高考数学试题分类详解 不等式 7页

2007 年高考数学试题分类详解 不等式 一、选择题 1、（山东文 7）命题“对任意的 ”的否定是（ ） A．不存在 B．存在 C．存在 D．对任意的 【答案】C【分析】注意两点：（1）全称命题变为特称命题；（2）只对结论进行否定。 2、（全国 2 理 6）不等式: >0 的解集为 (A)( -2, 1) (B) ( 2, +∞) (C) ( -2, 1)∪ ( 2, +∞) (D) ( -∞, -2)∪ ( 1, +∞) 解．不等式: >0，∴ ，原不等式的解集为(-2, 1)∪(2, +∞)，选 C。 3、（全国 2 文 4）下列四个数中最大的是（ ） A． B． C． D． 解．∵ ，∴ ln(ln2)<0，(ln2) 2< ln2，而 ln = ln2， 3 2 1 0x R x x∈ − + >， 4 1 2 − − x x 4 1 2 − − x x 1 0( 2)( 2) x x x − >+ − 2(ln 2) ln(ln 2) ln 2 ln 2 0 ln 2 1< < 2 2 1 2 03 x x − >+ ( 3 2)− ， (2 )+ ∞， ( 3) (2 )−∞ − + ∞， ， ( 2) (3 )−∞ − + ∞， ， 2 03 x x − >+ ( 3) (2 )−∞ − + ∞， ， 2log ( 1), log ( 1), log (2 )a a am a n a p a= + = − = pnm ,, 2 1 2a a+ > 2 1a a> − 2log ( 1), log ( 1), log (2 )a a am a n a p a= + = − = pnm ,, ∈x x a a ∈x x ax，∴a≥－1，综上得 ，即实数 a 的取值范围是 ≤1，选 B。 7、（北京理 7）如果正数 满足 ， 那么（　　） Ａ． ，且等号成立时 的取值唯一 Ｂ． ，且等号成立时 的取值唯一 Ｃ． ，且等号成立时 的取值不唯一 Ｄ． ，且等号成立时 的取值不唯一 解析：正数 满足 ，∴ 4= ，即 ，当且仅当 a=b=2 时，“=”成立；又 4= ，∴ c+d≥4，当且仅当 c=d=2 时，“=”成立； 综上得 ，且等号成立时 的取值都为 2，选 A。 8、（上海理 13）已知 为非零实数，且 ，则下列命题成立的是 A、 B、 C、 D、 【答案】C 【解析】若ab2，A不成立；若 B不成立；若a=1，b=2， 则 ,所以D不成立 ,故选C。 9、（上海文理 15）已知 是定义域为正整数集的函数，对于定义域内任意的 ，若 成立，则 成立，下列命题成立的是 A、若 成立，则对于任意 ，均有 成立； B、若 成立，则对于任意的 ，均有 成立； C、若 成立，则对于任意的 ，均有 成立； D、若 成立，则对于任意的 ，均有 成立。 【答案】D 【解析】 对 A，当 k=1 或 2 时，不一定有 成立；对 B，应有 成立； 对 C，只能得出：对于任意的 ，均有 成立，不能得出：任意的 ，均 有 成立；对 D， 对于任意的 ，均有 成立。 故选 D。 1 1a− ≤ ≤ a a b c d， ， ， 4a b cd+ = = ab c d+≤ a b c d， ， ， ab c d+≥ a b c d， ， ， ab c d+≤ a b c d， ， ， ab c d+≥ a b c d， ， ， a b c d， ， ， 4a b cd+ = = 2a b ab+ ≥ 4ab ≤ 2( )2 c dcd +≤ ab c d+≤ a b c d， ， ， ,a b a b< 2 2a b< 2 2ab a b< 2 2 1 1 ab a b < b a a b < 2 20 ,ab a b aba b > ⇒ < < 12, 2 b a b a a b a b = = ⇒ > ( )f x k ( ) 2f k k≥ ( ) ( )21 1f k k+ ≥ + ( )3 9f ≥ 1k ≥ ( ) 2f k k≥ ( )4 16f ≥ 4k ≥ ( ) 2f k k< ( )7 49f ≥ 7k < ( ) 2f k k< ( )4 25f = 4k ≥ ( ) 2f k k≥ ( ) 2f k k≥ ( ) 2f k k≥ 7k ≥ ( ) 2f k k≥ 7k < ( ) 2f k k< ( )4 25 16,f = ≥ ∴ 4k ≥ ( ) 2f k k≥ 10、（湖南理 2）不等式 的解集是（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】由 得 ，所以解集为 . 11、（湖南文 1）不等式 的解集是 　 A． 　　 　B. 　　 　C. 　 　D. 【答案】D 【解析】由 得 x（x-1）>0，所以解集为 12、（重庆理 7）若 a 是 1+2b 与 1-2b 的等比中项，则 的最大值为（ ） A. B. C. D. 