【数学】2020届一轮复习（理）通用版考点测试66用样本估计总体作业 20页

考点测试66　用样本估计总体 ‎　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　‎ 高考概览 考纲研读 ‎1．了解分布的意义与作用，能根据频率分布表画频率分布直方图、频率折线图、茎叶图，体会它们各自的特点 ‎2．理解样本数据标准差的意义和作用，会计算数据的标准差 ‎3．能从样本数据中提取基本的数字特征(如平均数、标准差)，并做出合理的解释 ‎4．会用样本的频率分布估计总体分布，会用样本的基本数字特征估计总体的基本数字特征，理解用样本估计总体的思想 ‎5．会用随机抽样的基本方法和样本估计总体的思想解决一些简单的实际问题 一、基础小题 ‎1．某品牌空调在元旦期间举行促销活动，右面的茎叶图表示某专卖店记录的每天销售量情况(单位：台)，则销售量的中位数是(　　)‎ A．13 B．‎14 C．15 D．16‎ 答案　C 解析　由题意得，中位数是＝15．选C．‎ ‎2．某班的全体学生参加英语测试，成绩的频率分布直方图如图所示，数据的分组依次为[20，40)，[40，60)，[60，80)，[80，100]．若低于60分的人数是15，则该班的学生人数是(　　)‎ A．45 B．‎50 C．55 D．60‎ 答案　B 解析　根据频率分布直方图的特点可知，低于60分的频率是(0．005＋0．01)×20＝0．3，所以该班的学生人数是＝50．故选B．‎ ‎3．在样本的频率分布直方图中，共有7个小长方形，若中间一个小长方形的面积等于其他6个小长方形的面积的和的，且样本容量为80，则中间一组的频数为(　　)‎ A．0．25 B．0．‎5 C．20 D．16‎ 答案　D 解析　设中间一组的频数为x，依题意有＝1－，解得x＝16．‎ ‎4．研究人员随机调查统计了某地1000名“上班族”每天在工作之余使用手机上网的时间，并将其绘制为如图所示的频率分布直方图，若同一组数据用该区间的中点值作代表，则可估计该地“上班族”‎ 每天在工作之余使用手机上网的平均时间是(　　)‎ A．1．78小时 B．2．24小时 C．3．56小时 D．4．32小时 答案　C 解析　(1×0．12＋3×0．2＋5×0．1＋7×0．08)×2＝3．56．‎ ‎5．对于一组数据xi(i＝1，2，3，…，n)，如果将它们改变为xi＋C(i＝1，2，3，…，n)，其中C≠0，则下列结论正确的是(　　)‎ A．平均数与方差均不变 B．平均数变，方差保持不变 C．平均数不变，方差变 D．平均数与方差均发生变化 答案　B 解析　由平均数的定义，可知每个个体增加C，则平均数也增加C，方差不变．故选B．‎ ‎6．甲、乙、丙、丁四人参加某运动会射击项目选拔赛，四人的平均成绩和方差如下表所示：‎ 甲 乙 丙 丁 平均环数 ‎8．3‎ ‎8．8‎ ‎8．8‎ ‎8．7‎ 方差s2‎ ‎3．5‎ ‎3．6‎ ‎2．2‎ ‎5．4‎ 从这四个人中选择一人参加该运动会射击项目比赛，最佳人选是(　　)‎ A．甲 B．乙 C．丙 D．丁 答案　C 解析　由表格中数据，可知丙平均环数最高，且方差最小，说明丙技术稳定，且成绩好．选C．‎ ‎7．某工厂对一批新产品的长度(单位：mm)进行检测，如图是检测结果的频率分布直方图，据此估计这批产品长度的中位数为(　　)‎ A．20 B．‎25 C．22．5 D．22．75‎ 答案　C 解析　自左至右各小矩形的面积依次为0．1，0．2，0．4，0．15，0．15，设中位数是x，则由0．1＋0．2＋0．08·(x－20)＝0．5，得x＝22．5．选C．‎ ‎8．甲、乙两名同学在7次数学测试中的成绩如茎叶图所示，其中甲同学成绩的众数是85，乙同学成绩的中位数是83，则成绩较稳定的是________．