.4　　　　C.0　　　　D.-4或4‎ 答案　C　‎ ‎2.(2017江西九校联考,14)已知过抛物线y2=4x的焦点F的直线交抛物线于A、B两点,|AF|=2,则|BF|=　　　　. ‎ 答案　2‎ 考点三　直线与抛物线的位置关系 ‎1.(2018山东聊城二模,6)已知直线l与抛物线C:y2=4x相交于A,B两点,若线段AB的中点为(2,1),则直线l的方程为(　　)‎ A.y=x-1　　　　B.y=-2x+5　　　　C.y=-x+3　　　　D.y=2x-3‎ 答案　D　‎ ‎2.(2017山西太原二模,10)已知双曲线x‎2‎‎3‎-y2=1的右焦点是抛物线y2=2px(p>0)的焦点,直线y=kx+m与抛物线相交于A,B两个不同的点,点M(2,2)是线段AB的中点,则△AOB(O为坐标原点)的面积是(　　)　　　　　　 　　　　　　 　　　　　　 ‎ A.4‎3‎　　　　B.3‎13‎　　　　C.‎14‎　　　　D.2‎‎3‎ 答案　D　‎ 炼技法 ‎【方法集训】‎ 方法　抛物线焦点弦问题的求解方法 ‎1.(2018湖南益阳、湘潭调研,10)如图,过抛物线y2=2px(p>0)的焦点F的直线交抛物线于点A,B,交其准线l于点C,若F是AC的中点,且|AF|=4,则线段AB的长为(　　)‎ ‎　　　　　　 　　　　　　 　　　　　　 ‎ A.5　　　　B.6　　　　C.‎16‎‎3‎　　　　D.‎‎20‎‎3‎ 答案　C　‎ ‎2.(2017安徽六校联考,8)过抛物线y2=4x的焦点F且倾斜角为60°的直线l与抛物线在第一、四象限分别交于A、B两点,则‎|AF|‎‎|BF|‎等于(　　)‎ A.5　　　　B.4　　　　C.3　　　　D.2‎ 答案　C　‎ ‎3.(2018湖南五市十校联考,15)过抛物线C:y2=2px(p>0)的焦点F的直线l与抛物线交于M、N两点(其中M点在第一象限),若MN=3FN,则直线l的斜率为　　　　. ‎ 答案　2‎‎2‎ 过专题 ‎【五年高考】‎ A组　统一命题·课标卷题组 考点一　抛物线的定义及标准方程 ‎1.(2014课标Ⅰ,10,5分)已知抛物线C:y2=8x的焦点为F,准线为l,P是l上一点,Q是直线PF与C的一个交点.若FP=4FQ,则|QF|=(　　)　　　　　　 　　　　　　 　　　　　　 ‎ A.‎7‎‎2‎　　　　B.3　　　　C.‎5‎‎2‎　　　　D.2‎ 答案　B　‎ ‎2.(2017课标Ⅱ,16,5分)已知F是抛物线C:y2=8x的焦点,M是C上一点,FM的延长线交y轴于点N.若M为FN的中点,则|FN|=　　　　. ‎ 答案　6‎ 考点二　抛物线的几何性质 ‎1.(2016课标Ⅰ,10,5分)以抛物线C的顶点为圆心的圆交C于A,B两点,交C的准线于D,E两点.已知|AB|=4‎2‎,|DE|=2‎5‎,则C的焦点到准线的距离为(　　)‎ A.2　　　　B.4　　　　C.6　　　　D.8‎ 答案　B　‎ ‎2.(2018课标Ⅲ,16,5分)已知点M(-1,1)和抛物线C:y2=4x,过C的焦点且斜率为k的直线与C交于A,B两点.