【数学】2021届一轮复习人教版（文理通用）选修4-5第2讲不等式的证明与柯西不等式作业 5页

对应学生用书[练案83理][练案72文]‎ 第二讲　不等式的证明与柯西不等式 ‎1．(2020·云南大理统测)已知a，b，c∈R*，a2＋b2＋c2＝1.‎ ‎(1)求证：ab＋bc＋ac≤1；‎ ‎(2)求证：＋＋≥1.‎ ‎[证明]　(1)ab＋bc＋ac＝ ‎≤ ‎＝a2＋b2＋c2＝1，(当且仅当a＝b＝c＝取等号．)‎ ‎∴ab＋bc＋ac≤1.‎ ‎(2)＋＋＋a2＋b2＋c2‎ ‎＝(＋c2)＋(＋a2)＋(＋b2)‎ ‎≥2＋2＋2 ‎＝2(a2＋b2＋c2)＝2，‎ 所以＋＋≥1，(当且仅当a＝b＝c＝取等号．)‎ ‎2．(2020·湖北鄂东南期中)已知函数f(x)＝|x＋1|＋2|x－1|.‎ ‎(1)求不等式f(x)≥4的解集；‎ ‎(2)若函数y＝f(x)图象的最低点坐标为(p，q)，正数a，b满足pa＋qb＝2，求＋的最小值．‎ ‎[解析]　(1)当x≥1时，由f(x)＝3x－1≥4得x≥；‎ 当－1b，要证2≥a－b，‎ 只需证2≥|a－b|，‎ 即证4(1－ab)≥|a－b|2，‎ 只需证4－4ab≥a2－2ab＋b2，‎ 即4≥a2＋2ab＋b2，‎ 即证4≥(a＋b)2，只需证2≥|a＋b|，‎ 因为a，b∈M，所以|a＋b|≤2，‎ 所以所证不等式成立．‎ ‎5．(2019·佛山模拟)设函数f(x)＝|x＋1|＋|x－a|.‎ ‎(1)若f(x)≥5对于x∈R恒成立，求实数a的取值范围；‎ ‎(2)当a＝1时，函数f(x)的最小值为t，且正实数m，n满足m＋n＝t，求证：＋≥2.‎ ‎[解析]　(1)通解　f(x)≥5对于x∈R恒成立即|x＋1|＋|x－a|≥5，对于x∈R恒成立，‎ 因为|x＋1|＋|x－a|≥|x＋1＋a－x|＝|a＋1|，‎ 所以|a＋1|≥5，‎ 故a＋1≥5或a＋1≤－5，解得a≥4或a≤－6.‎ 即实数a的取值范围为(－∞，－6]∪[4，＋∞)．‎ 优解　|x＋1|＋|x－a|表示数轴上的动点x到两定点－1，a的距离之和，‎ 故当a≥4或a≤－6时，|x＋1|＋|x－a|≥5对于x∈R恒成立，‎ 即实数a的取值范围为(－∞，－6]∪[4，＋∞)．‎ ‎(2)因为|x＋1|＋|x－1|≥|x＋1＋1－x|＝2，‎ 所以f(x)min＝2，即t＝2，故m＋n＝2，又m，n为正实数，‎ 所以＋＝(＋)＝(1＋1＋＋)≥×(2＋2)＝2，当且仅当m＝n＝1时取等号．‎ ‎6．(2019·衡水质检)已知函数f(x)＝|2x－1|＋|2x＋1|.‎ ‎(1)若不等式f(x)≥a2－‎2a－1恒成立，求实数a的取值范围；‎ ‎(2)设m>0，n>0，且m＋n＝1，求证：＋≤2.‎ ‎[解析]　(1)解法一：依题意，f(x)＝ ‎∴f(x)min＝2.‎ ‎∵不等式f(x)≥a2－‎2a－1恒成立．‎ ‎∴a2－‎2a－3≤0，解得－1≤a≤3，‎ ‎∴实数a的取值范围是[－1,3]．‎ 解法二：∵f(x)＝|2x－1|＋|2x＋1|≥|(2x－1)－(2x＋1)|＝2，∴f(x)min＝2.‎ ‎∵不等式f(x)≥a2－‎2a－1恒成立，∴a2－‎2a－3≤0，解得－1≤a≤3，∴实数a的取值范围是[－1,3]．‎ ‎(2)由(1)知f(x)≥2，∴2≥2.‎ ‎∵m>0，n>0，且m＋n＝1，‎ 由柯西不等式 ＋≤＝2＝2.‎ 当且仅当m＝n＝时等号成立，‎ ‎∴＋≤2.‎ ‎7．(2020·广东惠州调研)已知函数f(x)＝|x－1|＋|x－5|.‎ ‎(1)解关于x的不等式f(x)>6；‎ ‎(2)记f(x)的最小值为m，已知实数a，b，c都是正实数，且＋＋＝，求证：a＋2b＋‎3c≥9.‎ ‎[解析]　(1)f(x)＝|x－1|＋|x－5|>6可化为：‎ 或 或解得x<0或x>6.‎ 综上所述，不等式f(x)>6的解集为(－∞，0)∪(6，＋∞)．‎ ‎(2)由f(x)≥|(x－1)＋(5－x)|＝4(当x＝3时取等号)，‎ ‎∴f(x)min＝4，即m＝4，∴＋＋＝1.‎ 证法一：a＋2b＋‎‎3c ‎＝(＋＋)(a＋2b＋‎3c)‎ ‎＝3＋(＋)＋(＋)＋(＋)‎ ‎≥3＋2＋2＋2＝9.‎ 证法二：∵a>0，b>0，c>0，‎ ‎∴a＋2b＋‎3c＝(a＋2b＋‎3c)(＋＋)‎ ‎≥(·＋·＋·)2＝9，‎ 当且仅当a＝3，b＝，c＝1时取等号，‎ ‎∴a＋2b＋‎3c≥9.‎ ‎8．(2020·湖北重点高中联考协作体期中)已知关于x的不等式|x＋a|