【数学】2020届一轮复习人教A版第67课平面的基本性质及线线、线面的位置关系作业（江苏专用） 4页

随堂巩固训练(67)‎ ‎ 1. 判断下面结论是否正确.‎ ‎(1) 如果两个不重合的平面α，β有一条公共直线a，就说平面α，β相交，并记作α∩β＝a.( √ )‎ ‎(2) 两个平面α，β有一个公共点A，就说α，β相交于过点A的任意一条直线. (  )‎ ‎(3) 两个平面α，β有一个公共点A，就说α，β相交于点A，并记作α∩β＝A. (  )‎ ‎(4) 平面ABC与平面DBC相交于线段BC. (  )‎ ‎(5) 经过两条相交直线，有且只有一个平面. ( √ )‎ ‎(6) 没有公共点的两条直线是异面直线. (  )‎ 解析：根据平面与直线的公理可知如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线，故(1)正确，(2)(3)错误；平面ABC与平面DBC相交于直线BC，(4)错误；经过两条相交直线，有且只有一个平面，故(5)正确；两条直线平行，它们没有公共点，但共面，故(6)错误.‎ ‎ 2. 下列命题中正确的是　①④　.(填序号)‎ ‎①平面α∩β＝l，直线a⊂α，a∩l＝A，直线b⊂β，b∩l＝B，点A与点B不重合，则a与b不可能共面；‎ ‎②空间两组对边分别相等的四边形为平行四边形；‎ ‎③空间角α与β的两边分别平行，α＝70°，则β＝70°；‎ ‎④空间直线a∥b∥c，则a，b，c确定的平面个数为1或3；‎ ‎⑤分别与两条异面直线a，b同时相交的两条直线必定异面.‎ 解析：对①，若a与b共面，则a∥b或a与b相交.若a∥b，则a∥β.因为平面α∩β＝l，直线a⊂α，所以a∥l，这与a∩l＝A矛盾.若a与b相交于点B，则点A与点B重合，这与点A与点B不重合矛盾，所以a与b不可能共面，故①正确；对于②，空间四边形的两组对边分别相等，该四边形不一定是平行四边形，故②错误；对于③，空间角α，β的两边分别平行，α＝70°，则β＝70°或110°，故③错误；对于④，若a，b，c在同一平面内，则可确定1个平面；若不在同一平面内，则可确定3个平面，故④正确；对于⑤，分别与两条异面直线a，b同时相交的两条直线不可能平行，但可以共面，故⑤错误.‎ ‎ 3. 在图中，G、N，M、H分别是正三棱柱的顶点或所在棱的中点，下图中直线GH、MN是异面直线的图形有　②④　Ｗ.(填序号)‎ 解析：由题意可得图①中GH与MN平行，图②中GH与MN异面，图③中GH与MN相交，图④中GH与MN异面，故选②④.‎ ‎ 4. 下列命题中正确的是　③④　.(填序号)‎ ‎①若∠ABC＝θ，直线a∥AB，b∥BC，则a，b所成角为θ；‎ ‎②若直线a，b与直线c所成的角相等，则a∥b；‎ ‎③若直线a∥b，且直线b与c所成的角为θ，则a，c所成的角也为θ；‎ ‎④若直线a，b与直线c所成的角不相等，则a，b不平行.‎ 解析：①中a与b所成的角还可以是180°－θ；②中a，b可能不在同一平面内.‎ ‎ 5. 如图，在正方体ABCDA1B1C1D1中，E，F分别是AB1，BC1的中点，则下列结论中不成立的是　③　.(填序号)‎ ‎①EF与CC1垂直；‎ ‎②EF与BD垂直；‎ ‎③EF与A1C1异面；‎ ‎④EF与AD1异面.‎ 解析：因为E是AB1的中点，则E是A1B的中点，EF是△A1BC1的中位线，所以EF∥A1C1，所以③错误；因为CC1⊥A1C1，AC⊥BD，AC∥A1C1，所以EF⊥CC1，EF⊥BD，所以①②正确；因为EF与AD1不平行也不相交，所以EF与AD1异面，所以④正确.