【答案】：B 【分析】：a 是 1+2b 与 1-2b 的等比中项，则 二、填空题 1、（山东文 14）函数 的图象恒过定点 ，若点 在直线 2 01 x x − + ≤ ( 1) ( 1 2]−∞ − −， ， [ 1 2]− ， ( 1) [2 )−∞ − + ∞， ， ( 1 2]− ， 2 01 x x − + ≤ ( 2)( 1) 0 1 0 x x x − +  + ≠ ≤ ( 1 2]− ， 2x x> ( ),0−∞ ( )0,1 ( )1,+∞ ( ) ( ),0 1,−∞ ∪ +∞ 2x x> ( ) ( ),0 1,−∞ ∪ +∞ ||2|| 2 ba ab + 15 52 4 2 5 5 2 2 2 2 2 21 4 4 1 4 | |.a b a b ab= − ⇒ + = ≥ 1| | .4ab∴ ≤ 2 2 24 (| | 2 | |) 4 | | 1.a b a b ab+ = + − = 22 2 2 | | 4( ) | | 2 | | 1 4 | |1 4 | | 1 4 | | ab ab ab ab a b abab ab ∴ = ≤ =+ ++ + 2 2 4 4 4 1 1( ) ( 2) 4| | | |ab ab ab = = + + − 1 1| | 4,4 | |ab ab ≤ ∴ ≥ 2 4 2max .| | 2 | | 32 4 ab a b ∴ =+ 1 ( 0 1)xy a a a−= > ≠， A A 上，则 的最小值为 ． 【答案】:4【分析】：函数 的图象恒过定点 ， ， ， ， （方法一）： ， . （方法二）： 2 、 （ 山 东 文 15 ） 当 时 ， 不 等 式 恒 成 立 ， 则 的 取 值 范 围 是 ． 【答案】 【分析】：构造函数： 。由于当 时， 不等式 恒成立。则 ，即 。解得： 。 3、（广东理 14）（不等式选讲选做题）设函数 则 =_____；若 ，则 x 的取值范围是________； 答案：6； 4、（山东理 16）函数 的图象恒过定点 ,若点 在直线 上,其中 ,则 的最小值为_______. 【答案】: 8。【分析】：函数 的图象恒过定点 ， ， ， ， 5、（上海理 5）已知 ，且 ，则 的最大值为 【答案】 【解析】 ，当且仅当x=4y= 时取等号. 1 0( 0)mx ny mn+ − = > 1 1 m n + 1 ( 0 1)xy a a a−= > ≠, (1,1)A 1 1 1 0m n⋅ + ⋅ − = 1m n+ = , 0m n > 12 2m n mn mn + ≥ ⇒ ≥ 1 1 1 12 2 2 4m n m n + ≥ ⋅ ≥ ⋅ = 1 1 1 1( ) ( ) 2 2 2 4.n m n mm nm n m n m n m n + = + ⋅ + = + + ≥ + ⋅ = (1 2)x∈ ， 2 4 0x mx+ + < m 5m ≤ − 2( ) 4,f x x mx= + + [1 2]x∈ ， (1 2)x∈ ， 2 4 0x mx+ + < (1) 0, (2) 0f f≤ ≤ 1 4 0, 4 2 4 0m m+ + ≤ + + ≤ 5m ≤ − ( ) | 2 1| 3,f x x x= − + + ( 2)f − ( ) 5f x ≤ 1[ ,1]2 − log ( 3) 1( 0, 1)ay x a a= + − > ≠ A A 1 0mx ny+ + = 0mn > 1 2 m n + log ( 3) 1( 0, 1)ay x a a= + − > ≠ ( 2, 1)A − − ( 2) ( 1) 1 0m n− ⋅ + − ⋅ + = 2 1m n+ = , 0m n > 1 2 1 2 4 4( ) (2 ) 4 4 2 8.n m n mm nm n m n m n m n + = + ⋅ + = + + ≥ + ⋅ = ,x y R+∈ 4 1x y+ = x y⋅ _____ 16 1 21 1 4 14 ( )4 4 2 16 x yxy x y += ⋅ ≤ = 1 2 6、（浙江理 13）不等式 的解集是 ． 【答案】： 【分析】： 7、（重庆理 13）若函数 f(x) = 的定义域为 R， 则 的取值范围为_______. 【答案】： 【分析】： 恒成立， 恒成立， 三、解答题 1、（湖北理 21）（本小题满分 14 分） 已知 m，n 为正整数. （Ⅰ）用数学归纳法证明：当 x>-1 时，(1+x)m≥1+mx； （Ⅱ）对于 n≥6，已知 ，求证 ，m=1,1,2…，n； （Ⅲ）求出满足等式 3n+4m+…+(n+2)m=(n+3)n 的所有正整数 n. 