【数学】2020届一轮复习人教A版三角恒等变换与解三角形作业 6页

‎2020届一轮复习人教A版 三角恒等变换与解三角形 作业 ‎1．(2019·陕西质量检测(一))已知角α的终边过点P(4，－3)，则cos(α＋)的值为(　　)‎ A．－　　　　　　　　　 B． C．－ D. ‎【答案】B ‎【解析】.由于角α的终边过点P(4，－3)，则cos α＝＝，sin α＝＝－，故cos(α＋)＝cos αcos －sin αsin ，即cos(α＋)＝×－(－)×＝，选B.‎ ‎2．(2019·广西三市第一次联考)已知x∈(0，π)，且cos(2x－)＝sin2x，则tan(x－)等于(　　)‎ A. B．－ C．3 D．－3‎ ‎【答案】A ‎【解析】：选A.由cos(2x－)＝sin2x得sin 2x＝sin2x，因为x∈(0，π)，所以tan x＝2，所以tan(x－)＝＝.‎ ‎3．(2019·张掖第一次诊断考试)在△ABC中，内角A，B，C的对边分别是a，b，c，若c＝2a，bsin B－asin A＝asin C，则sin B为(　　)‎ A. B． C. D. ‎【答案】A ‎【解析】.由bsin B－asin A＝asin C，且c＝2a，得b＝a，因为cos B＝＝＝，所以sin B＝＝.‎ ‎4．(2019·云南第一次统考)在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c.若B＝，a＝，sin2 B＝2sin Asin C，则△ABC的面积 S△ABC＝(　　)‎ A. B．3‎ C. D．6‎ ‎【答案】B ‎【解析】：选B.由sin2B＝2sin Asin C及正弦定理，得b2＝2ac ①，又B＝，所以a2＋c2＝b2 ②，联立①②解得a＝c＝，所以S△ABC＝××＝3，故选B.‎ ‎5．(2018·长沙模拟)△ABC中，C＝，AB＝3，则△ABC的周长为(　　)‎ A．6sin(A＋)＋3 ‎ B．6sin(A＋)＋3‎ C．2sin(A＋)＋3 ‎ D．2sin(A＋)＋3‎ ‎【答案】C ‎6．设△ABC三个内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若a2sin C＝4sin A，(ca＋cb)(sin A－sin B)＝sin C(2－c2)，则△ABC的面积为________．‎ ‎【答案】： ‎【解析：由a2sin C＝4sin A得ac＝4，由(ca＋cb)(sin A－sin B)＝sin C(2－c2)得(a＋b)(a－b)＝2－c2，即a2＋c2－b2＝2，所以cos B＝，则sin B＝，所以S△ABC＝acsin B＝.　‎ ‎7．(2019·洛阳第一次统考)在△ABC中，B＝30°，AC＝2，D是AB边上的一点，CD＝2，若∠ACD为锐角，△ACD的面积为4，则BC＝________．‎ ‎【答案】：4‎ ‎【解析】：依题意得S△ACD＝CD·AC·sin∠ACD＝2·sin∠ACD＝4，则sin∠ACD＝.又∠ACD是锐角，因此cos∠ACD＝＝.在△ACD中，AD＝＝4，＝，sin A＝＝.在△ABC中，＝，BC＝＝4.‎ ‎8．(2019·宝鸡质量检测(一))如图，在Rt△ABC中，两条直角边分别为AB，BC，且AB＝2，BC＝2，P为△ABC内一点，∠BPC＝90°.若∠APB＝150°，则tan∠PBA＝________．‎ ‎【答案】： ‎【解析】：设∠PBA＝α，在Rt△BCP中，PB＝2cos(－α)＝2sin α，在△PAB中，＝，即＝，所以4sin α＝cos α，所以tan α＝.‎ ‎9．(2019·西安八校联考)已知△ABC内接于单位圆，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且2acos A＝ccos B＋bcos C.‎ ‎(1)求cos A的值；‎ ‎(2)若b2＋c2＝4，求△ABC的面积．‎ ‎【解析】：(1)因为2acos A＝ccos B＋bcos C，‎ 所以2sin A·cos A＝sin Ccos B＋sin Bcos C，‎ 即2sin A·cos A＝sin(B＋C)＝sin A. ‎ 又0＜A＜π，所以sin A≠0.‎ 所以2cos A＝1，cos A＝.