‎ 答案　甲 解析　根据众数及中位数的概念易得x＝5，y＝3，故甲同学成绩的平均数为＝85，乙同学成绩的平均数为 ＝85，故甲同学成绩的方差为×(49＋36＋25＋49＋121)＝40，乙同学成绩的方差为×(169＋16＋16＋4＋36＋36＋121)＝>40，故成绩较稳定的是甲．‎ 二、高考小题 ‎9．(2018·全国卷Ⅰ)某地区经过一年的新农村建设，农村的经济收入增加了一倍，实现翻番．为更好地了解该地区农村的经济收入变化情况，统计了该地区新农村建设前后农村的经济收入构成比例，得到如下饼图：‎ 则下面结论中不正确的是(　　)‎ A．新农村建设后，种植收入减少 B．新农村建设后，其他收入增加了一倍以上 C．新农村建设后，养殖收入增加了一倍 D．新农村建设后，养殖收入与第三产业收入的总和超过了经济收入的一半 答案　A 解析　设新农村建设前的收入为M，而新农村建设后的收入为‎2M，则新农村建设前种植收入为0．‎6M，而新农村建设后的种植收入为0．‎74M，所以种植收入增加了，所以A项不正确；新农村建设前其他收入为0．‎04M，新农村建设后其他收入为0．‎1M，故增加了一倍以上，所以B项正确；新农村建设前，养殖收入为0．‎3M，新农村建设后为0．‎6M，增加了一倍，所以C项正确；新农村建设后，养殖收入与第三产业收入的总和占经济收入的30%＋28%＝58%>50%，所以超过了经济收入的一半，所以D正确．故选A．‎ ‎10．(2016·山东高考)某高校调查了200名学生每周的自习时间(单位：小时)，制成了如图所示的频率分布直方图，其中自习时间的范围是[17．5，30]，样本数据分组为[17．5，20)，[20，22．5)，[22．5，25)，[25，27．5)，[27．5，30]．根据直方图，这200名学生中每周的自习时间不少于22．5小时的人数是(　　)‎ A．56 B．‎60 C．120 D．140‎ 答案　D 解析　由频率分布直方图，知这200名学生每周的自习时间不少于22．5小时的频率为1－(0．02＋0．10)×2．5＝0．7，则这200名学生中每周的自习时间不少于22．5小时的人数为200×0．7＝140．故选D．‎ ‎11．(2017·全国卷Ⅰ)为评估一种农作物的种植效果，选了n块地作试验田．这n块地的亩产量(单位：kg)分别为x1，x2，…，xn，下面给出的指标中可以用来评估这种农作物亩产量稳定程度的是(　　)‎ A．x1，x2，…，xn的平均数 B．x1，x2，…，xn的标准差 C．x1，x2，…，xn的最大值 D．x1，x2，…，xn的中位数 答案　B 解析　因为可以用极差、方差或标准差来描述数据的离散程度，所以要评估亩产量稳定程度，应该用样本数据的极差、方差或标准差．故选B．‎ ‎12．(2018·江苏高考)已知5位裁判给某运动员打出的分数的茎叶图如图所示，那么这5位裁判打出的分数的平均数为________．‎ 答案　90‎ 解析　由茎叶图可知，5位裁判打出的分数分别为89，89，90，91，91，故平均数为＝90．‎ 三、模拟小题 ‎13．(2018·江西新余二模)为了解户籍、性别对生育二胎选择倾向的影响，某地从育龄人群中随机抽取了容量为100的样本，其中城镇户籍与农村户籍各50人；男性60人，女性40人，绘制不同群体中倾向选择生育二胎与倾向选择不生育二胎的人数比例图(如图所示)，其中阴影部分表示倾向选择生育二胎的对应比例，则下列叙述中错误的是(　　)‎ A．是否倾向选择生育二胎与户籍有关 B．是否倾向选择生育二胎与性别无关 C．倾向选择生育二胎的人员中，男性人数与女性人数相同 D．倾向选择不生育二胎的人员中，农村户籍人数少于城镇户籍人数 答案　C 解析　由题图，可得是否倾向选择生育二胎与户籍有关、性别无关，倾向选择不生育二胎的人员中，农村户籍人数少于城镇户籍人数，倾向选择生育二胎的人员中，男性人数为60×60%＝36，女性人数为40×60%＝24，不相同．