若∠AMB=90°,则k=　　　　. ‎ 答案　2‎ 考点三　直线与抛物线的位置关系 ‎1.(2018课标Ⅰ,8,5分)设抛物线C:y2=4x的焦点为F,过点(-2,0)且斜率为‎2‎‎3‎的直线与C交于M,N两点,则FM·FN=(　　)‎ A.5　　　　B.6　　　　C.7　　　　D.8‎ 答案　D　‎ ‎2.(2017课标Ⅰ,10,5分)已知F为抛物线C:y2=4x的焦点,过F作两条互相垂直的直线l1,l2,直线l1与C交于A,B两点,直线l2与C交于D,E两点,则|AB|+|DE|的最小值为(　　)‎ A.16　　　　B.14　　　　C.12　　　　D.10‎ 答案　A　‎ B组　自主命题·省(区、市)卷题组 考点一　抛物线的定义及标准方程 ‎1.(2016浙江,9,4分)若抛物线y2=4x上的点M到焦点的距离为10,则M到y轴的距离是　　　　. ‎ 答案　9‎ ‎2.(2015陕西,14,5分)若抛物线y2=2px(p>0)的准线经过双曲线x2-y2=1的一个焦点,则p=　　　　. ‎ 答案　2‎‎2‎ 考点二　抛物线的几何性质 ‎　(2015浙江,5,5分)如图,设抛物线y2=4x的焦点为F,不经过焦点的直线上有三个不同的点A,B,C,其中点A,B在抛物线上,点C在y轴上,则△BCF与△ACF的面积之比是(　　)‎ ‎　　　　　　 　　　　　　 　　　　　　 ‎ A.‎|BF|-1‎‎|AF|-1‎　　　　B.‎‎|BF‎|‎‎2‎-1‎‎|AF‎|‎‎2‎-1‎ C.‎|BF|+1‎‎|AF|+1‎　　　　D.‎‎|BF‎|‎‎2‎+1‎‎|AF‎|‎‎2‎+1‎ 答案　A　‎ 考点三　直线与抛物线的位置关系 ‎　(2017北京,18,14分)已知抛物线C:y2=2px过点P(1,1).过点‎0,‎‎1‎‎2‎作直线l与抛物线C交于不同的两点M,N,过点M作x轴的垂线分别与直线OP,ON交于点A,B,其中O为原点.‎ ‎(1)求抛物线C的方程,并求其焦点坐标和准线方程;‎ ‎(2)求证:A为线段BM的中点.‎ 解析　本题考查抛物线方程及性质,直线与抛物线的位置关系.‎ ‎(1)由抛物线C:y2=2px过点P(1,1),得p=‎1‎‎2‎.‎ 所以抛物线C的方程为y2=x.‎ 抛物线C的焦点坐标为‎1‎‎4‎‎,0‎,准线方程为x=-‎1‎‎4‎.‎ ‎(2)由题意,设直线l的方程为y=kx+‎1‎‎2‎(k≠0),l与抛物线C的交点为M(x1,y1),N(x2,y2).‎ 由y=kx+‎1‎‎2‎,‎y‎2‎‎=x得4k2x2+(4k-4)x+1=0.‎ 则x1+x2=‎1-kk‎2‎,x1x2=‎1‎‎4‎k‎2‎.‎ 因为点P的坐标为(1,1),所以直线OP的方程为y=x,点A的坐标为(x1,x1).直线ON的方程为y=y‎2‎x‎2‎x,点B的坐标为x‎1‎‎,‎y‎2‎x‎1‎x‎2‎.