‎ ‎ 6. 给出下列命题：‎ ‎①若线段AB在平面α内，则直线AB上的点都在平面α内；‎ ‎②若直线a在平面α外，则直线a与平面α没有公共点；‎ ‎③两个平面平行的充分条件是其中一个平面内有无数条直线平行于另一个平面；‎ ‎④设a，b，c是三条不同的直线，若a⊥b，a⊥c，则b∥c.‎ 其中，假命题的序号是　②③④　.(填序号)‎ 解析：②中a与平面α还可能相交，有一个公共点；③中两平面还可能相交；④中b与c还可能相交或异面.‎ ‎ 7. 给出下列四个命题：‎ ‎①如果两个平面有三个公共点，那么这两个平面重合；‎ ‎②两条直线可以确定一个平面；‎ ‎③若M∈α，M∈β，α∩β＝l，则M∈l；‎ ‎④空间中，相交于同一点的三条直线在同一平面内.‎ 其中真命题为　③　Ｗ.(填序号)‎ 解析：对于①，如果两个平面有三个公共点，那么这两个平面可能相交，错误；对于②，两条异面直线不可以确定一个平面，错误；对于④，在正方体中，从同一个顶点出发的三条直线不共面，错误 ‎ 8. 已知在空间四边形ABCD中，M、N分别为AB、CD的中点，则下列判断：‎ ‎①MN≥(AC＋BD)；　　　　　②MN>(AC＋BD)；‎ ‎③MN＝(AC＋BD)； ④MN<(AC＋BD).‎ 其中正确的是　④　.(填序号)‎ 解析：‎ 结合题意，画出图形，取BC的中点O，连结MO，NO，MN.因为M，N分别AB，CD的中点，所以MO＝AC，NO＝BD.因为△OMN中，MO＋NO>MN，所以MN<(AC＋BD).‎ ‎ 9. 如图，在空间四边形ABCD中，点E、F、G分别在AB、BC、CD上，且满足AE∶EB＝CF∶FB＝2∶1，CG∶GD＝3∶1，过点E、F、G的平面交AD于点H.‎ ‎(1) 求AH∶HD；‎ ‎(2) 求证：EH、FG、BD三线共点.‎ 解析：(1) 因为＝＝2，所以EF∥AC.‎ 因为EF⊄平面ACD，AC⊂平面ACD，‎ 所以EF∥平面ACD.‎ 又EF⊂平面EFGH，‎ 平面EFGH∩平面ACD＝GH，‎ 所以EF∥GH，所以AC∥GH，‎ 所以AH∶HD＝CG∶DG＝3∶1.‎ ‎(2) 由(1)知EF∥GH，且＝，＝，‎ 所以EF≠GH，所以四边形EFGH为梯形.‎ 令EH∩FG＝P，则P∈EH.‎ 因为EH⊂平面ABD，所以P∈平面ABD.‎ 因为P∈FG，FG⊂平面BCD，‎ 所以P∈平面BCD.‎ 因为平面ABD∩平面BCD＝BD，所以P∈BD，‎ 所以EH，FG，BD三线共点.‎ ‎10. 如图是以AB＝4，BC＝3的矩形ABCD为底面的长方体被一平面斜截所得的几何体，其中四边形EFGH为截面.已知AE＝5，BF＝8，CG＝12.‎ ‎(1) 作出截面EFGH与底面ABCD的交线l.‎ ‎(2) 截面四边形EFGH是否为菱形？请证明你的结论.‎ ‎(3) 求DH的长.‎ 解析：(1) 如图，作HE与DA的交点P，作GF与CB的交点Q，连结PQ得直线l，则l即为所求.‎ ‎(2) 因为平面ABFE∥平面DCGH，且平面EFGH分别截平面ABFE与平面DCGH得直线EF与GH，故EF∥GH.‎ 同理，FG∥EH，故四边形EFGH为平行四边形.‎ 又EF2＝AB2＋(BF－AE)2＝25，‎ FG2＝BC2＋(CG－BF)2＝25，‎ 所以EF＝FG＝5，故四边形EFGH为菱形.‎ ‎(3) 过点E作EB1⊥BF，垂足为B1，‎ 则BB1＝AE＝5，所以FB1＝3.‎ 过点H作HC1⊥CG，垂足为C1，则C1H＝EB1.‎ 因为EF＝HG，所以Rt△HC1G≌Rt△EB1F，‎ 所以GC1＝FB1＝3，所以DH＝CC1＝9.‎