2018年高考试题——数学（江苏卷）解析版 21页

绝密★启用前 2018 年普通高等学校招生全国统一考试（江苏卷） 数学Ⅰ 注意事项 考生在答题前请认真阅读本注意事项及各题答题要求 1．本试卷共 4 页，均为非选择题(第 1 题~第 20 题，共 20 题)。本卷满分为 160 分，考试时间为 120 分钟。考试结束后，请将本试卷和答题卡一片交回。 2．答题前，请务必将自己的姓名、准考证号用 0.5 毫米黑色墨水的签字笔填写在试卷及答题卡的规定 位置。 3．请认真核对监考员从答题卡上所粘贴的条形码上的姓名、准考证号与本人是否相符。 4．作答试题，必须用 0.5 毫米黑色墨水的签字笔在答题卡上的指定位置作答，在其他位置作答一律无 效。 5．如需作图，须用 2B 铅笔绘、写清楚，线条、符号等须加黑、加粗。学@科网 参考公式： 锥体的体积 ，其中 是锥体的底面积， 是锥体的高． 一、填空题：本大题共 14 小题，每小题 5 分，共计 70 分．请把答案填写在答题卡相应位置上． 1. 已知集合 ， ，那么 ________． 【答案】{1，8} 【解析】分析：根据交集定义 求结果. 详解：由题设和交集的定义可知： . 点睛：本题考查交集及其运算，考查基础知识，难度较小. 2. 若复数 满足 ，其中 i 是虚数单位，则 的实部为________． 【答案】2 【解析】分析：先根据复数的除法运算进行化简，再根据复数实部概念求结果. 详解：因为 ，则 ，则 的实部为 . 点睛：本题重点考查复数相关基本概念，如复数 的实部为 、虚部为 、模为 、对应点为 、共轭复数为 . 3. 已知 5 位裁判给某运动员打出的分数的茎叶图如图所示，那么这 5 位裁判打出的分数的平均数为 ________． 【答案】90 【解析】分析：先由茎叶图得数据，再根据平均数公式求平均数. 点睛： 的平均数为 . 4. 一个算法的伪代码如图所示，执行此算法，最后输出的 S 的值为________． 【答案】8 【解析】分析：先判断 是否成立，若成立，再计算 ，若不成立，结束循环，输出结果.详解：由伪代 码可得 ，因为 ，所以结束循环，输出 点睛：本题考查伪代码，考查考生的读图能力，难度较小. 5. 函数 的定义域为________． 【答案】[2，+∞） 【解析】分析：根据偶次根式下被开方数非负列不等式，解对数不等式得函数定义域. 详解：要使函数 有意义，则 ，解得 ，即函数 的定义域为 . 点睛：求给定函数的定义域往往需转化为解不等式（组）的问题. 6. 某兴趣小组有 2 名男生和 3 名女生，现从中任选 2 名学生去参加活动，则恰好选中 2 名女生的概率为 ________． 【答案】 【解析】分析：先确定总基本事件数，再从中确定满足条件的基本事件数，最后根据古典概型概率公式求 概率. 详解：从 5 名学生中抽取 2 名学生，共有 10 种方法，其中恰好选中 2 名女生的方法有 3 种，因此所求概率 为 点睛：古典概型中基本事件数的探求方法 (1)列举法. (2)树状图法：适合于较为复杂的问题中的基本事件的探求.对于基本事件有“有序”与“无序”区别的题目，常 采用树状图法. (3)列表法：适用于多元素基本事件的求解问题，通过列表把复杂的题目简单化、抽象的题目具体化. (4)排列组合法（理科）：适用于限制条件较多且元素数目较多的题目. 7. 已知函数 的图象关于直线 对称，则 的值是________． 【答案】 【解析】分析：由对称轴得 ，再根据限制范围求结果. 详解：由题意可得 ，所以 ，因为 ，所以 点睛：函数 （A>0,ω>0）的性质：(1) ； (2)最小正周期 ；(3)由 求对称轴；(4)由 求增区间; 由 求减区间. 8. 