2019届二轮复习平面向量平面向量的概念及线性运算学案（全国通用） 11页

‎2019年高考数学（理）高频考点名师揭秘与仿真测试　‎ ‎30 平面向量 平面向量的概念及线性运算 ‎ ‎ 【考点讲解】‎ 一、 具本目标：‎ ‎1．平面向量的实际背景及基本概念 ‎　　（1）了解向量的实际背景.‎ ‎　　（2）理解平面向量的概念和两个向量相等的含义.‎ ‎　　（3）理解向量的几何表示.‎ ‎　　2．向量的线性运算 ‎　　（1）掌握向量加法、减法的运算，并理解其几何意义.‎ ‎　　（2）掌握向量数乘的运算及其几何意义，理解两个向量共线的含义.学 ]‎ ‎　　（3）了解向量线性运算的性质及其几何意义.‎ 备考情况：1.以考查向量的线性运算、共线为主，主要是在理解含义的基础上，进一步解题，比如利用向量的线性运算求参数. ‎ ‎2.单独考查平面向量的实际背景及基本概念的题目极少.‎ ‎3.备考重点：‎ ‎ (1) 理解相关概念是基础，掌握线性运算的方法是关键；‎ ‎(2) 注意与平面几何、三角函数、解析几何等交汇问题，注意运用数形结合的思想方法.‎ 二、知识概述：‎ ‎1．向量的概念 ‎ ‎1．向量：既有大小又有方向的量叫向量；向量的大小叫做向量的模．‎ ‎2．零向量：长度等于0的向量，其方向是任意的．‎ ‎3．单位向量：长度等于1个单位的向量．‎ ‎4．平行向量：方向相同或相反的非零向量，又叫共线向量，规定：0与任一向量共线．‎ ‎5．相等向量：长度相等且方向相同的向量．‎ ‎6．相反向量：长度相等且方向相反的向量．‎ ‎2．平面向量的线性运算 一．向量的线性运算 向量运算 定义 法则(或几何意义)‎ 运算律 加法 求两个向量和的运算 三角形法则 平行四边形法则 交换律：‎ 结合律：‎ ‎ 学 ]‎ 减法 求与的相反向量 ‎-的和的运算叫做与的差 三角形法则 二．向量的数乘运算及其几何意义 ‎1．定义：实数λ与向量的积是一个向量，这种运算叫向量的数乘，记作λ，它的长度与方向规定如下：‎ ‎①|λ|＝|λ |；‎ ‎②当λ>0时，λ的方向与的方向相同；当λ<0时，λ的方向与的方向相反；当λ＝0时，λ＝0.‎ ‎2．运算律：设λ，μ是两个实数，则：‎ ‎①；②；③.‎ ‎3.向量共线定理：‎ 如果有一个实数，使，那么与是共线向量；‎ 反之，如果与是共线向量，那么有且只有一个实数，使.‎ ‎4.三点共线的性质定理：‎ ‎(1)若平面上三点共线，则＝.‎ ‎(2)若平面上三点共线，为不同于的任意一点，则＝＋，且＝1.‎ ‎【温馨提示】‎ ‎(1)如果两个向量起点相同，终点相同，那么这两个向量相等；但两个相等向量，不一定有相同的起点和终点．‎ ‎(2)零向量和单位向量是两个特殊的向量．它们的模确定，但方向不确定．．‎ ‎(3)两个重要的结论：‎ ‎①向量相等具有传递性，非零向量的平行具有传递性；‎ ‎②向量可以平移，平移后的向量与原向量是相等向量．‎ ‎【真题分析】‎ ‎1.【2018年全国理Ⅰ】在中，为边上的中线，为的中点，则（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【解析】本题考点是向量的和及向量的线性运算，由题意可知：，.‎ 所以有=.‎ ‎【答案】A ‎2.【2015四川文2】设向量)共线，则实数x＝( )‎ A.2 B.3 C.4 D.6‎ ‎【解析】本题考点是向量的坐标表示以及向量共线的性质的应用，因为两向量平行，所以有，有2∶4＝x∶6，解得x＝3，选B. 学 ‎ ‎【答案】B ‎3.【2014课标全国Ⅰ，文6】设D，E，F分别为△ABC的三边BC，CA，AB的中点，则(　　)．‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】A ‎4.