‎ 因为y1+y‎2‎x‎1‎x‎2‎-2x1=‎y‎1‎x‎2‎‎+y‎2‎x‎1‎-2‎x‎1‎x‎2‎x‎2‎ ‎=‎kx‎1‎+‎‎1‎‎2‎x‎2‎‎+kx‎2‎+‎‎1‎‎2‎x‎1‎-2‎x‎1‎x‎2‎x‎2‎ ‎=‎(2k-2)x‎1‎x‎2‎+‎1‎‎2‎(x‎2‎+x‎1‎)‎x‎2‎=‎(2k-2)×‎1‎‎4‎k‎2‎+‎‎1-k‎2‎k‎2‎x‎2‎=0,‎ 所以y1+y‎2‎x‎1‎x‎2‎=2x1.‎ 故A为线段BM的中点.‎ 方法总结　在研究直线与圆锥曲线位置关系时,常涉及弦长、中点、面积等问题.一般是先联立方程,再根据根与系数关系,用设而不求,整体代入的技巧进行求解.‎ 易错警示　在设直线方程时,若要设成y=kx+m的形式,注意先讨论斜率是否存在;若要设成x=ty+n的形式,注意先讨论斜率是不是0.‎ C组　教师专用题组 考点一　抛物线的定义及标准方程　　　　　　　 　　　　　　 　　　　　　 ‎ ‎　(2013课标Ⅱ,11,5分,0.474)设抛物线C:y2=2px(p>0)的焦点为F,点M在C上,|MF|=5,若以MF为直径的圆过点(0,2),则C的方程为(　　)‎ A.y2=4x或y2=8x　　　　B.y2=2x或y2=8x C.y2=4x或y2=16x　　　　D.y2=2x或y2=16x 答案　C　‎ 考点二　抛物线的几何性质 ‎1.(2014课标Ⅱ,10,5分,0.262)设F为抛物线C:y2=3x的焦点,过F且倾斜角为30°的直线交C于A,B两点,O为坐标原点,则△OAB的面积为(　　)‎ A.‎3‎‎3‎‎4‎　　　　B.‎9‎‎3‎‎8‎　　　　C.‎63‎‎32‎　　　　D.‎‎9‎‎4‎ 答案　D　‎ ‎2.(2013四川,6,5分)抛物线y2=4x的焦点到双曲线x2-y‎2‎‎3‎=1的渐近线的距离是(　　)‎ A.‎1‎‎2‎　　　　B.‎3‎‎2‎　　　　C.1　　　　D.‎‎3‎ 答案　B　‎ ‎3.(2016天津,14,5分)设抛物线x=2pt‎2‎,‎y=2pt(t为参数,p>0)的焦点为F,准线为l.过抛物线上一点A作l的垂线,垂足为B.设C‎7‎‎2‎p,0‎,AF与BC相交于点E.若|CF|=2|AF|,且△ACE的面积为3‎2‎,则p的值为　　　　. ‎ 答案　‎‎6‎ ‎4.(2014湖南,15,5分)如图,正方形ABCD和正方形DEFG的边长分别为a,b(a0)经过C,F两点,则ba=　　　　. ‎ 答案　1+‎‎2‎ ‎5.(2014上海,3,4分)若抛物线y2=2px的焦点与椭圆x‎2‎‎9‎+y‎2‎‎5‎=1的右焦点重合,则该抛物线的准线方程为　　　　. ‎ 答案　x=-2‎ 考点三　直线与抛物线的位置关系 ‎1.(2014辽宁,10,5分)已知点A(-2,3)在抛物线C:y2=2px的准线上,过点A的直线与C在第一象限相切于点B,记C的焦点为F,则直线BF的斜率为(　　)‎ A.‎1‎‎2‎　　　　B.‎2‎‎3‎　　　　C.‎3‎‎4‎　　　　D.‎‎4‎‎3‎ 答案　D　‎ ‎2.(2016江苏,22,10分)如图,在平面直角坐标系xOy中,已知直线l:x-y-2=0,抛物线C:y2=2px(p>0).‎ ‎(1)若直线l过抛物线C的焦点,求抛物线C的方程;‎ ‎(2)已知抛物线C上存在关于直线l对称的相异两点P和Q.