在平面直角坐标系 中，若双曲线 的右焦点 到一条渐近线的距离为 ，则其 离心率的值是________． 【答案】2 【解析】分析：先确定双曲线的焦点到渐近线的距离，再根据条件求离心率. 点睛：双曲线的焦点到渐近线的距离为 b，焦点在渐近线上的射影到坐标原点的距离为 a. 9. 函数 满足 ，且在区间 上， 则 的值为 ________． 【答案】 【解析】分析：先根据函数周期将自变量转化到已知区间，代入对应函数解析式求值，再代入对应函数解 析式求结果. 详解：由 得函数 的周期为 4，所以 因此 点睛：(1)求分段函数的函数值，要先确定要求值的自变量属于哪一段区间，然后代入该段的解析式求值， 当出现 的形式时，应从内到外依次求值.(2)求某条件下自变量的值，先假设所求的值在分段函数定义区 间的各段上，然后求出相应自变量的值，切记代入检验，看所求的自变量的值是否满足相应段自变量的取 值范围. 10. 如图所示，正方体的棱长为 2，以其所有面的中心为顶点的多面体的体积为________． 【答案】 【解析】分析：先分析组合体的构成，再确定锥体的高，最后利用锥体体积公式求结果. 详解：由图可知，该多面体为两个全等正四棱锥的组合体，正四棱锥的高为 1，底面正方形的边长等于 ， 所以该多面体的体积为 点睛：解决本类题目的关键是准确理解几何体的定义，真正把握几何体的结构特征，可以根据条件构建几 何模型，在几何模型中进行判断；求一些不规则几何体的体积时，常用割补法转化成已知体积公式的几何 体进行解决． 11. 若函数 在 内有且只有一个零点，则 在 上的最大值与最小值的和为 ________． 【答案】–3 【解析】分析：先结合三次函数图象确定在 上有且仅有一个零点的条件，求出参数 a,再根据单调性 确定函数最值，即得结果. 详解：由 得 ，因为函数 在 上有且仅有一个零点且 ，所以 ，因此 从而函数 在 上单调递增，在 上单调递减，所以 ， 点睛：对于函数零点个数问题，可利用函数的单调性、草图确定其中参数取值条件．从图象的最高点、最 低点，分析函数的最值、极值；从图象的对称性，分析函数的奇偶性；从图象的走向趋势，分析函数的单 调性、周期性等． 12. 在平面直角坐标系 中，A 为直线 上在第一象限内的点， ，以 AB 为直径的圆 C 与直线 l 交于另一点 D．若 ，则点 A 的横坐标为________． 【答案】3 【解析】分析：先根据条件确定圆方程，再利用方程组解出交点坐标，最后根据平面向量的数量积求结果. 详解：设 ，则由圆心 为 中点得 易得 ，与 联立解 得点 D 的横坐标 所以 .所以 ， 由 得 或 ， 因为 ，所以 点睛：以向量为载体求相关变量的取值或范围，是向量与函数、不等式、三角函数、曲线方程等相结合的 一类综合问题.通过向量的坐标运算，将问题转化为解方程或解不等式或求函数值域，是解决这类问题的一 般方法. 13. 在 中，角 所对的边分别为 ， ， 的平分线交 于点 D，且 ，则 的最小值为________． 【答案】9 【解析】分析：先根据三角形面积公式得条件、再利用基本不等式求最值. 详解：由题意可知， ,由角平分线性质和三角形面积公式得 ，化简得 ，因此 当且仅当 时取等号，则 的最小值为 . 点睛：在利用基本不等式求最值时，要特别注意“拆、拼、凑”等技巧，使其满足基本不等式中“正”(即条件 要求中字母为正数)、“定”(不等式的另一边必须为定值)、“等”(等号取得的条件)的条件才能应用，否则会出 现错误. 14. 已知集合 ， ．将 的所有元素从小到大依次排列构成一个 数列 ．记 为数列 的前 n 项和，则使得 成立的 n 的最小值为________． 【答案】27 【解析】分析：先根据等差数列以及等比数列的求和公式确定满足条件的项数的取值范围，再列不等式求 满足条件的项数的最小值. 