解：（Ⅰ）证：当 x=0 或 m=1 时，原不等式中等号显然成立，下用数学归纳法证明： 当 x>-1，且 x≠0 时，m≥2,(1+x)m>1+mx. ○1 (i)当 m=2 时，左边＝1+2x+x2,右边＝1+2x，因为 x≠0,所以 x2>0，即左边>右边，不等式①成 立； （ii）假设当 m=k(k≥2)时，不等式①成立，即（1+x）k>1+kx,则当 m=k+1 时，因为 x>-1,所 以 1+x>0.又因为 x≠0,k≥2,所以 kx2>0. 于是在不等式（1+x）k>1+kx 两边同乘以 1+x 得 （1+x）k·(1+x)>(1+kx)(1+x)=1+(k+1)x+kx2>1+(k+1)x, 所以（1+x）k+1>1+(k+1)x,即当 m＝k+1 时，不等式①也成立. 综上所述，所证不等式成立. (Ⅱ)证：当 而由（Ⅰ）， 2 1 1x x− − < (0,2) 2 1 1 2 1 1 ( 1) 2 1 1x x x x x x x− − < ⇒ − < + ⇒ − + < − < + ( 1) 2 1 0 2.2 1 1 x x xx x − + < −∴ ⇒ < < − < + 2 22 1x ax a− − − a [ ]1 0− ， 2 2 02 1 2x ax a− − ≥ = 2 2 0x ax a⇒ − − ≥ 2(2 ) 4 0 ( 1) 0 1 0.a a a a a⇒ ∆ = + ≤ ⇒ + ≤ ∴− ≤ ≤ 2 1 3 11 <     +− n n mn n m     <     +− 2 1 31 ,)2 1()3 11(,2 1 3 11,6 m n mm nnnmn <    +−∴<+−≤≥ ）（时， 31)3 11( +−≥+− n m n m .)2 1()3 11()31( m n mn nn m <    +−≤+−∴ （Ⅲ）解：假设存在正整数 成立， 即有（ ）+ ＝1.　　② 又由（Ⅱ）可得 （ ）+ + 与②式矛盾， 故当 n≥6 时，不存在满足该等式的正整数 n. 故只需要讨论 n=1,2,3,4,5 的情形； 当 n=1 时，3≠4，等式不成立； 当 n=2 时，32+42＝52，等式成立； 当 n=3 时，33+43+53＝63，等式成立； 当 n=4 时，34+44+54+64 为偶数，而 74 为奇数，故 34+44+54+64≠74,等式不成立； 当 n=5 时，同 n=4 的情形可分析出，等式不成立. 综上，所求的 n 只有 n=2,3. 2、(江西理 17)．（本小题满分 12 分） 已知函数 在区间(0，1)内连续，且 ． （1）求实数 k 和 c 的值； （2）解不等式 解：（1）因为 ，所以 ， 由 ，即 ， ． 又因为 在 处连续， 所以 ，即 ． 00 )3()2(436 00000 nnnn nnn +=++++≥ 使等式 0 3 3 0 n n + 00 )3 2()3 4( 0 0 0 nn n n n + ++++  0 3 3 0 n n +  ++ −−++−=+ ++++ 0000 )3 11()31()3 2()3 4( 0 0 0 0 0 0 0 nnnn n n n n n n n ,12 112 1)2 1()2 1()3 11( 0 000 1 0 <−=+++<+− − n nnn n     ≤+ + = − )1(2 )0(1 )( 2 ＜ ＜＜ xck cxcx xf c x 8 9)( 2 =cf 18 2)( +＞xf 0 1c< < 2c c< 2 9( ) 8f c = 3 91 8c + = 1 2c = 4 1 11 02 2( ) 12 12 x x x f x k x−   + < <   =    + <    ≤ 1 2x = 21 522 4f k−  = + =   1k = （2）由（1）得： 由 得，当 时，解得 ． 当 时，解得 ， 所以 的解集为 ． 3、（北京文 15）（本小题共 12 分） 记关于 的不等式 的解集为 ，不等式 的解集为 ． （I）若 ，求 ； （II）若 ，求正数 的取值范围． 解：（I）由 ，得 ． （II） ． 由 ，得 ，又 ，所以 ， 即 的取值范围是 ． 4 1 11 02 2( ) 12 1 12 x x x f x x−   + < <   =    + <    ≤ 2( ) 18f x > + 10 2x< < 2 1 4 2x< < 1 12 x <≤ 1 5 2 8x <≤ 2( ) 18f x > + 2 5 4 8x x   < <    x 01 x a x − <+ P 1 1x − ≤ Q 3a = P Q P⊆ a 3 01 x x − <+ { }1 3P x x= − < < { } { }1 1 0 2Q x x x x= − =≤ ≤ ≤ 0a > { }1P x x a= − < < Q P⊆ 2a > a (2 )+ ∞，