‎ ‎①求证:线段PQ的中点坐标为(2-p,-p);‎ ‎②求p的取值范围.‎ 解析　(1)抛物线C:y2=2px(p>0)的焦点为p‎2‎‎,0‎,‎ 由点p‎2‎‎,0‎在直线l:x-y-2=0上,得p‎2‎-0-2=0,即p=4.‎ 所以抛物线C的方程为y2=8x.‎ ‎(2)设P(x1,y1),Q(x2,y2),线段PQ的中点M(x0,y0).‎ 因为点P和Q关于直线l对称,所以直线l垂直平分线段PQ,‎ 于是直线PQ的斜率为-1,则可设其方程为y=-x+b.‎ ‎①由y‎2‎‎=2px,‎y=-x+b消去x得y2+2py-2pb=0.(*)‎ 因为P和Q是抛物线C上的相异两点,所以y1≠y2,‎ 从而Δ=(2p)2-4×(-2pb)>0,化简得p+2b>0.‎ 方程(*)的两根为y1,2=-p±p‎2‎‎+2pb,从而y0=y‎1‎‎+‎y‎2‎‎2‎=-p.‎ 因为M(x0,y0)在直线l上,所以x0=2-p.‎ 因此,线段PQ的中点坐标为(2-p,-p).‎ ‎②因为M(2-p,-p)在直线y=-x+b上,‎ 所以-p=-(2-p)+b,即b=2-2p.‎ 由①知p+2b>0,于是p+2(2-2p)>0,所以p<‎4‎‎3‎.‎ 因此,p的取值范围是‎0,‎‎4‎‎3‎.‎ 评析　本题主要考查直线和抛物线的方程、直线与抛物线的位置关系,考查运算求解能力及推理论证能力.‎ ‎3.(2015湖南,20,13分)已知抛物线C1:x2=4y的焦点F也是椭圆C2:y‎2‎a‎2‎+x‎2‎b‎2‎=1(a>b>0)的一个焦点,C1与C2的公共弦的长为2‎6‎.‎ ‎(1)求C2的方程;‎ ‎(2)过点F的直线l与C1相交于A,B两点,与C2相交于C,D两点,且AC与BD同向.‎ ‎(i)若|AC|=|BD|,求直线l的斜率;‎ ‎(ii)设C1在点A处的切线与x轴的交点为M,证明:直线l绕点F旋转时,△MFD总是钝角三角形.‎ 解析　(1)由C1:x2=4y知其焦点F的坐标为(0,1).因为F也是椭圆C2的一个焦点,所以a2-b2=1.①‎ 又C1与C2的公共弦的长为2‎6‎,C1与C2都关于y轴对称,且C1的方程为x2=4y,由此易知C1与C2的公共点的坐标为‎±‎6‎,‎‎3‎‎2‎,所以‎9‎‎4‎a‎2‎+‎6‎b‎2‎=1.②‎ 联立①,②得a2=9,b2=8.故C2的方程为y‎2‎‎9‎+x‎2‎‎8‎=1.‎ ‎(2)如图,设A(x1,y1),B(x2,y2),C(x3,y3),D(x4,y4).‎ ‎(i)因AC与BD同向,且|AC|=|BD|,所以AC=BD,‎ 从而x3-x1=x4-x2,即x1-x2=x3-x4,‎ 于是(x1+x2)2-4x1x2=(x3+x4)2-4x3x4.③‎ 设直线l的斜率为k,则l的方程为y=kx+1.‎ 由y=kx+1,‎x‎2‎‎=4y得x2-4kx-4=0.而x1,x2是这个方程的两根,所以x1+x2=4k,x1x2=-4.④‎ 由y=kx+1,‎x‎2‎‎8‎‎+y‎2‎‎9‎=1‎得(9+8k2)x2+16kx-64=0.