详解：设 ，则 由 得 所以只需研究 是否有满足条件的解， 此时 ， ， 为等差数列 项数，且 . 由 得满足条件的 最小值为 . 点睛：本题采用分组转化法求和，将原数列转化为一个等差数列与一个等比数列的和.分组转化法求和的常 见类型主要有分段型（如 ），符号型（如 ），周期型（如 ）. 二、解答题：本大题共 6 小题，共计 90 分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过 程或演算步骤． 15. 在平行六面体 中， ． 求证：（1） ； （2） ． 【答案】答案见解析 【解析】分析：（1）先根据平行六面体得线线平行，再根据线面平行判定定理得结论；（2）先根据条件 得菱形 ABB1A1，再根据菱形对角线相互垂直，以及已知垂直条件，利用线面垂直判定定理得线面垂直，最 后根据面面垂直判定定理得结论. 详解： 证明：（1）在平行六面体 ABCD-A1B1C1D1 中，AB∥A1B1． 因为 AB 平面 A1B1C，A1B1 平面 A1B1C， 所以 AB∥平面 A1B1C． （2）在平行六面体 ABCD-A1B1C1D1 中，四边形 ABB1A1 为平行四边形． 又因为 AA1=AB，所以四边形 ABB1A1 为菱形， 因此 AB1⊥A1B． 又因为 AB1⊥B1C1，BC∥B1C1， 所以 AB1⊥BC． 又因为 A1B∩BC=B，A1B 平面 A1BC，BC 平面 A1BC， 所以 AB1⊥平面 A1BC． 因为 AB1 平面 ABB1A1， 所以平面 ABB1A1⊥平面 A1BC． 点睛：本题可能会出现对常见几何体的结构不熟悉导致几何体中的位置关系无法得到运用或者运用错误， 如柱体的概念中包含“两个底面是全等的多边形，且对应边互相平行，侧面都是平行四边形”，再如菱形对角 线互相垂直的条件，这些条件在解题中都是已知条件，缺少对这些条件的应用可导致无法证明. 16. 已知 为锐角， ， ． （1）求 的值； （2）求 的值． 【答案】（1） （2） 【解析】分析：先根据同角三角函数关系得 ，再根据二倍角余弦公式得结果；（2）先根据二倍角正切 公式得 ，再利用两角差的正切公式得结果. 详解：解：（1）因为 ， ，所以 ． 因为 ，所以 ， 因此， ． （2）因为 为锐角，所以 ． 又因为 ，所以 ， 因此 ． 因为 ，所以 ， 因此， ． 点睛：应用三角公式解决问题的三个变换角度 (1)变角：目的是沟通题设条件与结论中所涉及的角，其手法通常是“配凑”. (2)变名：通过变换函数名称达到减少函数种类的目的，其手法通常有“切化弦”、“升幂与降幂”等. (3)变式：根据式子的结构特征进行变形，使其更贴近某个公式或某个期待的目标，其手法通常有：“常值代 换”、“逆用变用公式”、“通分约分”、“分解与组合”、“配方与平方”等. 17. 某农场有一块农田，如图所示，它的边界由圆 O 的一段圆弧 （P 为此圆弧的中点）和线段 MN 构 成．已知圆 O 的半径为 40 米，点 P 到 MN 的距离为 50 米．现规划在此农田上修建两个温室大棚，大棚Ⅰ 内的地块形状为矩形 ABCD，大棚Ⅱ内的地块形状为 ，要求 均在线段 上， 均在圆弧上．设 OC 与 MN 所成的角为 ． （1）用 分别表示矩形 和 的面积，并确定 的取值范围； （2）若大棚Ⅰ内种植甲种蔬菜，大棚Ⅱ内种植乙种蔬菜，且甲、乙两种蔬菜的单位面积年产值之比为 ．求当 为何值时，能使甲、乙两种蔬菜的年总产值最大． 