故选C．‎ ‎14．(2018·河北石家庄教学质量检测)某学校A，B两个班的兴趣小组在一次对抗赛中的成绩如茎叶图所示，通过茎叶图比较两个班兴趣小组成绩的平均值及标准差．‎ ‎①A班兴趣小组的平均成绩高于B班兴趣小组的平均成绩；‎ ‎②B班兴趣小组的平均成绩高于A班兴趣小组的平均成绩；‎ ‎③A班兴趣小组成绩的标准差大于B班兴趣小组成绩的标准差；‎ ‎④B班兴趣小组成绩的标准差大于A班兴趣小组成绩的标准差．‎ 其中正确结论的编号为(　　)‎ A．①④ B．②③ C．②④ D．①③‎ 答案　A 解析　A班兴趣小组的平均成绩为 ＝78，其方差为×[(53－78)2＋(62－78)2＋…＋(95－78)2]＝121．6，则其标准差为≈11．03；‎ B班兴趣小组的平均成绩为＝66，其方差为×[(45－66)2＋(48－66)2＋…＋(91－66)2]＝175．2，则其标准差为≈13．24．故选A．‎ ‎15．(2018·山东济南一模)已知某7个数的平均数为4，方差为2，现加入一个新数据4，此时这8个数的平均数为，方差为s2，则(　　)‎ A．＝4，s2<2 B．＝4，s2>2‎ C．>4，s2<2 D．>4，s2>2‎ 答案　A 解析　∵某7个数的平均数为4，∴这7个数的和为4×7＝28，∵加入一个新数据4，∴＝＝4；又∵这7个数的方差为2，且加入一个新数据4，∴这8个数的方差s2＝＝<2．故选A．‎ ‎16．(2018·湖北部分重点中学模拟)某商场对某一商品搞活动，已知该商品每一个的进价为3元，销售价为8元，每天售出的第20个及之后的半价出售．该商场统计了近10天这种商品的销量，如图所示，设x(个)为每天商品的销量，y(元)为该商场每天销售这种商品的利润．从日利润不少于96元的几天里任选2天，则选出的这2天日利润都是97元的概率为(　　)‎ A． B． C． D． 答案　B 解析　由题意知y＝ 即y＝当日销量不少于20个时，日利润不少于96元．当日销量为20个时，日利润为96元，当日销量为21个时，日利润为97元，日利润为96元的有3天，记为a，b，c，日利润为97元的有2天，记为A，B，从中任选2天有(a，A)，(a，B)，(a，b)，(a，c)，(b，A)，(b，B)，(b，c)，(c，A)，(c，B)，(A，B)共10种情况，其中选出的这2天日利润都是97元的有(A，B)1种情况，故所求概率为 ‎．故选B．‎ ‎17．(2018·湖南衡阳二模)已知样本x1，x2，…，xn的平均数为x；样本y1，y2，…，ym的平均数为y(x≠y)，若样本x1，x2，…，xn，y1，y2，…，ym的平均数z＝ax＋(1－a)y，其中0m 答案　C 解析　由题意得z＝(nx＋my)＝x＋1－y，∴a＝，∵00．85，而前5组的频率之和为0．04＋0．08＋0．15＋0．20＋0．26＝0．73<0．85，所以2．5≤x<3．由0．3×(x－2．5)＝0．85－0．73，解得x＝2．9．‎ 所以，估计月用水量标准为2．9吨时，85%的居民每月的用水量不超过标准．‎ 二、模拟大题 ‎4．(2018·湖北第二次联考)某地区为了解学生学业水平考试的状况，从参加学业水平考试的学生中抽出160名，其数学成绩(均为整数)的频率分布直方图如图所示．‎ ‎(1)估计这次考试数学成绩的平均分和众数；‎ ‎(2)假设在(90，100]段的学生中有3人得满分100分，有2人得99分，其余学生的数学成绩都不相同．现从90分以上的学生中任取4人，不同分数的个数为ξ，求ξ的分布列及数学期望E(ξ)．‎ 解　(1)利用中值估算抽样学生数学成绩的平均分为45×0．005×10＋55×0．015×10＋65×0．02×10＋75×0．03×10＋85×0．025×10＋95×0．005×10＝72(分)．