而x3,x4是这个方程的两根,所以x3+x4=-‎16k‎9+8‎k‎2‎,x3x4=-‎64‎‎9+8‎k‎2‎.⑤‎ 将④,⑤代入③,得16(k2+1)=‎1‎‎6‎‎2‎k‎2‎‎(9+8‎k‎2‎‎)‎‎2‎+‎4×64‎‎9+8‎k‎2‎,‎ 即16(k2+1)=‎1‎6‎‎2‎×9(k‎2‎+1)‎‎(9+8‎k‎2‎‎)‎‎2‎,‎ 所以(9+8k2)2=16×9,解得k=±‎6‎‎4‎,‎ 即直线l的斜率为±‎6‎‎4‎.‎ ‎(ii)由x2=4y得y'=x‎2‎,所以C1在点A处的切线方程为y-y1=x‎1‎‎2‎(x-x1),即y=x‎1‎x‎2‎-x‎1‎‎2‎‎4‎.‎ 令y=0,得x=x‎1‎‎2‎,即Mx‎1‎‎2‎‎,0‎,所以FM=x‎1‎‎2‎‎,-1‎.而FA=(x1,y1-1),于是FA·FM=x‎1‎‎2‎‎2‎-y1+1=x‎1‎‎2‎‎4‎+1>0,‎ 因此∠AFM是锐角,从而∠MFD=180°-∠AFM是钝角.‎ 故直线l绕点F旋转时,△MFD总是钝角三角形.‎ ‎【三年模拟】‎ 一、选择题(每小题5分,共40分)　　　　　　　 　　　　　　 　　　　　　 ‎ ‎1.(2019届湖南三湘名校教育联盟第一次大联考,12)过抛物线y2=4x的焦点F且倾斜角为60°的直线交抛物线于A、B两点,以AF、BF为直径的圆分别与y轴相切于点M,N,则|MN| =(　　)‎ A.‎2‎‎3‎‎3‎　　　　B.‎3‎　　　　C.‎4‎‎3‎‎3‎　　　　D.2‎‎3‎ 答案　C　‎ ‎2.(2018浙江11月学考,18)如图,在同一平面内,A,B为两个不同的定点,圆A和圆B的半径都为r,射线AB交圆A于点P,过P作圆A的切线l,当rr≥‎1‎‎2‎|AB|‎变化时,l与圆B的公共点的轨迹是(　　)‎ A.圆　　　　B.椭圆 C.双曲线的一支　　　　D.抛物线 答案　D　‎ ‎3.(2018浙江温州模拟,7)设抛物线的顶点在原点,其焦点在x轴上,又抛物线上的点A(-1,a)与焦点F的距离为2,则a=(　　)‎ A.4　　　　B.4或-4　　　　C.-2　　　　D.-2或2‎ 答案　D　‎ ‎4.(2018云南昆明质检,7)已知点M是抛物线C:y2=2px(p>0)上一点,F为C的焦点,MF的中点坐标是(2,2),则p的值为(　　)‎ A.1　　　　B.2　　　　C.3　　　　D.4‎ 答案　D　‎ ‎5.(2018广东珠海3月模拟,7)已知抛物线y2=4x的焦点为F,准线为l,点P为抛物线上一点,且在第一象限,PA⊥l,垂足为A,|PF|=4,则直线AF的倾斜角等于(　　)‎ A.‎7π‎12‎　　　　B.‎2π‎3‎　　　　C.‎3π‎4‎　　　　D.‎‎5π‎6‎ 答案　B　‎ ‎6.(2018福建六校4月联考,10)已知抛物线E:y2=2px(p>0)的焦点为F,过F且斜率为1的直线交E于A,B两点,线段AB的中点为M,其垂直平分线交x轴于点C,MN⊥y轴于点N.若四边形CMNF的面积等于7,则抛物线E的方程为(　　)‎ A.y2=x　　　　B.y2=2x　　　　C.y2=4x　　　　D.y2=8x 答案　C　‎ ‎7.