【答案】（1）矩形 ABCD 的面积为 800（4sinθcosθ+cosθ）平方米，△CDP 的面积为 1600（cosθ–sinθcosθ），sinθ 的取值范围是[ ，1）． （2）当 θ= 时，能使甲、乙两种蔬菜的年总产值最大 【解析】分析：（1）先根据条件求矩形长与宽，三角形的底与高，再根据矩形面积公式以及三角形面积公 式得结果，最后根据实际意义确定 的取值范围；（2）根据条件列函数关系式，利用导数求极值点，再 根据单调性确定函数最值取法. 详解： 解：（1）连结 PO 并延长交 MN 于 H，则 PH⊥MN，所以 OH=10． 过 O 作 OE⊥BC 于 E，则 OE∥MN，所以∠COE=θ， 故 OE=40cosθ，EC=40sinθ， 则矩形 ABCD 的面积为 2×40cosθ（40sinθ+10）=800（4sinθcosθ+cosθ）， △CDP 的面积为 ×2×40cosθ（40–40sinθ）=1600（cosθ–sinθcosθ）． 过 N 作 GN⊥MN，分别交圆弧和 OE 的延长线于 G 和 K，则 GK=KN=10． 令∠GOK=θ0，则 sinθ0= ，θ0∈（0， ）． 当 θ∈[θ0， ）时，才能作出满足条件的矩形 ABCD， 所以 sinθ 的取值范围是[ ，1）． 答：矩形 ABCD 的面积为 800（4sinθcosθ+cosθ）平方米，△CDP 的面积为 1600（cosθ–sinθcosθ），sinθ 的取值范围是[ ，1）． （2）因为甲、乙两种蔬菜的单位面积年产值之比为 4∶3， 设甲的单位面积的年产值为 4k，乙的单位面积的年产值为 3k（k>0）， 则年总产值为 4k×800（4sinθcosθ+cosθ）+3k×1600（cosθ–sinθcosθ） =8000k（sinθcosθ+cosθ），θ∈[θ0， ）． 设 f（θ）= sinθcosθ+cosθ，θ∈[θ0， ）， 则 ． 令 ，得 θ= ， 当 θ∈（θ0， ）时， ，所以 f（θ）为增函数； 当 θ∈（ ， ）时， ，所以 f（θ）为减函数， 因此，当 θ= 时，f（θ）取到最大值． 答：当 θ= 时，能使甲、乙两种蔬菜的年总产值最大． 点睛：解决实际应用题的步骤一般有两步：一是将实际问题转化为数学问题；二是利用数学内部的知识解 决问题. 18. 如图，在平面直角坐标系 中，椭圆 C 过点 ，焦点 ，圆 O 的直径为 ． （1）求椭圆 C 及圆 O 的方程； （2）设直线 l 与圆 O 相切于第一象限内的点 P． ①若直线 l 与椭圆 C 有且只有一个公共点，求点 P 的坐标； ②直线 l 与椭圆 C 交于 两点．若 的面积为 ，求直线 l 的方程． 【答案】（1）椭圆 C 的方程为 ；圆 O 的方程为 （2）①点 P 的坐标为 ；②直线 l 的方程为 【解析】分析：（1）根据条件易得圆的半径，即得圆的标准方程，再根据点在椭圆上，解方程组可得 a,b， 即得椭圆方程；（2）第一问先根据直线与圆相切得一方程，再根据直线与椭圆相切得另一方程，解方程组 可得切点坐标.第二问先根据三角形面积得三角形底边边长，再结合①中方程组，利用求根公式以及两点间 距离公式，列方程，解得切点坐标，即得直线方程. 详解：解：（1）因为椭圆 C 的焦点为 ， 可设椭圆 C 的方程为 ．又点 在椭圆 C 上， 所以 ，解得 因此，椭圆 C 的方程为 ． 因为圆 O 的直径为 ，所以其方程为 ． （2）①设直线 l 与圆 O 相切于 ，则 ， 所以直线 l 的方程为 ，即 ． 由 ，消去 y，得 ．（*） 因为直线 l 与椭圆 C 有且只有一个公共点， 所以 ． 因为 ，所以 ． 因此，点 P 的坐标为 ． ②因为三角形 OAB 的面积为 ，所以 ，从而 ． 设 ， 由（*）得 ， 所以 ． 因为 ， 所以 ，即 ， 解得 舍去），则 ，因此 P 的坐标为 ． 综上，直线 l 的方程为 ． 