【2017四川七中三诊】设为中边上的中点，且为边上靠近点的三等分点，则（ ）‎ A. B. ‎ C. D. ‎ ‎【解析】本题考点是平面向量的加减法运算法则，由题意可知在三角形BAO中： ，故选A.‎ ‎【答案】A ‎5.【2017·安徽六校联考】在平行四边形ABCD中，，，，则(　　)‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】C ‎6.【2015高考新课标1】设为所在平面内一点，则（ ）‎ A. B. ‎ C. D. ‎ ‎【解析】本题考点是向量的线性运算，‎ 由题意可知=，故选A.‎ ‎【答案】A 学 ‎ ‎7.【2014福建,文10】设M为□ABCD对角线的交点，O为□ABCD所在平面内任意一点，‎ 则等于 （ ）‎ A. B. C. D.‎ ‎【解析】本题的考点是平面向量的线性运算，相反向量的和向量是零向量.‎ 由已知得，‎ 而所以.‎ ‎【答案】D ‎8.【2015高考新课标1，理7】设为所在平面内一点，则（ ）‎ ‎（A） (B) ‎ ‎（C） (D) ‎ ‎【答案】A ‎ ‎9.【2016广西联考】直线过的两条对角线与的交点，与边交于点,与的延长线交于点.又知＝ ，＝，则= .‎ ‎【解析】据题意,点为的中点. ‎ ‎＝ ，＝‎ ‎ ‎ 又三点共线，‎ 由平面内三点共线的向量式定理可得： .【答案】2‎ ‎【模拟考场】‎ ‎1..已知为所在平面内一点且满足：，则与的面积之比为 ( ) A．1 B. C. D．2‎ ‎【错解】 据题意为的重心，‎ ‎ 从而 ‎∴与的面积之比为1，选A．‎ ‎【正解】∵,‎ 令 所以，则O为的重心，‎ 从而：,‎ ‎∴, ,‎ ‎∴的面积与的面积之比为3：2．‎ ‎【答案】B ‎2.设，是非零向量，“”是“”的（ ）‎ A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 ‎【答案】A ‎3.如图，在正方形中，点是的中点，点是的一个三等分点，那么＝(　　) ‎ A. B. C. D.‎ ‎【解析】在中，，点是的中点，有，又因为点是 的一个三等分点，所以有， 学 ]‎ 所以有.学 ‎ ‎【答案】D ‎4.已知向量与不共线，且，，则点A，B，C三点共线应满足 (　　)‎ A．λ＋μ＝2 B．λ－μ＝1 C．λμ＝－1 D．λμ＝1‎ ‎【答案】D ‎5.在中，点，满足，．若，‎ 则 ； ．‎ ‎【解析】法一：在三角形ABC中有，在三角形CMN中，有，并且有，，所以有，‎ 所以有 ‎【答案】 学 ]‎ 法二：特殊化，不妨设，利用坐标法，以A为原点，AB为轴，为轴，建立直角坐标系，，‎ ‎，则，‎ ‎.‎ ‎【答案】‎ ‎6.如图，正方形中，为的中点，若，则的值为（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】D ‎ ‎7.设向量，不平行，向量与平行，则实数 ．‎ ‎【解析】因为向量与平行，所以，则所以．‎ ‎【答案】‎ ‎8.如图，经过的重心的直线与分别交于点，设＝，＝，，则＋的值为 ．‎ ‎ 消去得＋＝3.‎ ‎9.已知是不共线的三点，且＝＋()．‎ ‎(1)若＝1，求证：三点共线； (2)若三点共线，求证：＝1.‎ 证明　(1)若＝1，则＝＋()＝＋(－)，‎ ‎∴－＝(－)，‎ 即＝，∴与共线．‎ ‎ 又∵与有公共点，则三点共线．‎ ‎(2)若三点共线，则存在实数，使＝，‎ ‎∴－＝(－)．‎ 又＝＋.‎ 故有＋(－1)＝－，‎ 即()＋()＝.‎ ‎∵不共线，∴，不共线，‎ ‎∴∴＝1. . ‎ ‎10.已知椭圆的中心在原点，离心率为，一个焦点 (是大于0的常数).‎ ‎(1)求椭圆的方程；‎ ‎(2)设是椭圆上的一点，且过点的直线与轴交于点，若，求直线的斜率．‎ ‎（2）设，直线的方程为，则点，由已知得三点共线，‎ 且 ，∴．‎ 当时，由于，，‎ 由定比分点坐标公式，得 又在椭圆上，有，解得；‎