(2017山西五校3月联考,11)已知抛物线C:y2=2px(p>0)上一点(5,m)到焦点的距离为6,P、Q分别为抛物线C与圆M:(x-6)2+y2=1上的动点,当|PQ|取得最小值时,向量PQ在x轴正方向上的投影为(　　)　　　　　　 　　　　　　 　　　　　　 ‎ A.2-‎5‎‎5‎　　　　B.2‎5‎-1　　　　C.1-‎21‎‎21‎　　　　D.‎21‎-1‎ 答案　A　‎ ‎8.(2018安徽六安一中4月月考,10)若曲线y=‎2xx-1‎的对称中心在抛物线C:y2=2px(p>0)上,过抛物线C的焦点F的直线l与C交于A,B两点,则|AF|+2|BF|的最小值是(　　)‎ A.2‎2‎　　　　B.6　　　　C.3　　　　D.2‎2‎+3‎ 答案　D　‎ 二、填空题(共5分)‎ ‎9.(2019届辽宁沈阳东北育才学校第三次模拟,14)抛物线y2=8x的焦点为F,点A(6,3),P为抛物线上一点,且P不在直线AF上,则△PAF周长的最小值为　　　　. ‎ 答案　13‎ 三、解答题(共25分)‎ ‎10.(2019届四川成都外国语学校开学考试,20)已知抛物线C:y2=2px(p>0)的焦点为F,A为抛物线C上异于原点的任意一点,过点A的直线l交抛物线C于另一点B,交x轴的正半轴于点D,且有|FA|=|FD|.当点A的横坐标为3时,△ADF为正三角形.‎ ‎(1)求抛物线C的方程;‎ ‎(2)若直线l2∥l且l2和抛物线C有且只有一个公共点E,试问直线AE是否过定点,若过定点,求出定点坐标;若不过定点,请说明理由.‎ 解析　(1)由题意知Fp‎2‎‎,0‎,设D(t,0)(t>0),则FD的中点为p+2t‎4‎‎,0‎,由|FA|=|FD|及抛物线的定义知3+p‎2‎=t-‎p‎2‎,解得t=3+p或t=-3(舍去),‎ 由p+2t‎4‎‎=3,‎t=3+p,‎解得p=2,所以抛物线C的方程为y2=4x.‎ ‎(2)由(1)知F(1,0),设A(x0,y0)(x0>0),D(xD,0)(xD>0),因为|FA|=|FD|,‎ 则|xD-1|=x0+1,由x0>0得xD=x0+2,故D(x0+2,0),‎ 故直线l的斜率为k=-y‎0‎‎2‎,因为直线l2和直线AB平行,‎ 故可设直线l2的方程为y=-y‎0‎‎2‎x+b,代入抛物线方程得y2+‎8‎y‎0‎·y-‎8by‎0‎=0,由题意知Δ=‎64‎y‎0‎‎2‎+‎32by‎0‎=0,得b=-‎2‎y‎0‎,则y+‎‎4‎y‎0‎‎2‎=0.设E(xE,yE),则yE=-‎4‎y‎0‎,xE=‎4‎y‎0‎‎2‎,‎ 当y‎0‎‎2‎≠4时,kAE=yE‎-‎y‎0‎xE‎-‎x‎0‎=‎4‎y‎0‎y‎0‎‎2‎‎-4‎,可得直线AE的方程y-y0=‎4‎y‎0‎y‎0‎‎2‎‎-4‎·(x-x0),由y‎0‎‎2‎=4x0,整理可得y=‎4‎y‎0‎y‎0‎‎2‎‎-4‎(x-1),所以直线AE恒过点F(1,0),当y‎0‎‎2‎=4时,直线AE的方程为x=1,过点F(1,0),所以直线AE恒过定点F(1,0).