点睛：直线与椭圆的交点问题的处理一般有两种处理方法：一是设出点的坐标，运用“设而不求”思想求解； 二是设出直线方程，与椭圆方程联立，利用韦达定理求出交点坐标，适用于已知直线与椭圆的一个交点的 情况. 19. 记 分别为函数 的导函数．若存在 ，满足 且 ，则称 为函数 与 的一个“S 点”． （1）证明：函数 与 不存在“S 点”； （2）若函数 与 存在“S 点”，求实数a 的值； （3）已知函数 ， ．对任意 ，判断是否存在 ，使函数 与 在区间 内 存在“S 点”，并说明理由． 【答案】（1）证明见解析 （2）a 的值为 （3）对任意 a>0，存在 b>0，使函数 f（x）与 g（x）在区间（0，+∞）内存在“S 点”． 【解析】分析：（1）根据题中“S 点”的定义列两个方程，根据方程组无解证得结论；（2）同（1）根据“S 点”的定义列两个方程，解方程组可得 a 的值；（3）通过构造函数以及结合 “S 点”的定义列两个方程，再判 断方程组是否有解即可证得结论. 详解：解：（1）函数 f（x）=x，g（x）=x2+2x-2，则 f′（x）=1，g′（x）=2x+2． 由 f（x）=g（x）且 f′（x）= g′（x），得 ，此方程组无解， 因此，f（x）与 g（x）不存在“S”点． （2）函数 ， ， 则 ． 设 x0 为 f（x）与 g（x）的“S”点，由 f（x0）与 g（x0）且 f′（x0）与 g′（x0），得 ，即 ，（*） 得 ，即 ，则 ． 当 时， 满足方程组（*），即 为 f（x）与 g（x）的“S”点． 因此，a 的值为 ． （3）对任意 a>0，设 ． 因为 ，且 h（x）的图象是不间断的， 所以存在 ∈（0，1），使得 ，令 ，则 b>0． 函数 ， 则 ． 由 f（x）与 g（x）且 f′（x）与 g′（x），得 ，即 （**） 此时， 满足方程组（**），即 是函数 f（x）与 g（x）在区间（0，1）内的一个“S 点”． 因此，对任意 a>0，存在 b>0，使函数 f（x）与 g（x）在区间（0，+∞）内存在“S 点”． 点睛：涉及函数的零点问题、方程解的个数问题、函数图象交点个数问题，一般先通过导数研究函数的单 调性、最大值、最小值、变化趋势等，再借助函数的大致图象判断零点、方程根、交点的情况，归根到底 还是研究函数的性质，如单调性、极值，然后通过数形结合的思想找到解题的思路. 20. 设 是首项为 ，公差为 d 的等差数列， 是首项为 ，公比为 q 的等比数列． （1）设 ，若 对 均成立，求 d 的取值范围； （2）若 ，证明：存在 ，使得 对 均成立，并求 的取 值范围（用 表示）． 【答案】（1）d 的取值范围为 ． （2）d 的取值范围为 ，证明见解析。 【解析】分析：（1）根据题意结合 并分别令 n=1，2，3，4 列出不等式组，即可解得公差 d 的取 值范围；（2）先根据绝对值定义将不等式转化为 ，根据条件易得左边不等式恒成立，再 利用数列单调性确定右边单调递增，转化为最小值问题，即得公差 d 的取值范围. 详解：解：（1）由条件知： ． 因为 对 n=1，2，3，4 均成立， 即 对 n=1，2，3，4 均成立， 即 1 1，1 d 3，3 2d 5，7 3d 9，得 ． 因此，d 的取值范围为 ． （2）由条件知： ． 若存在 d，使得 （n=2，3，···，m+1）成立， 即 ， 即当 时，d 满足 ． 因为 ，则 ， 从而 ， ，对 均成立． 因此，取 d=0 时， 对 均成立． 下面讨论数列 的最大值和数列 的最小值（ ）． ①当 时， ， 当 时，有 ，从而 ． 因此，当 时，数列 单调递增， 故数列 的最大值为 ． ②设 ，当 x>0 时， ， 所以 单调递减，从而