‎ 众数的估计值为75分．‎ ‎(2)由频率分布直方图知，在160人中，90分以上的学生数为160×0．005×10＝8(人)．‎ 由题意，ξ的所有可能取值为2，3，4．‎ P(ξ＝2)＝＝＝；‎ P(ξ＝3)＝＝；‎ P(ξ＝4)＝＝．‎ ‎∴ξ的分布列为 ξ ‎2‎ ‎3‎ ‎4‎ P ξ的数学期望E(ξ)＝2×＋3×＋4×＝＝．‎ ‎5．(2019·安徽淮北模拟)如图为2018届淮北师范大学数学与应用数学专业N名毕业生的综合测评成绩(百分制)分布直方图，已知80～90分数段的学员数为21人．‎ ‎(1)求该专业毕业总人数N和90～95分数段内的人数n；‎ ‎(2)现欲将90～95分数段内的n名毕业生随机地分配往A，B，C三所学校，每所学校至少分配两名毕业生．‎ ‎①若这n名毕业生中甲、乙两人必须进同一所学校，共有多少种不同的分配方法？‎ ‎②若这n名毕业生中恰有两名女生，设随机变量ξ表示n名毕业生中分配往B学校的两名毕业生中女生的人数，求ξ的分布列和数学期望．‎ 解　(1)80～90分数段的频率p1＝(0．04＋0．03)×5＝0．35，此分数段的学员总数为21人，‎ ‎∴毕业生的总人数N＝＝60，‎ ‎90～95分数段的频率p2＝1－(0．01＋0．04＋0．05＋0．04＋0．03＋0．01)×5‎ ‎＝0．1，‎ ‎∴90～95分数段内的人数n＝60×0．1＝6．‎ ‎(2)①将90～95分数段内的6名毕业生随机地分配往A，B，C三所学校，每所学校至少分配两名毕业生，且甲、乙两人必须进同一所学校，则共有·A＝18种不同的分配方法．‎ ‎②ξ的所有可能取值为0，1，2，‎ P(ξ＝0)＝＝，P(ξ＝1)＝＝，‎ P(ξ＝2)＝＝，‎ 所以ξ的分布列为 ξ ‎0‎ ‎1‎ ‎2‎ P 所以随机变量ξ的数学期望E(ξ)＝0×＋1×＋2×＝．‎ ‎6．(2018·江西赣州摸底)由甲、乙、丙三个人组成的团队参加某项闯关游戏，第一关解密码锁，3个人依次进行，每人必须在1分钟内完成，否则派下一个人．3个人中只要有一人能解开密码锁，则该团队进入下一关，否则淘汰出局．根据以往100次的测试，分别获得甲、乙解开密码锁所需时间的频率分布直方图．‎ ‎(1)若甲解开密码锁所需时间的中位数为47，求a，b的值，并分别求出甲、乙在1分钟内解开密码锁的频率；‎ ‎(2)若以解开密码锁所需时间位于各区间的频率代替解开密码锁所需时间位于该区间的概率，并且丙在1分钟内解开密码锁的概率为0．5，各人是否解开密码锁相互独立，在(1)的条件下，‎ ‎①求该团队能进入下一关的概率；‎ ‎②该团队以怎样的先后顺序派出人员，可使所需派出的人员数目X的数学期望达到最小，并说明理由．‎ 解　(1)由甲解开密码锁所需时间的中位数为47可知(0．010＋0．014＋b＋0．034)×5＋0．040×2＝0．5，‎ 解得b＝0．026．‎ 由各区间的频率之和为1可得a＝0．024．‎ 甲在1分钟内解开密码锁的频率为1－0．01×5×2＝0．9，‎ 乙在1分钟内解开密码锁的频率为1－(0．035＋0．025)×5＝0．7．‎ ‎(2)①该团队能进入下一关的概率p＝1－(1－0．9)×(1－0．7)×(1－0．5)＝0．985．‎ ‎②设第1个人、第2个人、第3个人解开密码锁的概率分别为p1，p2，p3，则所需派出的人员数目X的分布列为 X ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ p p1‎ ‎(1－p1)p2‎ ‎(1－p1)(1－p2)‎ 数学期望E(X)＝p1＋2(1－p1)p2＋3(1－p1)(1－p2)＝(1－p1)(1－p2)＋2－p1．‎ 要使E(X)最小，就必须p1最大，p2次之．‎ 故该团队按照甲、乙、丙的顺序，可使所需派出的人员数目的数学期望达到最小．‎