‎ 思路分析　(1)根据等边三角形的性质可知A点横坐标为FD的中点的横坐标,列出方程组解出p.‎ ‎(2)根据|FA|=|FD|列方程得出A,D横坐标的关系,从而得出l的斜率,设l2的方程,代入抛物线方程,由判别式Δ=0得出l2的截距与A点坐标的关系,求出E点坐标,得出AE的方程,根据方程特点判断定点坐标.‎ ‎11.(2018辽宁大连模拟,20)如图,已知过抛物线E:x2=4y的焦点F的直线交抛物线E于A、C两点,经过点A的直线l1分别交y轴、抛物线E于点D、B(B与C不重合),∠FAD=∠FDA,过点C作抛物线E的切线l2.‎ ‎(1)求证:l1∥l2;‎ ‎(2)求三角形ABC面积的最小值.‎ 解析　(1)证明:抛物线E:x2=4y的焦点为F(0,1),且直线AF的斜率一定存在,设AF的方程为y=kx+1.‎ 设A(x1,y1),C(x2,y2)(不妨设x2>0),‎ 由y=kx+1,‎x‎2‎‎=4y得x2-4kx-4=0⇒x1+x2=4k,x1x2=-4,‎ ‎∵∠FAD=∠FDA,∴|AF|=|DF|,‎ 即y1+p‎2‎=yD-1,‎ ‎∴yD=y1+2.‎ ‎∴直线l1的斜率k1=yD‎-‎y‎1‎xD‎-‎x‎1‎=‎2‎‎-‎x‎1‎,‎ ‎∵x1x2=-4,∴k1=‎2‎‎-‎x‎1‎=‎1‎‎2‎x2,‎ 又∵y'=‎1‎‎2‎x,‎ ‎∴过C(x2,y2)的切线斜率k2=‎1‎‎2‎x2.‎ 即k1=k2,∴l1∥l2.‎ ‎(2)由(1)得直线l1的斜率为‎1‎‎2‎x2,‎ 故直线l1的方程为y=‎1‎‎2‎x2x+x‎1‎‎2‎‎4‎+2,‎ 联立x‎2‎‎=4y,‎y=‎1‎‎2‎x‎2‎x+x‎1‎‎2‎‎4‎+2‎得x2-2x2x-x‎1‎‎2‎-8=0,‎ ‎∴x1+xB=2x2,x1xB=-(x‎1‎‎2‎+8).‎ ‎∴|AB|=‎1+‎‎1‎‎4‎x‎2‎‎2‎·‎(x‎1‎+xB‎)‎‎2‎-4‎x‎1‎xB=2‎1+‎‎1‎‎4‎x‎2‎‎2‎·‎(x‎1‎-‎x‎2‎‎)‎‎2‎,‎ 点C到直线l1的距离d=‎1‎‎2‎x‎2‎‎2‎‎-x‎2‎‎2‎‎4‎+x‎1‎‎2‎‎4‎+2‎‎1+‎‎1‎‎4‎x‎2‎‎2‎=‎1‎‎4‎x‎2‎‎2‎‎+‎1‎‎4‎x‎1‎‎2‎+2‎‎1+‎‎1‎‎4‎x‎2‎‎2‎=‎1‎‎4‎‎(x‎1‎‎2‎+x‎2‎‎2‎+8)‎‎1+‎‎1‎‎4‎x‎2‎‎2‎=‎1‎‎4‎‎[(x‎1‎-x‎2‎‎)‎‎2‎+2x‎1‎x‎2‎+8]‎‎1+‎‎1‎‎4‎x‎2‎‎2‎=‎(x‎1‎-‎x‎2‎‎)‎‎2‎‎4‎‎1+‎‎1‎‎4‎x‎2‎‎2‎,‎ 三角形ABC的面积S=‎1‎‎2‎×|AB|×d=‎1‎‎4‎(x2-x1)3.‎ 由(1)可得x2-x1=4k‎2‎‎+1‎,‎ ‎∴当k=0时,(x2-x1)min=4,‎ ‎∴当k=0时,三角形ABC的面积S=‎1‎‎4‎(x2-x1)3取到最小值,Smin=‎1‎‎4‎×43=16.‎