高考数学复习专题练习选修4-4 第2讲 参数方程 4页

第2讲 参数方程 一、填空题 ‎1．直线(t为参数)上与点A(－2,3)的距离等于的点的坐标是________．‎ 解析　由题意知(－t)2＋(t)2＝()2，所以t2＝，t＝±，代入(t为参数)，得所求点的坐标为(－3,4)或(－1,2)．‎ 答案　(－3,4)或(－1,2)‎ ‎2．若直线l：y＝kx与曲线C：(参数θ∈R)有唯一的公共点，则实数k＝________.‎ 解析　曲线C化为普通方程为(x－2)2＋y2＝1，圆心坐标为(2,0)，半径r＝1.由已知l与圆相切，则r＝＝1⇒k＝±.‎ 答案　± ‎3．直线3x＋4y－7＝0截曲线(α为参数)的弦长为________．‎ 解析　曲线可化为x2＋(y－1)2＝1，圆心到直线的距离d＝＝，则弦长l＝2＝.‎ 答案　 ‎4．已知直线l1：(t为参数)，l2：(s为参数)，若l1∥l2，则k＝________；若l1⊥l2，则k＝________.‎ 解析　将l1、l2的方程化为直角坐标方程得l1：kx＋2y－4－k＝0，l2：2x＋y－1＝0，由l1∥l2，得＝≠⇒k＝4，由l1⊥l2，得2k＋2＝0⇒k＝－1.‎ 答案　4　－1‎ ‎5．参数方程(θ为参数)表示的图形上的点到直线y＝x的最短距离为________．‎ 解析　参数方程化为普通方程为(x－3)2＋(y＋3)2＝9，圆心坐标为(3，－3)，半径r ‎＝3，则圆心到直线y＝x的距离d＝＝3，则圆上点到直线y＝x的最短距离为d－r＝3－3＝3(－1)．‎ 答案　3(－1)‎ ‎6．直角坐标系xOy中，以原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，设点A，B分别在曲线C1：(θ为参数)和曲线C2：ρ＝1上，则|AB|的最小值为________．‎ 解析　消掉参数θ，得到关于x、y的一般方程C1：(x－3)2＋y2＝1，表示以(3,0)为圆心，以1为半径的圆；C2：x2＋y2＝1，表示的是以原点为圆心的单位圆，|AB|的最小值为3－1－1＝1.‎ ‎ 答案　1‎ ‎7．已知在平面直角坐标系xOy中，经过点(0，)且斜率为k的直线l与曲线C：(θ是参数)有两个不同的交点P和Q，则k的取值范围为________．‎ 解析　曲线C的参数方程：(θ是参数)化为普通方程：＋y2＝1，故曲线C是一个椭圆．由题意，利用点斜式可得直线l的方程为y＝kx＋，将其代入椭圆的方程得＋(kx＋)2＝1，整理得x2＋2kx＋1＝0，因为直线l与椭圆有两个不同的交点P和Q，所以Δ＝8k2－4×＝4k2－2＞0，解得k＜－或k＞.即k的取值范围为 ∪.‎ 答案　∪ ‎8．如果曲线C：(θ为参数)上有且仅有两个点到原点的距离为2，则实数a的取值范围是________．‎ 解析　将曲线的参数方程转化为普通方程，即(x－a)2＋(y－a)2＝4，由题意可知，以原点为圆心，以2为半径的圆与圆C总相交，根据两圆相交的充要条件，得0＜＜4，‎ ‎∴0＜a2＜8，解得0＜a＜2或－2＜a＜0.‎ 答案　(－2，0)∪(0,2)‎ 二、解答题 ‎9．已知曲线C1的参数方程是(φ为参数)，以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程是ρ＝2，正方形ABCD的顶点都在C2上，且A，B，C，D依逆时针次序排列，点A的极坐标为.‎ ‎(1)求点A，B，C，D的直角坐标；‎ ‎(2)设P为C1上任意一点，求|PA|2＋|PB|2＋|PC|2＋|PD|2的取值范围．‎ 解　(1)由已知可得A，‎ B，‎ C，‎ D，‎ 即A(1，)，B(－，1)，C(－1，－)，D(，－1)．‎ ‎(2)设P(2cos φ，3sin φ)，‎ 令S＝|PA|2＋|PB|2＋|PC|2＋|PD|2，‎ 则S＝16cos2φ＋36sin2φ＋16＝32＋20sin2φ.‎ 因为0≤sin2φ≤1，所以S的取值范围是[32,52]．‎ ‎10．在平面直角坐标系中，以坐标原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系．已知直线l上两点M，N的极坐标分别为(2,0)，，圆C的参数方程为(θ为参数)．‎ ‎(1)设P为线段MN的中点，求直线OP的平面直角坐标方程；‎ ‎(2)判断直线l与圆C的位置关系．‎ 解　(1)由题意知，M，N的平面直角坐标分别为(2,0)，‎ .又P为线段MN的中点，‎ 从而点P的平面直角坐标为，‎ 故直线OP的直角坐标方程为y＝x.‎ ‎(2)因为直线l上两点M，N的平面直角坐标分别为(2,0)，，‎ 所以直线l的平面直角坐标方程为x＋3y－2＝0.‎ 又圆C的圆心坐标为(2，－)，半径r＝2，‎ 圆心到直线l的距离d＝＝＜r.‎ ‎ 故直线l与圆C相交．‎