‎ ‎(2)由(1)知cos A＝，‎ 所以sin A＝.‎ 因为＝2，所以a＝2sin A＝.‎ 由a2＝b2＋c2－2bccos A，‎ 得bc＝b2＋c2－a2＝4－3＝1，‎ 所以S△ABC＝bcsin A＝×1×＝.‎ ‎10．(2019·陕西质量检测(一))在△ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，面积为S，已知2acos2 ＋2ccos2 ＝b.‎ ‎(1)求证：2(a＋c)＝3b；‎ ‎(2)若cos B＝，S＝，求b.‎ ‎【解析】：(1)证明：由已知得，a(1＋cos C)＋c(1＋cos A)＝b.‎ 在△ABC中，过B作BD⊥AC，垂足为D，则acos C＋ccos A＝b.‎ 所以a＋c＝b，即2(a＋c)＝3b.‎ ‎(2)因为cos B＝，所以sin B＝. ‎ 因为S＝acsin B＝ac＝，所以ac＝8.‎ 又b2＝a2＋c2－2accos B＝(a＋c)2－2ac(1＋cos B)，2(a＋c)＝3b，‎ ‎ 所以b2＝－16×(1＋)．‎ 所以b＝4.‎ ‎[能力提升]‎ ‎1．(2019·云南第一次统考)已知△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c.若a＝bcos C＋csin B，且△ABC的面积为1＋，则b的最小值为(　　)‎ A．2 B．3‎ C. D. ‎【答案】A ‎【解析】由a＝bcos C＋csin B及正弦定理，得sin A＝sin Bcos C＋sin Csin B，即sin(B＋C)＝sin Bcos C＋sin Csin B，得sin Ccos B＝sin Csin B，又sin C≠0，所以tan B＝1.因为B∈(0，π)，所以B＝.由S△ABC＝acsin B＝1＋，得ac＝2＋4.又b2＝a2＋c2－2accos B≥2ac－ac＝(2－)(4＋2)＝4，当且仅当a＝c时等号成立，所以b≥2，b的最小值为2，故选A.‎ ‎2．(2017·高考山东卷)在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c.若△ABC为锐角三角形，且满足sin B(1＋2cos C)＝2sin Acos C＋cos Asin C，则下列等式成立的是(　　)‎ A．a＝2b B．b＝2a C．A＝2B D．B＝2A ‎【答案】A ‎【解析】由题意可知sin B＋2sin Bcos C＝sin Acos C＋sin(A＋C)，即2sin Bcos C＝sin Acos C，又cos C≠0，故2sin B＝sin A，由正弦定理可知a＝2b.‎ ‎3．(2018·湘中名校联考)已知函数f(x)＝cos x(cos x＋sin x)．‎ ‎(1)求f(x)的最小值；‎ ‎(2)在△ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，若f(C)＝1，S△ABC＝，c＝，求△ABC的周长．‎ ‎【解析】：(1)f(x)＝cos x(cos x＋sin x)＝cos2 x＋sin xcos x＝＋sin 2x＝＋sin(2x＋)．‎ 当sin(2x＋)＝－1时，f(x)取得最小值－.‎ ‎(2)f(C)＝＋sin(2C＋)＝1，所以sin(2C＋)＝，‎ 因为C∈(0，π)，2C＋∈(，)，所以C＝.‎ S△ABC＝absin C＝，所以ab＝3，‎ 又a2＋b2－2abcos ＝7，‎ 所以(a＋b)2＝16，即a＋b＝4，‎ 所以a＋b＋c＝4＋，‎ 故△ABC的周长为4＋.‎ ‎4．(2019·湖南五市十校联考)已知a，b，c分别为△ABC三个内角A，B，C的对边，且acos C＋asin C－b－c＝0.‎ ‎(1)求A；‎ ‎(2)若AD为BC边上的中线，cos B＝，AD＝，求△ABC的面积．‎ ‎【解析】：(1)acos C＋asin C－b－c＝0，‎ 由正弦定理得sin Acos C＋sin Asin C＝sin B＋sin C，‎ 即sin Acos C＋sin Asin C＝sin(A＋C)＋sin C，‎ 又sin C≠0，所以化简得sin A－cos A＝1，‎ 所以sin(A－30°)＝.‎ 在△ABC中，0°